FM22 FASE 2. ESO.
Etiquetes: patrons, divisibilitat (residu), aritmètica modular
Bloc de continguts: Relacions i canvi
Dimensions: Raonament i prova
Nivell: adaptable des de 6è de primària i tota l’ESO
Volem proposar-vos un repte per portar a l’aula aquests dies abans de Nadal!
Com cada any en aquestes dates, les xarxes s’omplen d’idees matemàtiques nadalenques.
La Núria Serra @Serra8Nuria és especialista en aquestes idees que treballa amb els seus alumnes de l’INS Dertosa (Tortosa). Podeu veure totes les activitats que publica la Núria Serra a twitter https://twitter.com/Serra8Nuria.
Aquestes activitats van des de reptes matemàtics nadalencs o decoració amb formes i figures de nadal matemàtiques. Fixeu-vos en aquest recull:
És que veu matemàtiques a tot arreu!
I aquest any ens presenta l’arbre de Nadal amb nombres triangulars:
Del repte que us volem parlar és el que va sortir arrel de la idea de targeta nadalenca que la Núria va proposar als seus alumnes el nadal 2021: https://twitter.com/Serra8Nuria/status/1470784534052491268?s=20&t=6ykwhY-xoCb_Ad6tUhJT_w
Al grup del Fem matemàtiques ens va agradar moltíssim la idea de la cerca del patró i li vam demanar permís a la Núria per a aprofitar-lo. Així, aprofitant que els alumnes de Tortosa participen a la segona fase a APMCM, es va proposar el problema per la segona fase pels alumnes d'ABEAM i de les altres associacions. Però com veureu és un problema que es pot adaptar a qualsevol nivell i també per aquest any 2023.
Per què hem seleccionat aquest problema?
És un problema original sobre la cerca del patró matemàtic en un calendari ordenat d’una manera un tant especial.
La idea és que els alumnes tractin de trobar regularitats i, amb elles, trobar i predir en quina columna i filera caurà el número 2022.
Com en tots els problemes de cerca de patrons, les preguntes ajuden a cercar-lo primer amb nombres més senzills, inclús nombres com el 50 que poden fer-ho fent un simple comptatge, per passar a la generalització del patró.
Hi pot haver més d’una estratègia per arribar a les respostes. Nosaltres en fer la solució ho vam connectar de seguida amb la importància del residu i l’aritmètica modular. Però només un dels alumnes dels aproximadament 60 que es van presentar, ha connectat amb aquesta idea. Per tant, considerem que pot ser un bon problema per treballar aquesta idea matemàtica a l’aula.
Solucions del problema
a) A quina columna estarà el número 50? I el 100? El 50 a la C2 i el 100 a la C4
b)Quins números hi ha a la fila 20? I a la 100? A la F 20: 77,78,79 i 80 ; A la F100: 397, 398, 399 i 400
c) A quina fila i columna està el número 2022? A la F 506 i C5
a) A quina columna estarà el número 50? I el 100?
Hi ha diverses maneres per les que els alumnes poden arribar a la resposta:
Opció A
Observant detingudament la taula, podem arribar a algunes conclusions immediates:
El primer és adonar-se de l’ordre com es disposen els nombres consecutius:
. Els nombres estan agrupats de 4 en 4 en cada filera.
. Les columnes 3 i 4 sempre estan plenes i és on es situen els múltiples de 4. En C3 els múltiples de factor parell i en C4 els de factors senars.
. El números es troben a la filera següent al número que resulta del quocient entre 4. Així, el 17, com el quocient 17: 4 = 4 r1, estarà a la filera 5.
Això ja dona la possibilitat de calcular la columna del 50, dividint el 50:4=12 r2.
Com no és múltiple del 4 només pot estar a la C1, C2, C5 o C6.
Aquí és on hem de buscar un altre patró: quins seran els nombres que aniran a aquestes columnes? Com ho podem saber?
Podem observar que en les C1 i C2 només s’omplen les fileres senars i que a les C5 i C6 només s’omplen les parells. A més els nombres de les columnes tenen, en ser dividits entre 4, un residu igual:
així, a C1 es situen els de residu 1
a C2 es situen els de residu 2
a C5 es situen els de residu 2
a C6 es situen els de residu 1
Els nombres que en ser dividits entre 4 es situen en les C3 i C4 i no són múltiples de 4, alternen el residu 3: a la C3 si la filera és parell i a la C4 si la filera és senar.
Com la filera del 50 és un nombre senar, F13 (sempre un número més que el número del quocient entre 4, en aquest cas, 12) i el residu és 2, estarà situat a la F13 i C2.
Fem el mateix procés amb el nº 100,
100:4 =25 per tant, el 100 és un múltiple de 4.
El 100 estarà a la columna C4 (com el quocient és 25, els múltiples de 4 amb un factor senar van a la columna 4).
Opció B
A partir del calendari s’observa que la Núria va distribuint els nombres en sis columnes agrupant de 8 en 8. Dins dels grups de 8, els quatre primers els escriu d’esquerra a dreta en les columnes C1, C2, C3 i C4 i després els altres quatre els escriu a sota de dreta a esquerra en les columnes C6, C5, C4 i C3.
