dilluns, 27 de juny del 2022

EL JOC DELS ARMARIETS

A la cerca del patró!

FM22 FASE 3. PRIMÀRIA I ESO.



Etiquetes: patrons, divisors, quadrats perfectes

Bloc de continguts: Relacions i canvi, Numeració i càlcul

Dimensions: Resolució de problemes, Raonament i prova

Nivell: de 5è a 2n d’ESO









Enunciat  

A l’escola hi ha un passadís amb una filera de vint armariets. 

Ens hem inventat un joc amb vint de nosaltres i les vint portes dels armariets: 

  • El primer alumne fa una passada obrint totes les portes, una a una, de la filera.

  • El segon alumne fa una passada per les vint portes tancant un de cada dos armariets (el 2, el 4, etc.) 

  • Un tercer alumne fa una passada ordenadament des de la primera porta fins a la vintena comptant de tres en tres. Si troba la porta tancada, l’obra, i si la troba oberta, la tanca.

El joc continua fins que els 20 alumnes hem passat pels armariets seguint les mateixes regles. El quart comptarà de quatre en quatre, el següent de cinc en cinc… i si una porta la troben tancada l’obriran i si la troben oberta, la tancaran.

  1. Quins armariets haurà tocat el 3r alumne? I el 5è alumne?

  2. Fes una representació de com quedaran les portes dels armariets quan hagin passat els 20 alumnes.

  3. Quins armariets seran els tocats només per 2 alumnes? I quins ho seran per 3? i quines seran els més tocats?  

  4. Per què hi ha algunes portes que al final queden obertes i d’altres que queden tancades? Pots donar alguna explicació matemàtica?

  5. Sabries predir com quedariem les portes si hi hagués 60 armariets i 60 alumnes


Enllaç als enunciats

Els enunciats de la prova de fase 3 per a tots els cursos els podeu veure a aquest enllaç de la pàgina web del concurs del FEM MATEMÀTIQUES.

L'enunciat concret d'aquest problema: enllaç


Per què hem seleccionat aquest problema?

És un problema clàssic i força documentat i, alhora, molt ric en treball de processos matemàtics: resolució de problemes, representació, raonament i prova i connexions, que permet treballar a diferents nivells des de cicle superior de primària fins l’ESO. Enllaça els blocs de Numeració i càlcul i Canvi i relacions amb la cerca de patrons numèrics i la seva justificació. 


Permet connectar amb un munt de conceptes numèrics: múltiples i divisors d’un nombre, números quadrats, paritat. 


Aquest problema és una versió del clàssic “Obrint i tancant portes” que té la seva pròpia entrada en el blog Calaix+ie d’en Joan Jareño on trobem que:


Va aparèixer al n. 5 de la revista Cacumen (juny de 1983) en un recull sobre Martin Gardner. També Adrián Paenza l'explica al seu llibre Matemática, ¿estás ahí? Episodio 100.

A la revista Cacumen nº 5 pag 8, s’exposa el problema per Martin Gadner utilitzant cartes franceses.

Enllaç a la revista nº5: https://mega.nz/file/gyg0TCQQ#yd_te-hXWRpe9yE31fqFXjETau68oBCbCJsm78h_Sm8 


El mateix Joan Jareño també en va crear la fitxa de l’ARC. A la seva introducció al joc, diu: 


Es proposa un joc d'obrir i tancar portes seguint unes regles 

relacionades amb els múltiples de 2, de 3, de 4.... 

El problema convida a conjecturar quines seran les portes que quedaran obertes al final (cercar la pauta) i, en una segona part, a justificar-la


Volem mostrar un problema que ens va cridar l’atenció, té moltes possibilitats i que potser hi ha docents que no coneixen. De fet, és un problema que recomanem que feu abans de mirar l’apartat de solucions per a que us adoneu de tot el procés mental que hauran de fer els alumnes i per enfocar la vostra gestió d’aula. Segurament fareu bones descobertes com ho hem fet nosaltres!


Us recomanem que feu personalment el problema

abans de mirar l’apartat de solucions per a veure el procés mental

que hauran de fer els vostres alumnes i fer unes bones descobertes!

 

Solucions del problema 

  1. Quins armariets haurà tocat el 3r alumne? I el 5è alumne?

Tocarà els múltiples de 3: 3, 6, 9, 12, 15,18 

Tocarà els múltiples de 5: 5, 10, 15 i 20

No poden tocar més enllà de la porta 20.

Aquesta pregunta no va més enllà de que ho relacionin amb els múltiples. Seria com una comprovació de la traducció de l’enunciat. 

  1. Fes una representació de com quedaran les portes dels armariets quan haguem passat els 20 alumnes.

En aquest apartat volem treballar la dimensió de representació. Cada alumne haurà d’organitzar la informació i representar les dades de manera sistemàtica i que s’entengui. 

El nivell de resposta respecte a les condicions anteriors (sistemàtica i que s’entengui) ens donarà la puntuació de l’apartat.

