dimarts, 27 d’abril de 2021

EL BELAR DE LES OVELLES. FM21 fase 1. Part I

La importància dels patrons


Etiquetes: patrons, Fibonacci, problema ric

Bloc de continguts: Relacions i canvi

Dimensions: Raonament i prova, Representació i Comunicació. Connexions

Nivell: adaptable des de 6è de primària fins tota l’ESO




Com sabeu, en el Fem Matemàtiques ens agraden els patrons. És habitual que algun dels problemes d’investigació que proposem a la fase 1 tinguin l’objectiu de la cerca de patrons. Però això no és per casualitat, és que un dels objectius principals de les matemàtiques és precisament aquest: cercar patrons al nostre voltant que ens permetin predir comportaments, prendre decisions i actuar en conseqüència. Així, en aquest any de pandèmia s’han recollit un munt de dades que ens permeten veure tendències i regularitats i que descriuen patrons, sobretot, en forma de funció exponencial.


Encara i així, en el dia a dia de l’aula el treball de les relacions i dels patrons a primària i secundària és pobre, reduint-se, tot sovint, a la part de funcions a finals de 2n o 3r d’ESO.


És un tema que treballem molt a Educació Infantil i que després, desapareix del nostre temari!

I per què??

Tots els patrons impliquen una regularitat o repetició expressades de diferents maneres:


abbabba…

clap / / clap / /….



Podem trobar patrons a tot arreu i en diferents contextos: en els dissenys de la roba, mosaics, a la forma de les galàxies, en les formes de les flors, a les cel·les hexagonals de les abelles, en investigacions científiques, patrons numèrics, visuals, …



I l’objectiu principal de les matemàtiques és esbrinar quins són aquests patrons. Tal com diu en Ian Stewart: 


The beauty of numbers in nature. Ian Stewart


“Les meves experiències primerenques amb les matemàtiques van ser molt prosaiques. Tot em semblava que anava de números; fins i tot l'àlgebra només és l'ús de símbols per representar números desconeguts…

Molts nens troben els números fascinants en un principi, però per a molts aquesta fascinació desapareix amb anys gastats en fer càlculs que sovint semblen sense sentit…


Poc a poc vaig descobrir dues coses:  que els números poden ser fascinants per dret propi, i que són només la petita part superior d’un gegant iceberg matemàtic, que inclou moltes més coses: formes, probabilitat, moviment, i, per sobre de tot, patrons. De fet, les matemàtiques sovint es descriuen com una teoria sistemàtica dels patrons".



Per què hem seleccionat aquest problema?


Perquè pretén introduir l’alumnat en un dels patrons més present en la natura i també més famós, la successió de Fibonacci, de manera que la trobin ells mateixos i no a partir de la descripció i explicació d’un llibre o del professor. 

La versió que donem amb el problema del FEM Matemàtiques 21 ha estat un descobriment a partir d’una imatge d’una de les revistes de l’Associació anglesa de professors de matemàtiques (Association of Teachers of Mathematics) atm.org.uk sobre L’espiral de Fibonominos que, a la seva vegada, es va inspirar en el problema de nrich/6470 Building Gnomons (es refereix a Gnomons com a peça que es necessita per completar una figura semblant. En aquest cas gnomons a un quadrat. I utilitzen el terme n-omino on n és un terme de Fibonacci):


Font: Paul Stephenson ATM 


I que ens ofereix una Espiral de Fibonacci diferent a la que estem acostumats:

Font: Wikipedia


i amb un munt de possibilitats que vam aprofitar per el problema i que es va ampliant des de 6è fins a 2n d’ESO però que és perfectament adaptable a altres cursos.


La primera part del problema, el belar de les ovelles, és una adaptació del problema de nrich/2683. El que preteníem és no haver d’anomenar el nom de Fibonacci perquè no portés l’alumnat directament a l’expressió algebraica del patró i, així també permetre que haguessin d’investigar la segona part del problema i trobar la magnífica connexió de l’expressió numèrica del patró amb l’expressió geomètrica del mateix feta amb policubs que ens va inspirar la imatge de la revista de l’ATM.