Per saber en quina columna va el nombre 50, ens cal saber quants grups de 8 ha hagut de fer. En aquesta cas 50 = 6· 8 + 2 i per tant com que després de fer 8 grups haurà d’escriure 2 nombres (el residu de la divisió entera anterior) aleshores el 50 quedarà escrit a la C2.
Amb el nombre 50 l’alumnat es pot atrevir a resoldre’l per tempteig. En aquest primer cas es pot considerar vàlid però s’ha de tenir en compte que se l’ha d’animar a trobar un mètode menys feixuc perquè sinó no podrà resoldre les següents preguntes.
Amb el mateix raonament, 100= 12 · 8 + 4 i per tant estarà a C4.
b) Quins números hi ha a la fila 20? I a la 100?
Els alumnes es poden adonar que tots els nombres de la mateixa fila al dividir per 4 donen el mateix quocient. Si l’alumne s’adona la segona fila al dividir-la per 4 el quocient serà 1, la tercera 2, quarta 3, etc. Per tant si multipliquem 4 per 1 i sumem (1,2,3 i 4) tenim (5,6,7 i 8). Si multipliquem 4 per 3 i sumem (1,2,3 i 4) tenim (9,10,11 i 12).
Poden arribar a trobar que per cada fila, els nombres que hi trobem corresponen a l’expressió 4(n-1)+k, amb n el nombre de la fila i amb k={1,2,3,4}.
Amb aquests raonaments poden trobar que en la fila 20 hi ha els nombres:
19 · 4 i sumant {1,2,3,4}, és a dir: 77,78,79 i 80
I de la mateixa manera a la final 100 es tindran les nombres: 397, 398, 399 i 400
c) A quina fila i columna està el número 2022?
Com 2022 no és múltiple de 4 el raonament serà identic als apartats a i b.
Aplicant el raonament de l’apartat a) 2022 = 252 · 8 + 6 i per tant estarà a la C5
Seguint el raonament de l’apartat b), per saber la fila hem de cercar les agrupacions de quatre en quatre. Com que 2022= 505 · 4 +2 tenim que estarà a la fila número 506.
Mostres d’alumnes
Les mostres que es presenten s’han ordenat d’acord amb diferents nivells de complexitat i abstracció de l’estratègia seguida en la cerca de la resposta:
La primera estratègia que presentem és de pur comptatge. Proporciona la solució immediata per a números petits i, potser, serveix per a l’observació d’algun dels patrons, però no ens permet arribar a deduir la pregunta sobre en quina columna i filera estarà, per exemple, l’any 2022.
Molts alumnes veuen les seqüències additives que hi ha a les columnes:
Així a les C1, C2, C5 i C6 veuen la sèrie aritmètica que s’obté sumant 8 i a les C3 i C4 veuen una alternancia entre +3 i +5. Però això no els serveix per donar resposta a les preguntes amb nombres més elevats. De fet fa una sèrie de cada columna i així obté el 50, però no deixa de ser una estratègia una miqueta més elevada que el comptatge en haver de posar tots els números anteriors de la sèrie, a més de que esdevenen errors de càlcul: el 100 està a la C4 i a la sèrie no apareix.
Aquesta imatge fa la mateixa observació representada de manera més esquemàtica. La visualització d’aquestes relacions verticals, ens portarà només a una resposta limitada, perquè per saber el número buscat necessito saber el número de l’anterior posició de la sèrie.
Com diu el mateix alumne, ha d’anar sumant un número darrera l’altre fins arribar al 50:
És per això, que hem de guiar cap a que busquin les relacions més funcionals o horitzontals que ens ajudin a predir nombres més elevats.
A la següent mostra, ja fa un càlcul en veure l’agrupació de 4 números:
Busca un nº de la taula del 4 que s’apropi al 50, el 52 i és el 13. Per tant, com és nombre senar, comença al C1 (ja ha vist que les fileres senars comencen al C1) i “com el passa de dos” tira dos cap enrere.
Així calcula els nombres de la pregunta b):
I l’any 2022:
Aquest altre alumne, treballa a partir del mòdul de 8 números:
I aquest altre dona un salt de complexitat en veure una relació funcional: veu que a cada columna i cada dos fileres se sumen 8 i, per tant, un número serà el resultat de la suma de 8n + nº de la columna, sent el nº de la columna el que correspon al residu del quocient entre 8:
Com a resposta a la pregunta b), aquest alumne aplica un criteri de proporcionalitat: primer busca el resultat dels nombres que hi ha a la fila 20: aplicant 4n, sent n el número de la fila buscada i com ha vist que els múltiples de 4 estan a la C4, situa el 80 a la columna 4. La resta de nombres anteriors abans.
I per buscar els números de la fila 100, aplica que com 100=20x5, el número que anirà a la C4 de la filera 100 serà el quíntuple de 80: 80x5 =400.
Una vegada fetes les preguntes a i b, la pregunta c) no té cap problema doncs s’aplica el patró. En la major part dels alumnes trobem un raonament semblant a aquests basats en el mòdul 8 el primer exemple, o mòdul 4 en el segon:
