dimarts, 22 de gener de 2019

PER QUÈ SÓN INTERESSANTS ELS PROBLEMES DEL FM? FM19 1r ESO

Anàlisi didàctica dels problemes competencials  

FM19 FASE 1. 1r ESO



ENLLAÇ ALS PROBLEMES DE 1r ESO FASE 1



TRIANGLES, QUADRATS I RECTANGLES




Per què és interessant aquest problema?

És un problema d’investigació que es pot realitzar perfectament amb material creat pels alumnes mateixos. Sempre que s’iniciïn amb material i puguin manipular, les perspectives del problemes i les possibles resolucions s’obren molt més i, per tant, es poden establir més connexions que ens donin possibles estratègies.
Es pot treballar a partir de dibuixos i altres tipus de representacions més o menys elaborades segons el moment del problema on es trobin. Cal deixar que  treballin segons el seu criteri que anirà canviant en funció de les seves necessitats: en les primeres etapes més de tempteig i exploració de possibilitats i solucions i haurà d’anar evolucionant cap a un treball sistemàtic i ordenat per no deixar-se cap possibilitat en les etapes finals. Per a organitzar i simplificar aquest treball sistemàtic estaria bé que establissin criteris previs per no fer la cerca exhaustiva de resultats massa feixuga o fins i tot inabordable. Cal deixar llibertat en el treball als alumnes per tal que la necessitat d’organitzar les dades els sorgeixi a ells. 

El treball sistemàtic i exhaustiu és un treball propi de les matemàtiques i aquest problema obliga a una cerca exhaustiva de totes les possibilitats de solució i “trobar totes les solucions possibles ens dóna l’oportunitat de convidar-los a treballar d’una manera sistemàtica” (Barba i Calvo, 2015) ja que sinó alguns alumnes treballen les possibilitats a l’atzar i no poden tenir la seguretat d’haver trobat totes les solucions (Banc de recursos del FM, 2017)

És un problema molt interessant que sota l’aparença de muntar figures tan simples com triangles equilàters, rectangles i quadrats, en realitat, porta als alumnes a la cerca de relacions entre nombres que els permetin assegurar que tenen totes les solucions. Per tant, és un treball del bloc de NUMERACIÓ I CÀLCUL (divisibilitat), del bloc de RELACIÓNS I CANVI (cerca de les relacions numèriques de les figures) i en menor mesura del bloc d’ESPAI I FORMA(per les característiques geomètriques de les figures a treballar).

Finalment, en canviar les condicions del problema en cada figura diferent, fa que es creïn nous problemes derivats del primer i que es mantinguin certes relacions i en canviïn d’altres el que provoca que l’alumnat hagi d’anar ajustant els resultats trobats a les noves situacions plantejades.


DIMENSIONS:  
En aquest problema, en un primer moment, han de treballar la dimensió de RESOLUCIÓ DE PROBLEMES ja que han de decidir estratègies d’atac i buscar alguna representació que pugui reflectir les seves cerques de manera que compleixin les condicions i s’han plantejat si les solucions trobades són totes les que pot haver-hi.
En segon lloc han de treballar la dimensió de CONNEXIONS ja que cal que identifiquin les matemàtiques en una situació acadèmica propera (construcció de figures geomètriques senzilles) i han de relacionar amb una idea matemàtica concreta (en aquest cas la divisibilitat). 
També es treballa la dimensió de RAONAMENT i PROVA. La pròpia investigació-experimentació serà l’eina per fer les connexions que els hi permetran donar aquestes raons i justificar les seves conjectures.
Alguns alumnes poden plantejar la resolució a partir del canvi de representacions i per tant treballar la dimensió de COMUNICACIÓ I REPRESENTACIÓ.


BLOCS DE CONTINGUTS:  NUMERACIÓ I CÀLCUL, RELACIONS I CANVI, ESPAI I FORMA

CONTINGUTS CLAU (Burgués i Sarramona (2013), p 57): 
CC1 Sentit del nombre i de les operacions
CC5 Patrons, relacions i funcions
CC9 Figures geomètriques, característiques, propietats i processos de construcció

PARAULES CLAU:
Investigació, manipulació, relacions numèriques, divisibilitat, perímetre, pràctica exhaustiva, treball sistemàtic, conjectura, justificació. 

COMPETÈNCIES MÉS IMPLICADES
Competència 2. Emprar conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre problemes.
Competència 5. Construir, expressar i contrastar argumentacions per justificar i validar les afirmacions que es fan en matemàtiques.
[Competència 8. Identificar les matemàtiques implicades en situacions properes i acadèmiques i cercar situacions que es puguin relacionar amb idees matemàtiques concretes]
[Competència 9. Representar un concepte o relació matemàtica de diverses maneres i usar el canvi de representació com a estratègia de treball matemàtic. En cas d’una resolució que contempli aquesta competència]


 TRENCACLOSQUES DE RECTANGLES I QUADRATS 



Per què és interessant aquest problema?

És un problema visual i de raonament geomètric amb una primera fase de tempteig: cal anar provant diverses maneres de dibuixar els quadrats per a veure quina és la que permet dividir el rectangle en el menor número de quadrats possibles. 
Amb les diferents divisions es poden fabricar trencaclosques que es poden  manipular per formar rectangles a partir dels quadrats. Però aquesta manera de dividir els rectangles en quadrats (“quadrar rectangles”no és l’única


El programa de scratch del ratpenat té una altra manera! Algunes vegades coincideix amb aquella que té un menor nombre de quadrats i d’altres no. Volem saber com ho fa el ratpenat i quin és l’algorisme programat que segueix i que ens permet deduir quina és la mesura del quadrat més petit del trencaclosques que fa el ratpenat.

És un problema que connecta geometria i relacions numèriques que porten implícit el tema de la divisibilitat que és un tema força important en els primers cursos de secundària. Seria una manera més lúdica per apropar-se, basada en l’algoritme d’Euclides i que busca, incidir més en el concepte, per arribar d’una manera raonada i significativa per als alumnes. 
  
DIMENSIONS: Treballa fonamentalment les dimensions de CONNEXIONS i RAONAMENT I PROVA

BLOCS DE CONTINGUTS: ESPAI I FORMA, MESURA i NUMERACIÓ I CÀLCUL

CONTINGUTS CLAU (Burgués i Sarramona (2013), p.57): 
CC1 Sentit del nombre i de les operacions. 
Nombres naturals i enters (divisors)
CC9 Figures geomètriques, característiques, propietats i procesos de construcció.
CC12 Relacions mètriques i càlcul de mesures en figures.

PARAULES CLAU:
Dibuix, descomposició d’una figura, àrees equivalents, divisibilitat, estructura multiplicativa,  algoritme d’Euclides, Scratch

COMPETÈNCIES MÉS IMPLICADES
És un exemple  de treball de la competència 7 de l’ESO d’interconnexió entre les diverses parts de la matemàtica i els diversos significats d’un mateix concepte: Usar les relacions que hi ha entre les diverses parts de les matemàtiques per analitzar situacions i raonar.
També hi ha un treball de la competència 5 de Raonament i Prova, ja que exigeix l’argumentació de les afirmacions que realitza i la prova de les conjectures que han de fer en intuir el patró que es segueix. 


TOTES BLANQUES, TOTES NEGRES 




Per què és interessant aquest problema?

Com sempre, en molts dels problemes del Fem Matemàtiques s’inclou un joc per tal de tenir materials per treballar el joc com a recurs a l’aula de matemàtiques. Com hem dit a l'entrada de l'anàlisis didàctica dels problemes fm19- 6è , per tot el conjunt de valors que transmet el fet de jugar: saber escoltar, treball col·laboratiu, estar atent, aprendre a prendre decisions, fer tempteig i proves, elaborar estratègies, assumir riscos i gaudir. A quin nen no li agrada el joc?
Sota l’aparença d’un joc, amb unes regles molt bàsiques i manipulatiu ja que és convenient que, o bé en fabriquin el material, o facin servir algun que els serveixi (en la introducció dels problemes es recomana fer servir fitxes de dominó per les seves cares blanques i negres), es presenten possibilitats de cercar un patró que ens condueixi a l’estratègia guanyadora. 

Per començar, l’enunciat demana que els alumnes provin el joc, experimentin i facin unes primeres partides per familiaritzar-se amb ell i amb les regles, intentant aconseguir l’objectiu amb el menor nombre de moviments. Per tant, hauran de fer proves i raonar les seves conclusions a partir de l’experimentació.
Entraríem en una etapa de tempteig, d’assaig i error que ajuda als alumnes a investigar les diferents possibilitats i a establir conjectures que després hauran de provar. També ha de ser un treball exhaustiu, s’han d’esgotar totes les possibilitats, alhora que sistemàtic, per assegurar-me que no em deixo cap.

Adoneu-vos que tot el que acabem d’explicar està relacionat amb els processos matemàtics més fonamentals: investigació, tempteig, assaig i error, conjecturar, fer proves, raonar...
En canviar les condicions del joc (aconseguir totes les fitxes negres o canviant el nombre de fitxes) les possibilitats i les conclusions poden canviar. Cal tornar a conjecturar i provar per justificar el que hem pensat.

I per últim, demana fer una predicció i també exposar les normes i condicions al teu gust per poder guanyar, per tant, per fer l’estratègia guanyadora. Tota predicció només és possible si trobem un patró que ens permeti fer-la. Per tant, és un treball del bloc de canvi i relacions, per la cerca del patró.


DIMENSIONS: Treballa fonamentalment les dimensions de RESOLUCIÓ DE PROBLEMES i RAONAMENT I PROVA.

BLOCS DE CONTINGUTS:  RELACIONS I CANVI

CONTINGUTS CLAU (Burgués i Sarramona (2013), p.57): 
5. Patrons, relacions i funcions 


COMPETÈNCIES MÉS IMPLICADES
Competència 2. Emprar conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre problemes. 
Competència 5. Construir, expressar i contrastar argumentacions per justificar i validar les afirmacions que es fan en matemàtiques. 
A la cerca del patró estan lligats processos de:  treure pautes (induir), conjecturar i provar, particularitzar i generalitzar i justificar l’estratègia que permet donar resposta a les preguntes.
Competència 9. Representar un concepte o relació matemàtica de diverses maneres i usar el canvi de representació com a estratègia.
Ja que caldrà trobar una representació adequada que ens ajudi a ser sistemàtics i veure que no ens hem deixat cap moviment ni cap possibilitat.


PARAULES CLAU:
Joc, material manipulatiu, treball sistemàtic, treball exhaustiu, patró, estratègia guanyadora, raonament, prova


QUADRE GLOBAL DE LA PROVA DE 1r ESO FM19


PROBLEMES 1r
DIMENSIONS
COMPETÈNCIES
BLOC DE 
CONTINGUTS
CONTINGUTS CLAU
TRIANGLE, QUADRATS I RECTANGLES
RESOLUCIÓ DE PROBLEMES
RAONAMENT I PROVA
CONNEXIONS
COMUNICACIÓ I REPRESENTACIÓ
2

5

8

(9)
NC
CR
EF
1
5
9
TRENCACLOSQUES DE RECTANGLES I QUADRATS
CONNEXIONS
RAONAMENT I PROVA 
7
5
NC
EF
M
1
9
12
TOTES BLANQUES, TOTES NEGRES
RESOLUCIÓ DE PROBLEMES RAONAMENT I PROVA
COMUNICACIÓ I REPRESENTACIÓ
2

5

9
RC
5

Referències

Barba, D. i Calvo, C. (2015). Bones activitats per a la transició entre primària i secundària. Nou Biaix, nº37, 41-50. http://www.raco.cat/index.php/Noubiaix/article/viewFile/302380/392058

Burgués,C. i Sarramona,J. (2013). Competències bàsiques de l'àmbit matemàtic. Identificació i desplegament a l’educació secundària. Generalitat de Catalunya. Departament d'Ensenyament. http://ensenyament.gencat.cat/web/.content/home/departament/publicacions/colleccions/competencies-basiques/eso/eso-matematic.pdf