En fer aquesta investigació els alumnes s’adonen dels patrons i formulen i demostren conjectures. Fan un treball important del bloc de Canvi i relacions en general i de manera especial en la part d’àlgebra, i de les dimensions de Raonament i prova, de Representació i Comunicació i Connexions (entre part I i part II).



Enunciat més pautat




Orientacions pel docent 

 

Com sempre us recomanem que feu vosaltres els problema abans que els alumnes, per adonar-vos de les connexions que podeu establir i que poden sortir, i dels processos matemàtics que entraran en joc.


L’enunciat demana escriure les 8 primeres paraules en llenguatge de les ovelles. Això implica que els alumnes segueixin les condicions del llenguatge i demostrin la seva comprensió en escriure fins a la 8ena paraula: EBEBEEBEBEEBEEBEBEEBE. En aquesta primera part es demana que apliquin la competència 1: Traduir un problema a llenguatge matemàtic o a una representació matemàtica.


En l’apartat a) Compteu el nombre de lletres B, de lletres E i el nombre total de lletres en cada paraula de la seqüència. Què observeu? Podríeu predir, sense construir les paraules, quantes B, E i el total de lletres que tindrà la vintena paraula? Expliqueu com ho heu fet.


es busca la cerca de relacions entre el nombre de lletres E i B i el total de lletres per a veure si hi ha algun patró que m’ajudi a generalitzar i, per tant, predir, sense haver de construir tota la sèrie, com aquest apartat en el cas 20, quantes lletres tindrà la paraula.

Per tant, els processos implicats serien: l’observació de regularitats: conjecturar, provar, generalitzar i predir.

No es diu res, expressament, respecte a com organitzar aquest recompte ja que volem que surtin diferents opcions en forma de llistes personals, esquemes o taules que ens ajudi a establir aquestes relacions i a fer conjectures sobre el patró. Recordeu que sinó s’ha treballat la taula de dades com a representació fonamental, serà un bon moment per a que surti ja que és la manera més sistemàtica de fer la representació i que els alumnes no la saben fer de manera natural. Pensem que la millor manera d’introduir-la no és mitjançant una explicació sinó que entre ells mateixos, puguin veure les diferents opcions que han sortit per organitzar les dades i decidir quina és la més efectiva. Llavors la representació en taula sortirà a partir de la seva pròpia necessitat d’organitzar-se i visualitzar millor les dades.


Aquests alumnes organitzen el recompte en forma de llista seriada que no és la millor opció per descobrir totes les relacions. Descriuen el resultat ajudant-se d’exemples però no acaben de generalitzar. No donen raons matemàtiques del perquè és així.


Aquests si que fan una representació en taula de dades que els serveix per destacar el fet de que es repeteixen els nombres en diagonal però no intenten trobar cap justificació o raó matemàtica. Arriben al resultat amb l’ajuda d’exemples concrets.


A la solució veureu el número de lletres de la sèrie fins a la posició 20. En demanar per la posició 20, el que intentem és que no posin tota la seqüència completa de la posició: EBEBE…. sinó que calculin el número de lletres totals encara que en realitat només caldria que diguessin, expressant-ho en llenguatge verbal, semialgebraic o algebraic que:

   

Si considerem TLn el nombre Total de Lletres de la paraula de la posició n, aleshores es té que:

TLn = TLn-1 + TLn-2


És important valorar en la part del raonament i la comunicació les argumentacions del patró i de la descripció i justificació del procés de resolució. Molts alumnes es limiten a respondre de manera curta o descriptiva les preguntes parcials. Per això, ens agraden més les preguntes obertes amb la indicació de que ens expliquin “Com has obtingut aquests resultats? Perquè surt aquest patró?” que cal potenciar en el treball d’aula i que cal encoratjar a que incorporin en els informes.