Aquí posem un exemple de com podria ser: 

        Versió feta per les autores de la representació del problema amb https://mathigon.org/polypad/yOGCxIeRtOgNxQ 

Els punts taronges serien armariets OBERTS

Els punts grana serien armariets TANCATS


  1. Quins armariets seran els  tocats només per 2 alumnes? I quines ho seran per 3? i quines seran els més tocats?  

Els tocats per 2 alumnes coincideixen amb els nombres primers ja que tenen només dos factors: ells mateixos i l’1: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 i 19.

Per 3 alumnes, queden el 4, 9 i 16 que tenen 3 factors: 1, 2, 4 ;1, 3, 9 ; 1, 2, 4, 8, 16. 

Els més tocats seran els que tinguin més factors o divisors: 12, 18 i 20

Aquesta pregunta s’ha de valorar només perque intenta fer caure als alumnes en la importància del número de factors que té cada número i la seva relació amb les portes obertes i tancades. Els guia cap a la resposta d).

No es demana cap justificació matemàtica sinó la constatació de fets que ajuden a connectar.

  1. Per què hi ha algunes portes que al final queden obertes i d’altres que queden tancades? Pots donar alguna explicació matemàtica?

És molt interessant perquè al final només queden obertes les dels números quadrats per què són els únics nombres que fins al 20 tenen 1, 3 o 5  factors, és a dir un número senar de passades, i per paritat, quedaran: obert /obert-tancat-obert/ obert-tancat-obert-tancat-obert , sempre obertes. 

Divisors de l’1: 1

Divisors del 4: 1,2 i 4

Divisors de 9: 1, 3 i 9

Divisors del 16: 1, 2, 4, 8 i 16 

La resta dels nombres, es pot comprovar a la representació, tenen un nombre de factors parells i, per tant, quedaran tancades. 


Si volem avaluar aquest apartat, nosaltres ho faríem en funció de la connexió i el raonament matemàtic que utilitzin per respondre. 

  • Les explicacions amb exemples més concrets i que no arribin a la generalització del patró, tindran un nivell més baix. 

  • El nivell més elevat seria el que connecti la paritat del nombre de divisors amb el fet de la paritat de l’acció d’obrir i tancar portes. Un nombre parell de factors sempre deixarà la porta tancada: O-T

Un nombre senar de factors sempre deixa la porta oberta: O-T-O

  • Serien d’un nivell molt superior aquelles respostes que arribin a explicar el perquè de que els nombres quadrats tenen un nombre senar de factors i la resta de nombres no. Amb una explicació que s’apropi a aquesta: 

Per cada divisor d'un nombre hi ha la parella que en multiplicar-se donen el nombre.

És a dir, si 2 és divisor de 10, aleshores hi ha el 5, tal que 2·5=10 

Per tant, per cada nombre hi ha una parella i per això el nombre parell de divisors. Només hi ha "l'excepció" dels quadrats perfectes, on la parella és el mateix i per això no compta amb a divisor nou (cas del 4: tenim l’1 que forma parella amb el 4, i el 2 que queda sol fent un 2x2). 


  1. Sabries predir com quedariem les portes  si hi hagués 60 armariets i 60 alumnes?

  • Quedarien totes les portes tancades menys les portes del nombres quadrats fins al 60:

1-4-9-16-25-36-49. La raó estaria argumentada en la pregunta anterior.

OTT OTTTT 0TTTTTT OTTTTTTTT OTTTTTTTTTT OTTTTTTTTTTTT O… 



  • Però el que veuen molts alumnes no és aquesta successió de senars consecutius sinó que entre porta oberta i porta oberta sempre hi ha un nombre parell que creix +2 cada vegada

Quedaría un patró del tipus OTT OTTTT OTTTTTT OTTTT……, és a dir, 1 obert 2 tancats 1 obert  4 tancats 1 obert 6 tancats …

A partir d'aquest patró podem preveure que sempre hi haurà una porta oberta i tantes portes tancades com a múltiples del 2. 


De fet aquesta mirada es refereix al mateix creixement de la imatge anterior del Joan Jareño, només que mirant el creixement dels laterals ja que el punt de la cantonada es manté constant tota l’estona: 

Aquesta explicació us pot ajudar a interpretar les produccions dels alumnes i per tant saber com guiar-los per anar cap als conceptes matemàtics de descomposició factorial i nombre de divisors que interessen i cap a la justificació completa del patró.



Gestió d’aula


Les possibilitats de gestió de l’aula a l’hora d’introduir el problema són variades:

  • Des d’un role-play amb els alumnes que en cercle s’asseuen a una cadira i es posen drets segons el nombre que els toqui o com explica en Joan Jareño en la pàgina de l’ARC  en l’apartat d’orientacions metodològiques amb cartes amb números de 1 al 25 o al 50 que poden girar en funció de si la porta queda oberta o tancada. 

  • Amb la representació que ells mateixos poden fer desde la seva creativitat (a la prova del Fem matemàtiques hem posat una petita guia en format de portes/recta numèrica ja que el temps a la prova és limitat però a l’aula podem no posar-la i deixar la representació lliure que segurament serà més rica).

