Etiquetes: patrons, potències
Bloc de continguts: Relacions i canvi
Dimensions: Raonament i prova, Representació.
Nivell: adaptable des de 6è de primària i tota l’ESO
A la convenció anual mundial de mags, s’hi reuneixen els matemags més famosos. Per demostrar les seves habilitats, es posen tots en cercle, i amb la seva vareta, per torns, fan desaparèixer al mag que tenen a la seva esquerra.
Per exemple, amb 5 matemags la seqüència seria la següent:
El matemag número 1 toca amb la vareta al matemag de la seva esquerra (número 2) que acte seguit, desapareix.
El mag número 3 toca amb la seva vareta al següent mag a la seva esquerra (número 4) que desapareix.
Es continua fins que queda un únic mag, que serà el guanyador, i el que s’endurà el premi més gran de la fira, un barret màgic.
Podeu fer proves al pati amb cercles de diferent número de matemags!
Quin matemag quedarà a mesura que augmenti el número de mags de l’1 al 20?
Podeu predir qui serà el guanyador si sabeu quants mags hi ha en el cercle? Per què?
A finals de l’any 2020 es farà una convenció de magia que reunirà 2020 mags, a qui li tocarà ser el guanyador?
Per què hem seleccionat aquest problema?
Aquest és un altre problema de fase 1 que treballa el bloc de canvi i relacions. Ens agrada per què és un problema senzill d’entendre, fàcil per a que tots puguin començar i, encara que és d’investigació, la tasca de trobar el patró no té per què durar més de 2 sessions.
Per una altra banda, es pot fer una simulació tipus role-play al pati (hi ha un joc amb pilota que és similar) i arribar fins a cert número de matemags per poder prendre dades suficients i fer unes primeres conjectures que, després, poden continuar a l’aula.
Si feu vosaltres el problema, al començament no és fàcil captar la regularitat o el patró. Per veure-ho, cal organitzar les dades en una taula i arribar a un número suficient de casos per poder intuir i verificar el patró, que és força curiós i matemàticament molt interessant.
El patró és força curiós i
matemàticament molt interessant
Per tant, és un problema que requereix per força que organitzin les dades de manera sistemàtica.
A més, és un problema que ens demostra que la potència dels patrons és que ens permeten predir amb la informació que tens. Si ens pregunten per un número gran de matemags, per exemple, 50, ja no haurem de dibuixar els 50 números en cercle i anar eliminant i fent tots els passos per saber el guanyador o fent tota la sèrie fins el 50è matemag. Directament podré aplicar la regla del patró provat i predir amb tota seguretat d’haver encertat la solució.
És un problema que ens demostra que la potència dels patrons és
que ens permeten predir amb la informació que tens.
Nota de les autores del blog: En aquest cas, cal diferenciar els nivells en què l’alumnat és capaç de trobar el patró però no de provar-lo i que, per tant, es queda en el terreny de la conjectura. Aleshores cal que siguin conscients que no poden estar completament segurs i que cal ser curosos amb la predicció perquè no està provada.
En canvi, quan l’alumnat sigui capaç de raonar i provar el patró aleshores sí que podran tenir aquesta certesa en la predicció per un nombre gran de mags.
Competències més implicades
Els principals processos que haurien de posar en marxa els alumnes en fer aquest problema serien:
És un problema de cerca d’un patró en què es demana l’observació de dades, el registre de les mateixes (el més potent seria en una taula) per a poder trobar les relacions numèriques i matemàtiques i veure les regularitats. Haurien de fer una conjectura i provar-la per poder afirmar-la i, així, poder predir qui serà el guanyador per a qualsevol número de mags i, en concret, pels 2020 matemags.
Per tant, és un problema ideal per treballar les competències de la dimensió de raonament i prova i també de la resolució de problemes. De cara a avaluar el problema ens hem fixat en la competència 4 de primària que coincideix amb la competència 5 de l’ESO, com veureu quan analitzem les respostes dels alumnes.
Competències més implicades:
• Competència 4 (primària): Fer conjectures matemàtiques adients en situacions quotidianes
i comprovar-les. Que es correspon a la Competència 5 en ESO.
Solucions del problema
a) Quin matemag quedarà a mesura que augmenti el nombre de mags de l’1 al 20?
Registrem les dades en una taula (si s’allarga el número de mags, millor)
Relacions i regularitats que podem observar:
Tots els números dels mags que guanyen estan en un lloc senar.
Hi ha una mena de patró de repetició de senars: 1, 3, 5, … que va augmentant conforme el número de mags es fa més gran.
Aquest mòdul de senars consecutius que es va repetint i ampliant, fent un cicle, torna a començar amb un 1 quan el número de mags correspon a una potència de 2:
així és salvarà l’1 en els casos: 1, 2, 8, 16 que són potències de 2. Si ho proven fins al número 8 de matemags i fan la conjectura, podran provar que es compleix amb 16 matemags.
Per tant, després de comprovar la nostra conjectura, podrem predir qui serà el guanyador en funció del número de matemags del cercle fent una serie de passos basats en les regularitats anteriors:
Haurem de mirar quina és la potència de 2 més propera al número de matemags per sota i per sobre, i,
Fer la sèrie de senars consecutius fins a la posició en què estigui el nº de matemags.
Així per saber quin serà el matemag guanyador amb 20 matemags, se situa 20 entre les dues potències de 2 més properes ( 24 = 16 < 20 < 32 = 25) i des de la potència més petita, 16, hi ha 4 senars consecutius (3, 5, 7, 9) i per tant, la resposta serà que amb 20 matemags, guanyarà el matemag 9.
b) Podeu predir qui serà el guanyador si sabeu quants matemags hi ha en el cercle? Per què?
L’anterior pregunta encara seria fàcil per què inclús es poden allargar els casos de la taula fins al 20 , però si augmentem el número de mags, necessitarem una estratègia que ens ajudi a saber el senar consecutiu que tocarà.
Per una altra banda, si ens fixem en la sèrie de nombres senars consecutius: 1, 3, 5, 7, 9, 11, … si el segon nombre senar és el 3, i el nombre senar en la cinquena posició és el 9..
podem deduir, i per tant generalitzar, que:
Si anomenem n a la posició de nombre senar,
el nº senar que li correspon és 2n-1.
Si agafem ara un número més gran de matemags, per exemple, 50. Per saber el senar que li correspon quan tenim 50 matemags:
Observem que el 50 està entre les potències de 2: 32 i 64 (recordem que a les potències de 2 els correspon el número senar 1).
Si comptem els números que hi ha entre el 50 i el 32, hi ha 19 nombres
(de fet fent la diferència entre 50 i 32 dona 18, però si comences pel 32 quan guanya el matemag 1 i comptes fins al 50, comptaràs 19 números)
, per tant, per a 50 matemags es salvaria el que té el nº senar consecutiu que té el lloc 19è a la sèrie dels nombres senars consecutius.
Com hem vist abans per n (posició de nombre senar)→ 2n-1 (número senar de la sèrie)
per n= 19 → 2·19 - 1 = 38 -1 = 37
Una altra opció és que sabent la diferència entre 50 i 32 que és 18, podem saber el nombre senar que toca de la sèrie fent: 2·18+1=37
I podríem predir que per 50 matemags, es salvaria el que ocupa el lloc 37.
Es pot comprovar perfectament, si es segueix la taula fins al 50.
En aquest apartat b es pretén que l’alumne s’adoni de la necessitat de conjecturar un patró ja que la tasca de trobar el matemag guanyador per 50 matemags porta força feina, tot i que per aquells que no trobin el patró aquest cas encara es pot fer a mà.
Aquesta feina prepara per l’apartat c) on ja només podran respondre a partir del patró ja que altrament la feina és inassumible.
c) A finals de l’any 2020 es farà una convenció de màgia que reunirà 2020 matemags, a qui li tocarà ser el guanyador?
Si seguim l’estratègia explicada abans:
El 2020 es situa entre el 210=1024 i el 211 que és el 2048. Seguint l’estratègia anterior:
Entre el 2020 i 1024 hi hauran: 997 números
El senar consecutiu que ocupa el lloc 997, serà:
n=997 → 2n -1 = 997 x 2 - 1= 1994 - 1 = 1993
Per tant, amb 2020 matemags, li tocarà ser el guanyador el que ocupi el lloc 1993.
Amb la segona opció: 2020-1024=996 i aleshores 2· 996 + 1 = 1993
Respostes dels alumnes
Ens ha sorprès la quantitat de solucions encertades al problema ja que trobar el patró no és certament fàcil pellnivell de 6è, que és on vam proposar el problema. Podem observar bones explicacions del procés per trobar el patró i com fer per predir en el cas d’un número gran de mags.
En els comentaris farem una petita avaluació de la competència 4 (corresponent a la C5 en ESO)
Competència 4: Fer conjectures matemàtiques adients en situacions quotidianes i comprovar-les
Indicadors de la competència 4 (Font: [1] Burgués, C. i Sarramona, J. (2013). Competències bàsiques de l'àmbit matemàtic. Identificació i desplegament a l’educació primària. Generalitat de Catalunya. Departament d'Ensenyament)
Segons aquests indicadors i adaptant-lo a aquest problema, veiem clar que cada un dels apartats a, b i c, corresponen més o menys a l’assoliment de cada un dels nivells.
Així:
Una resposta de nivell 1 d’adquisició de la competència seria quan l’alumne/a troba els elements posteriors fent tota la sèrie fins a tenir d’un en un els resultats de 20 matemags i els expressen en una taula. També aquells que donen una explicació de la sèrie a partir d’exemples concrets.