En la pregunta b) Si haguéssiu aconseguit escriure en una llista totes les paraules fins la que fa 100, sabríeu explicar com calcularíeu la quantitat de lletres que té la que fa 101? Quines són les 5 primeres lletres d’aquesta nova paraula? I les 10 últimes? Com ho sabeu?


lògicament no es demana per la resposta exacta (no volem que ens diguin la resposta exacta ni que continuïn la sèrie fins a la paraula 99 o 100) sinó per la formulació de la generalització del patró. El que interessa també és que parin atenció en el fet que les 5 primeres lletres de les paraules sempre seran les mateixes i les 10 últimes també:


A partir de la cinquena paraula, les cinc primeres lletres depenen de si la posició és parell o és senar: 

  • En les posicions senars, les cinc primeres lletres són: BEEBE

  • En les posicions parells, les cinc primeres lletres són: EBEBE


I partir de la setena paraula totes acaben amb la seqüència de BEEBEBEEBE.


I el més important, com sempre, no és la descripció del fet sinó del perquè és així fent un raonament lògic-matemàtic (podeu veure’l al solucionari).


De dues maneres diferents ens mostren com es va repetint un mòdul dins el patró (mòdul de repetició o conjunt que es repeteix) a l’inici i final de les paraules. Els ha ajudat el posar-les unes just a sota de les altres per donar un raonament al fet. En aquest problema, la representació juga un paper fonamental.



Dimensions i processos més implicats

 

Us deixem un quadre adjunt amb els processos matemàtics que podem observar i, per tant, també avaluar, en la resolució del problema. La dimensió de connexió està molt més implicada en la part 2 del problema que editarem a la propera entrada. 


Com veieu és un problema molt ric en totes les dimensions. De vegades, estem molt limitats pels continguts curriculars i pensem que fent aquest tipus de problema no estem treballant el currículum. Dos preguntes per fer pensar sobre aquest fet:

El nostre currículum només parla de continguts matemàtics?

Quin espai temporal dediquem a les nostres classes al treball de processos matemàtics?


Ah… i la tercera:

Si ens parem a pensar, “Què voldríem transmetre als nostres alumnes per a què fossin exitosos en Matemàtiques?" Què respondríem?



Utilitzar les eines TIC vol dir, recollint la idea nucli de la competència, si es dona però sempre que hi hagi iniciativa per part de l’alumne (és a dir, que surti d’ells per si sols) En el 1r grau de la competència la iniciativa és molt baixa, i en el 3r seria alta.



Rúbriques d’avaluació: 


Enllaç per 6è

Enllaç per ESO


Exemple de la rúbrica per a 6è. Com veureu, a la dimensió de Raonament i prova a primària, se li dóna especial importància a la conjectura que surt expressament en la competència 4. A ESO no apareix com a competència exclusiva sinó que ja estaria dins de les competència 5 de Raonament i prova.

En les parts en negre es troben els indicadors per als diferents nivells competencials a observar. En blau es troben els apartats on es poden observar aquests indicadors en el problema.



Solucions


Enllaç a la solució part I



divendres, 4 de desembre de 2020

Puzzle multiplicatiu. Model d’àrea o matriu com a representació de la idea de multiplicació

Paraules Clau: multiplicació, representació, model, propietat distributiva, àlgebra, material, primària, ESO



Introducció


A diferència d’altres entrades, en què mostrem un problema com a recurs d’aula, aquesta vegada aprofitem un problema de la segona fase del FM19 de 1r ESO, com a introducció d’una representació del concepte de multiplicació que és molt potent i que, més endavant, ens servirà per treballar significativament continguts algebraics tan importants a l’ESO com els productes de polinomis i les equacions de 2n grau. 

És un model força estès als països anglosaxons i que ara comença a entrar en les nostres aules. Per una banda potencia la mirada de la multiplicació a partir del producte d’elements en files i columnes (matriu, en anglès array model) i que pot servir per treballar aquesta visió geomètrica a les primeres etapes educatives. Per altra també relaciona la multiplicació amb el model continu i amb l’àrea dels rectangles.