Respecte als enunciats per primària, la diferència de 5è a 6è, és que afegim una última pregunta que intenta que provin la conjectura que han fet en l’apartat anterior i prediguin com quedaran les portes dels armariets en un número gran com 60 armariets que ja no es pot representar per la gran quantitat de divisors que haurien de calcular. 


Considerem que és un bon problema per portar també a les aules del primer cicle de secundària i que es pugui profunditzar en les raons i arguments matemàtics.


Bones preguntes com a guia


El treball del problema, el volem dirigir a la investigació per trobar el perquè matemàtic dels patrons que van sortint i de les relacions que troben. 


Hem comprovat que el patró i la visibilitat dels nombres quadrats no és fàcil per a alumnes d’aquesta edat, per tant, es necessita de la guia del professor per arribar a fer una bona conjectura. Però les descobertes i l’aprenentatge que dona pensem que són prou rics i importants: com el fet de que els nombres quadrats són els únics que tenen un nombre senar de divisors i el perquè d’aquest fet.


El patró i la visibilitat dels nombres quadrats no és fàcil

per a alumnes d’aquesta edat. 

Es necessita de la guia del docent mitjançant bones preguntes per trobar

el perquè matemàtic i connectar les relacions que troben.

Podeu plantejar el problema com un joc i deixar les preguntes dels apartats a) i c) com preguntes que podeu anar fent per guiar i que els alumnes vagin fent connexions.



Competències més implicades


Pensant en els principals processos que haurien de posar en marxa els alumnes en fer aquest problema, creiem que:

Comença sent un problema de representació, que ens ajuda a interpretar el problema i les seves demandes per després centrar-se en la cerca de relacions entre els números i el fet de que les portes quedin obertes o tancades (connexions) i de si hi ha un patró matemàtic i amb quins conceptes queda relacionat per poder justificar el perquè del patró (raonament i prova)


En la web de l’ARC trobareu molt ben documentat el problema amb un document pdf que explica el perquè de la riquesa competencial del mateix fet pel Joan Jareño

Obrint i tancant portes 

Font: Joan Jareño


Com veieu és un problema molt ric en treball de processos matemàtics i en Joan ha fet una anàlisi molt completa d’aquesta riquesa.

 

Mostres d’alumnes i conclusions


En ser un problema de la fase 3 individual, hem de considerar que no hi ha hagut lloc per la conversa en equip i que tenen un temps limitat per fer els problemes juntament amb la tensió pròpia d’un concurs matemàtic, per tant, els resultats no són els mateixos que es poden donar a l’aula en un altre ambient, però segur que aquestes respostes dels alumnes us orientaran per posar-ho en marxa.

Les justificacions matemàtiques i l’aprenentatge que es deriven d’aquest problema es poden donar perfectament en un ambient de resolució de problemes, conversa i bones preguntes que guien per part del professorat. 


Respecte a les respostes donades pels alumnes de 5è i 6è, hem vist que:

  • La majoria fan una bona representació del problema i veuen la relació amb els múltiples. També veuen què hi ha portes que es toquen més i altres menys.

  • Encerten en els números de portes obertes i tancades, gairebé tots.

  • Però no tots relacionen les portes tocades per 2 alumnes amb els nombres primers:


Alguns sí que ho fan i ho justifiquen: 


  • Molts veuen que la relació entre la porta oberta i tancada depèn del número de vegades que passen els alumnes. Però no tots arriben a veure el fet de que la paritat dels divisors que té un nombre, afecta al fet de que la porta quedi oberta o tancada. 


Aquests alumnes veuen la relació encara que no acaben de justificar perquè és així:


Mentre que aquests ja donen una justificació de perquè en tenir un nombre parell de divisors la porta quedarà oberta i un nombre senar, la porta tancada:


  • Cap alumne ha reconegut els nombres quadrats en el patró i per tant, no connecten la raó matemàtica amb el perquè de que siguin aquests els que queden oberts. 

Les explicacions de la justificació matemàtica del patró s’apropen a la idea de que la paritat té a veure però no a la veritable raó matemàtica.


Uns quants alumnes veuen un patró creixent  O T T O T T T T O… De manera que les portes tancades anirien creixent en sucessió: 2-4-6-8-..

  • Molt pocs poden preveure les portes que quedaran obertes amb 60 armariets. Si ho fan ho l’associen al patró creixent de les portes tancades que queden enmig: 2, 4, 6, 8…

“Si, perquè he trobat el patró de 1 porta oberta, 2 tancades, 1 oberta, 4 tancades així successivament. El que passa és que es va sumant de dos en dos les portes tancades 2, 4, 6, 8,...”



Com hem dit abans respecte als alumnes de primària, pensem que deixar més temps, el treball en equip i les bones preguntes segur que els faran arribar a la raó final del patró.

I, és possible que alumnes de 1r o 2n d’ESO puguin arribar a deduir-la sols. Si ho feu amb els vostres alumnes envieu-nos evidències dels seus raonaments! 



ENLLAÇOS i BIBLIOGRAFIA