Per tant, arribar a respondre correctament l’apartat a) ja implicaria un nivell 1, cosa que han fet la gran majoria dels equips dels treballs que ens han arribat (encara que ja sabeu que a nosaltres ens arriben ja treballs seleccionats)
Una representació original i diferent però que ajuda a veure perfectament el patró
L’equip següent ha utilitzat la representació amb números i imaginem que eliminen els números dels mags que són eliminats fins que es queden amb el guanyador. El problema ha estat que en algun moment s’han equivocat i la resposta no és correcta ja que quan hi ha 13 mags, el guanyador no és el nº1 i a partir d’aquest moment les respostes arrosseguen l’error.
I amb això, només arriben a veure que hi ha una sèrie de senars i no encerten la solució.
És un error habitual com es veu per aquesta segona resposta en la mateixa línia:
Aquí es pot treballar amb els alumnes el concepte de la conjectura i, com, a partir d'uns primers casos, pot haver-hi més d'un patró o seqüència que compleixi. Per això, després de conjecturar cal comprovar més casos i només podem estar segurs del cas general si podem argumentar i raonar el patró.
El següent equip només arriba a un nivell 1 d’adquisició de la competència ja que ha fet tota la sèrie en l’apartat a) i dóna una explicació de la sèrie a partir d’exemples concrets: fer els dobles de 1, 2, 4.. que donaran 1 i els intermitjos que donaran per exemple, un 3 al que se li va sumant 2.. Creiem que és una situació ideal pel docent per aprofitar a treballar la idea de potència i de senars consecutius que encara no han assolit:
Potser seria un nivell 1 alt perquè hi ha elements que es poden intuir però l'explicació és imprecisa, no utilitza el vocabulari matemàtic i està incompleta.
Una resposta de nivell 2 seria aquella en què els alumnes relacionen la sèrie amb les potències de 2 i veuen un cicle en la sèrie de senars consecutius que torna a començar en quant el número de matemags és una potència de 2. Per exemple:
Aquests encara necessiten utilitzar exemples concrets per a l’explicació del patró:
I això no els permet predir i, per tant, no arribarien a un nivell 3:
Altres alumnes expliquen:
Els mateixos alumnes de l’equip que hem requadrat en vermell, amb el mètode anterior i restant de 2 en 2, han aconseguit poc a poc, parar al nombre del matemag guanyador. Potser no és el millor mètode ni el més eficaç, però els porta a la solució. Per tant, s’apropen a un nivell 3 però no és ben bé una generalització:
I aquests altres, arriben a la solució de l’apartat c però necessiten dels exemples concrets:
En el nivell 3 ja es poden trobar respostes amb algun grau de generalització:
I així arriben a la solució:
En aquest cas, els alumnes no utilitzen el llenguatge algebraic per generalitzar, de fet, a 6è els alumnes no han treballat amb llenguatge algebraic encara, però sí que fan una explicació raonada i matemàtica de l’estratègia seguida per poder predir el matemag guanyador sigui qualsevol el número de matemags del cercle, i és per això que els situem al nivell 3:
Joc interactiu per poder investigar
El problema original l’hem tret d’un que és força popular a EEUU: King Arthur’s problem que explica la Marilyn Burns en el seu llibre: About teaching mathematics. Math Solution (2015) on es planteja el problema del rei Artur que vol escollir un dels cavallers de la taula rodona per a que sigui el marit de la seva filla. I va passant darrera els cavallers tocant el seu cap i dient “tu et salves”, “tu no” i així fins arribar a l’últim cavaller que seria el guanyador. Podreu trobar a la xarxa aquesta versió del problema.
També existeix un joc interactiu de Transum que permet fer la investigació fins a 50 jugadors en augmentar el nivell del joc. Està basat en un joc que s’anomena: SONGKRAN i que explica una altra situació per començar:
A Tailàndia hi ha una època de l'any en què a la gent de totes les edats els agrada jugar a jocs d'aigua. Aquí teniu un joc que es pot jugar amb un grup de nens i una pistola d'aigua.
Els nens es situen en un cercle i se'ls dóna un número a cadascun en ordre en sentit horari al voltant del cercle. El número 1 rep la pistola d'aigua.
El número 1 dispara a la persona de la seva esquerra (número 2) que es mulla i està fora de joc. La pistola es passa a la següent persona al voltant del cercle (número 3).
El número 3 dispara a la següent persona a la seva esquerra (número 4) i després passa la pistola a la següent persona al voltant del cercle. Això continua fins que queda una persona. Ells són els guanyadors.
Feu clic als números del cercle en l'ordre en què s'eliminen.
Pots predir qui serà el guanyador si saps quantes persones hi ha al cercle?