L’enunciat del problema deia així: 




Per què aquest model o representació del producte?



  • Perquè dona una representació visual i geomètrica del producte (files x columnes).

  • Treballa l’estructura multiplicativa dels nombres, concepte fonamental a primària i secundària.

  • Fomenta l’ús de la propietat distributiva dels nombres i la fa servir per tenir agilitat en el càlcul mental.

  • Moltes escoles introdueixen aquest mètode a primària ja que proposa una comprensió més significativa de la multiplicació a diferencia dels “algorismes tradicionals”.

  • Permet la flexibilitat en el càlcul numèric i mental alhora que treballa el sentit numèric ja que permet més d’una manera d’arribar a la solució depenent de com agrupem els factors.

  • En els inicis, la introducció d’aquesta representació, permet el treball amb material manipulatiu (blocs multilinks, regletes,..) i apps que ajuden a la comprensió i abstracció de la mateixa. 

  • En cursos posteriors, es pot aplicar en multiplicacions algebraiques de polinomis com per exemple: (x+3)(x+10).  

  • També en cursos posteriors, permet la comprensió del mètode de resolució d’equacions de 2n grau.


El model d’àrea o matriu s’utilitza com a eina i representació de moltes idees fonamentals en matemàtiques:


  • Multiplicació

  • Propietat distributiva amb nombres enters

  • Cerca de l’àrea amb dimensions de nombre enter

  • Quadrats perfectes i arrels quadrades

  • Multiplicar un binomi per monomi

  • Multiplicar un binomi per binomi 

  • Factorització 

(https://tapintoteenminds.com/progression-of-multiplication/)


El terme matriu o “array” vol dir grup d’objectes ordenats en files i columnes. 


En la introducció del concepte de multiplicació, es fa servir molt el model de suma repetida: 

3 vegades 2 = 3 · 2 = 2 + 2 + 2 


però cal tenir en compte aquest model geomètric rectangular que es pot treballar també amb material manipulatiu i que ens porta també a la connexió amb el concepte d’àrea i, més endavant, en el cas de 3 factors ens portarà al concepte de volum.

Matriu de 3 grups de 6 amb Salt de recompte

Aquesta és una representació molt potent de l’estructura multiplicativa dels nombres i ens dona la possibilitat de treballar la flexibilitat i el sentit numèric de manera comprensiva si volem fer multiplicacions de nombres més grans. 


Aquest model geomètric rectangular ens porta també a la connexió amb el concepte d’àrea i, més endavant, en el cas de 3 factors ens portarà al concepte de volum.




  1. INTRODUCCIÓ DEL MODEL AMB MATERIAL


  1. Policubs


                                                 
                                                        8 x 7

L’alumne pot fer diferents descomposicions del mateix producte, adaptant-lo a les taules que coneix. Així, si conec les taules del 5, 3 i 2 que serien les primeres en aprendre, puc fer perfectament el producte: 8 x 7 ja que adaptaré la descomposició dels factors en nombres que per a mi siguin fàcils d’operar:  8 x 7 = 5 x 7 + 3 x 7 = 35 + 21= 56


O també: 

                                      5 x 5 + 3 x 5 + 5 x 2 + 3 x 2


Això dona peu a introduir la conversa matemàtica i la possibilitat de comprovar l'equivalència de les diferents expressions numèriques que surtin a l'aula.


La descomposició amb ajuda de les desenes facilita molt el càlcul:

Multiplication and Division Models and Strategies | Scholastic | Parents

Font: www.scholastic.com 



  1. Les regletes


Un altre material que podem utilitzar serien les regletes. Aquí podeu veure com les fan servir els alumnes de l’Escola Llor. Val la pena que els veieu!



              https://youtu.be/LrWqAaVNslY

                                           


  1. Els blocs multibase: 

https://encrypted-tbn0.gstatic.com/images?q=tbn%3AANd9GcQKJCMKtbyOaRASw9EFH5Mj7e4aqd-sBnylDA&usqp=CAU