Banc de recursos del FM (2018). Anàlisis didàctica dels problemes FM19 6è primaria. https://bancfm.blogspot.com/2018/12/per-que-son-interessants-els-problemes.html

dijous, 13 de desembre de 2018

PER QUÈ SÓN INTERESSANTS ELS PROBLEMES DEL FM? FM19 6è

Anàlisi didàctica dels problemes competencials  

FM19 FASE 1- 6è de PRIMÀRIA



INTRODUCCIÓ

Encara que els problemes de la primera fase del FM són problemes d’un concurs, volem aprofitar aquest moment en què molts estareu portant els problemes a l'aula per animar-vos a provar de “fer la RESOLUCIÓ DE PROBLEMES, el nucli de l’aprenentatge matemàtic”. La dimensió de Resolució de problemes pot englobar totes les altres i anar-hi desenvolupant tots els altres processos matemàtics.
El primer que cal fer quan ens arriba un problema que sembla atractiu, és resoldre'l en situació d’alumne per veure totes les possibilitats i quin interès té. En una segona fase haurem de fer una anàlisi matemàtica del problema discutint quins continguts treballa i quins processos i competències es posen en joc. Finalment en realitzarem l'anàlisi didàctica.
En aquesta entrada us adjuntem aquestes anàlisis que hem realitzat amb la intenció que us ajudin en les vostres programacions d’aula.
Alhora us volem transmetre, per què ens semblen tant interessants cada un dels problemes del FM!
Val la pena també que us llegiu l’entrada anterior del blog que dóna orientacions per treballar els problemes del concurs a l’aula: https://bancfm.blogspot.com/2018/12/fem-problemes-del-concurs-fem.html


ENLLAÇ ALS PROBLEMES DE 6è FASE 1


EMBOLICAR REGALS



Per què és interessant aquest problema?
És un problema d’investigació molt obert a la creativitat i idees dels alumnes que sorgiran en començar a fer proves. Per tant, és absolutament indispensable, que prepareu un munt de paper per embalar o de regal per a que les facin i comencin a fer les seves conjectures. 
Està basat en un problema proposat per la Tana Serra i la Gemma Celma per treballar les connexions en el bloc de Espai i forma i es podria aplicar a diferents nivells de primària i ESO, depenent de la profunditat i les preguntes. 

Demana la solució d’un problema que podria ser real per tal d’estalviar el màxim de paper a l’hora d’embolicar els regals. Més encara, ara que s’apropa el Nadal! Per tant, seria un problema genial per ambientar-lo abans de les vacances.

DIMENSIONS:  
En aquest problema en un primer moment han de treballar la dimensió de CONNEXIONS i de RESOLUCIÓ DE PROBLEMES. Després han de treballar fonamentalment la dimensió de RAONAMENT i PROVA. Les investigacions seran fonamentals per tal de poder realitzar els raonaments que justifiquin les seves conjectures. La pròpia investigació-experimentació serà l’eina per fer les connexions que els hi permetran donar aquestes raons. Per tant, hem de deixar temps per a que facin aquestes experimentacions i proves. Aquestes experimentacions i proves haurien de quedar reflexades en l'informe doncs és fonamental  que es comuniqui i quedi reflexat el procés seguit per aconseguir resoldre el repte, tan si és el camí encertat com les proves que han hagut de descartar o aquelles que ens permeten arribar a la solució.
               
Es un problema que procura la construcció de coneixement ja que permet fer (Burgués, 2018):
  • Comparació d'atributs per abstraure idees, conceptes i relacions matemàtiques
  • Connectar el coneixement adquirit amb nou coneixement
  • Connectar significats d'un mateix concepte
  • Aplicar estratègies conegudes a una altra situació o context diferent

BLOCS DE CONTINGUTS: ESPAI I FORMA. MESURA

CONTINGUTS CLAU (Burgués i Sarramona (2013), p.47):  
7. Magnituds mesurables. Unitats estàndard
M. Comprensió de les magnituds mesurables, de les unitats i del procés de mesurar 
8. Tècniques, instruments de mesura
M. Aplicació de tècniques i d’instruments per mesurar 
9. Relacions espacials
EF. Localització i descripció de relacions espacials
EF. Utilització de la visualització i de models geomètrics per resoldre problemes
10. Les figures geomètriques: elements, característiques (2D i 3D) i propietats
EF. Anàlisi de les característiques i propietats de les figures geomètriques
EF. Utilització de la visualització i de models geomètrics per resoldre problemes

PARAULES CLAU:
Creativitat, investigació, manipulació, posició relativa, superfície, àrea, aresta, longitud, cara, 3D, 2D, optimització, matematització de la realitat.

COMPETÈNCIES MÉS IMPLICADES 
Competència 1. Traduir un problema a una representació matemàtica i emprar conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre’l. 
Competència 5. Argumentar les afirmacions i els processos matemàtics realitzats en contextos proper. 
(Competència 7). Identificar les matemàtiques implicades en situacions quotidianes i escolars i cercar situacions que es puguin relacionar amb idees matemàtiques concretes (Tot i sent un problema de context real, creiem que les tasques de la competència 1 i 7 van molt parelles en el moment inicial de planteig del problema ens quedaríem amb la 1 en el moment d’avaluar)



CUBS BLAUS I GROCS




Per què és interessant aquest problema?

Aquest problema permet començar a treballar manipulant els policubs. La manipulació i construcció dels diferents cubs i figures ens proporcionen dades i connexions diferents a si només es treballés amb el dibuix i comptant. Per tant, deixeu que construeixin i observin. També això permetrà construir una altra perspectiva dels nombres cúbics i la relació entre la potència i la figura geomètrica.
És un problema de geometria de l’espai i d’abstracció espacial, tema que apareix poc en els temaris dels nostres llibres. 

També treballa la cerca d’un patró de creixement, que sempre cal argumentar, per a poder predir, sense haver de construir la figura, les respostes a les diferents preguntes per a una figura molt més gran. Per saber més sobre patrons de creixement: https://bancfm.blogspot.com/2017/11/la-potencia-del-llenguatge-algebraic.html

I hauran d’organitzar d’alguna manera les seves dades per a que es puguin observar aquestes relacions que ens conduiran a la generalització del patró. Aquest organització de dades pot ser amb esquemes personals o dibuixos. Cal que busquin la seva pròpia manera d’organitzar-se i reflectir-ho. Tal com diuen Barba i Calvo (2015), una de les característiques fonamentals del tipus de feina que proposen per ajudar els alumnes en el seu aprenentatge de les matemàtiques durant la transició entre la primària i la secundària, és “el costum de treballar d’una manera sistemàtica. Aquesta manera de treballar intrínsecament lligada a la feina del matemàtic, però útil per a la resolució de qualsevol tipus de problema al qual hem de fer front, ha de ser apresa (Woodham, 2013)”. 

DIMENSIONS: Treballa fonamentalment les dimensions de RAONAMENT I PROVA i COMUNICACIÓ I REPRESENTACIÓ.

BLOCS DE CONTINGUTS: ESPAI I FORMA i RELACIONS I CANVI

CONTINGUTS CLAU (Burgués i Sarramona (2013), p.47): 
5. Patrons
RC. Comprensió i anàlisi dels patrons, relacions i canvis
9. Relacions espacials
EF. Localització i descripció de relacions espacials
EF. Utilització de la visualització i de models geomètrics per resoldre problemes
10. Les figures geomètriques: elements, característiques (2D i 3D) i propietats
EF. Anàlisi de les característiques i propietats de les figures geomètriques
EF. Utilització de la visualització i de models geomètrics per resoldre problemes
14. Taules i gràfiques
RC. Comprensió i anàlisi dels patrons, relacions i canvis
RC. Ús de models i expressions matemàtiques per representar les relacions

PARAULES CLAU:
Manipulació, policubs, potències, arestes, vèrtexs, cares, 3D, patró de creixement

COMPETÈNCIES MÉS IMPLICADES 
Competència 4. Fer conjectures matemàtiques adients en situacions quotidianes i comprovar-les. 
Competència 9. Usar les diverses representacions dels conceptes i relacions per expressar matemàticament una situació.




UNEIX ELS PUNTS





















Per què és interessant aquest problema?

En molts dels conjunts de problemes del Fem Matemàtiques s’inclou un joc per tot el conjunt de valors que transmet el fet de jugar: saber escoltar, estar atent, aprendre a prendre decisions, a assumir riscos i a gaudir. A quin nen no li agrada el joc?
Sota l’aparença d’un joc, tan simple com traçar segments, es presenten possibilitats de cercar un patró que ens condueixi a l’estratègia guanyadora. 
Aquest joc permet relacionar les idees numèriques amb una representació espacial i viceversa. Alhora que és un treball fort del bloc de canvi i relacions, per la cerca del patró.

Com en qualsevol joc, l’enunciat demana que els alumnes provin el joc, experimentin i facin unes primeres partides per familiaritzar-se amb ell. Seria l’estratègia d’abordatge. 
Després, ja entraríem en una segona fase d’anàlisi del joc. Ja sense competir, estudiant les possibilitats i respostes de cada jugador. Entraríem en una etapa de tempteig, d’assaig i error que ajuda als alumnes a investigar les diferents possibilitats i a establir conjectures que després hauran de provar per veure si hi ha una estratègia guanyadora.
En canviar les condicions del joc: afegint més punts al “tauler” o canviant les normes, les possibilitats poden canviar. Cal tornar a conjecturar i provar per justificar el que hem pensat.
Obre també moltes possibilitats a l’ampliació a nivell de patrons numèric i geomètrics.

DIMENSIONS: Treballa fonamentalment les dimensions de RESOLUCIÓ DE PROBLEMES i RAONAMENT I PROVA.

BLOCS DE CONTINGUTS: ESPAI I FORMA i RELACIONS I CANVI

CONTINGUTS CLAU (Burgués i Sarramona (2013), p.47): 
5. Patrons
RC. Comprensió i anàlisi dels patrons, relacions i canvis 
9. Relacions espacials
EF. Localització i descripció de relacions espacials
EF. Utilització de la visualització i de models geomètrics per resoldre problemes

COMPETÈNCIES MÉS IMPLICADES
Competència 1: Traduir un problema a una representació matemàtica i emprar conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre’l.
Competència 4: Fer conjectures matemàtiques adients en situacions quotidianes i comprovar-les.


PARAULES CLAU:
Joc, consecutiu, patró, estratègia guanyadora, prova


QUADRE GLOBAL DE LA PROVA DE 6è FM19


PROBLEMES 6è
DIMENSIONS
COMPETÈNCIES
BLOC DE 
CONTINGUTS
CONTINGUTS CLAU
EMBOLICAR UN REGAL
RESOLUCIÓ DE PROBLEMES
RAONAMENT I PROVA
CONNEXIONS
1
5
7
EF
M
7
8
9
10
CUBS BLAUS I GROCS
RAONAMENT I PROVA COMUNICACIÓ I REPRESENTACIÓ

4
9
EF
RC
5
9
10
14
UNEIX ELS PUNTS
RESOLUCIÓ DE PROBLEMES RAONAMENT I PROVA
1
4
EF
RC
5
9


Referències: 
Barba, D. i Calvo, C. (2015). Bones activitats per a la transició entre primària i secundària. Nou Biaix, nº37, 41-50. http://www.raco.cat/index.php/Noubiaix/article/viewFile/302380/392058

Burgués,C. i Sarramona,J. (2013). Competències bàsiques de l'àmbit matemàtic. Identificació i desplegament a l’educació primària. Generalitat de Catalunya. Departament d'Ensenyament.

López, M. i Riquelme, C. (novembre 2017). La potència del llenguatge algebraic. Banc de Recursos del Fem Matemàtiques.

López, M. i Riquelme, C. (octubre 2015). Estratègia guanyadora. Banc de Recursos del Fem Matemàtiques.