El pas amb nombres de 2 dígits el podem treballar amb els blocs multibase per fer el pas amb l’ajuda dels blocs de 100 unitats i, per tant, amb descomposicions amb trossos de 10 que són més “amigables”:


Progressió del model d'àrea de multiplicació amb base de deu blocs 17 x 23

Font: https://tapintoteenminds.com 




2. PAS A LA REPRESENTACIÓ SIMBÒLICA


El pas següent al treball amb material manipulatiu seria el pas a la representació simbòlica més abstracta que permet un algoritme significatiu


Font: https://tapintoteenminds.com 


Un pas més enllà seria fer directament una representació més simbòlica de la matriu, sense la necessitat del suport material, deixant de banda les desenes o els blocs de 100 i les unitats, i adaptar-ho amb flexibilitat a aquells productes que en van més bé. 


Progressió dels models d'àrea de connexió de multiplicació a FOILFont: https://tapintoteenminds.com 

9 x 12 serien: 

9 grups de 12   o 

9 grups de 10 + 5 grups de 2 + 4 grups de 8  o

9 grups de 10 + 9 grups de 2

    

Aquest model permet treballar amb molta més facilitat i flexibilitat que l’algoritme standard el càlcul mental.

De fet s’està utilitzant la propietat distributiva de la multiplicació sobre la suma per facilitar el càlcul amb nombres enters:

Per exemple, “7 x 52 és igual a 7 x 50 + 7 x 2. Això és més fàcil de calcular al cap perquè tinc 350 + 14 = 364. ”


En definitiva, el que la propietat distributiva ofereix als estudiants és una manera de "separar" els seus factors en nombres més amigables per facilitar la multiplicació.

Aquest model permet guiar als estudiants a desenvolupar el seu propi algoritme “conceptual” fent-los organitzar el producte en productes més petits. 



https://mcusercontent.com/09ea969affe5fb531e031be37/images/5424b926-5db8-4f58-827a-7d4314d3bd9a.jpg

Font:https://www.mashupmath.com 



En aquest últim pas està basat la primera part de l’exercici del concurs en la fase 2: 


A l’apartat b), ja més complicat, hi ha un treball implícit de preàlgebra i de factorització (divisors) per a descobrir les incògnites on hauran d’aplicar les operacions inverses.




3. MÉS APLICACIONS DEL MODEL D’ÀREA


Model d’àrea amb nombres decimals


Considerem com podem trencar o descompondre un factor per a que sigui comprensiu. Mireu l’exemple: 

3,5 x 15

Podríem llegir aquest problema com tres grups i mig de quinze.

Això em porta a considerar tres grups de 15 (45) i mig grup de 15 (que és 7,5). Per tant, tres grups i mig de 15 tenen un producte de 52,5.

Podríem modelar aquest pensament com:

https://i1.wp.com/howweteach.com/wp-content/uploads/2019/01/null-18.png?resize=588%2C106&ssl=1


Tres i mig d'alguna cosa se sent aclaparador, però pensar en triplicar alguna cosa i prendre la meitat d'aquesta cosa ... se sent molt més accessible.



4. PROFUNDITZANT MÉS EN LA REPRESENTACIÓ VISUAL: PAS A L'ESO


En aquest cas la representació geomètrica serveix per entendre les regles del llenguatge algebraic que és tan abstracte per alguns alumnes.

El model de representació basat en àrees ens serveix per a la comprensió geomètrica de la multiplicació de binomis a Secundària: 


Font: https://twitter.com/MrsHadden_STEM/status/1264668697454657537?s=20 


Que també es pot fer amb material manipulatiu: cartolines o regletes


Cartolines: 

Podeu trobar com fer el material a  http://factorizaciontrinomios.blogspot.com/ 

Consta de tres tipus de fitxes:

 

    Ficha 1:   Representa un quadrat de costat 1, llavors la seva àrea és = 1 x 1 = 1

   Ficha 2:   Representa un rectangle de costats 1 i x, llavors la seva àrea és 1* x = x

   Ficha 3:   Representa un cuadrado de lado x, llavors la seva àrea és = x . x = x2


 


Regletes:





o virtual (trobareu recursos interactius al final de l’entrada)


Regletes https://ca.mathigon.org/polypad#number-bars 


o Rajoles d’àlgebra 



O blocs multibase virtuals o materials

Imagen

Ampliació d’expressions quadràtiques mitjançant FOIL


Aquests materials també ens poden ajudar a la resolució d’equacions de 2n grau utilitzant la tècnica de “completar quadrats” tal com feien els matemàtics àrabs, com expliquen (C.Calvo i altres, 2016) en el seu llibre (veure bibliografia):




Lo que sucede cuando presentamos la información de varias maneras es simplemente que incrementamos la probabilidad que más alumnos comprendan lo que están aprendiendo, simplemente porque tienen más oportunidades de hacerlo, esto es, más "pistas" para atar cabos…

De hecho, cuantas más modalidades usemos, cuanto más ejemplos demos, cuantas más referencias sensoriales (del tipo que sea) utilicemos, más potenciaremos el aprendizaje (de todos los alumnos), porque más vínculos podrán hacer con sus conocimientos previos (Riener 2010).

@hruizmartin





Solucions al problema



Respostes d’alumnes  


En general, la majoria dels alumnes no han arribat a trobar la solució de l’apartat b. Això segurament per la dificultat de fer un raonament prealgebraic i a la inversa, que pensem no estan gaire acostumats. També pensem que no estaven acostumats a aquest model de representació visual. Tot suma.


Més d’un alumne falla en associar l’àrea a la solució dels símbol que en realitat són costats (facebook):



Una resposta ben ordenada:


A l’apartat b), la majoria dels alumnes arriba a la solució del rectangle petit:


Encara que aquest alumne, falla en associar el producte de 7x8= 54 amb la solució de 27 i després fa productes buscant la mateixa solució en el rectangle gran.


I no saben com solucionar tot l’exercici. No és fàcil anar cap enrere per saber quins seran els possibles factors que formen el 897 i potser també s’aturen perquè hi ha més d’una solució i el problema no acaba de deixar clar que pot haver-hi més d’una opció.


Aquest seria un dels dos alumnes de 40 que ho va raonar bé:



Recursos interactius


  • https://apps.mathlearningcenter.org/partial-product-finder/ Aquesta app és genial. Pot graduar-se la dificultat (treballa el producte de 2 factors no superiors a 50). Pot servir per fer treball entre iguals, primer fent una conjectura del possible resultat amb càlcul mental per, després, veure com ho ha calculat cadascú amb l’ajuda de l’app.



I adonar-se de que ambdues expressions són equivalents i que es poden fer les variacions que vulguin:



  • La app/web de Mathigon https://ca.mathigon.org/polypad#algebra-tiles és un tresor de laboratori virtual plena de aplicacions per poder interactuar amb polígons, regletes, línia numèrica, barres de fraccions,..  A més es va actualitzant sovint i cada vegada que l’obres trobes més materials per poder treballar on line. 


  • Modelo de Áreas: Multiplicación de PHET Interactive simulations. És una pàgina que val la pena que visiteu. Aquesta simulació en concret té diferents nivells: des de primària fins a l’ESO i permet el treball en parelles i diferents formats de dificultat dintre de cada nivell.




BIBLIOGRAFIA i WEBS


. Aprender a enseñar matemáticas en la educación secundaria obligatoria. (C.Calvo i altres). Ed. Síntesis, S.A.

. The area model for multiplication.(By Harold Reiter, posted January 17, 2017). NTCM     https://www.nctm.org/Publications/Mathematics-Teacher/Blog/The-Area-Model-for-Multiplication/ 

. https://www.mashupmath.com 

. https://tapintoteenminds.com/progression-of-multiplication/

. https://howweteach.com/building-multiplication-strategies-in-secondary-mathematics-chunking-decomposing-a-factor/

. Vídeo de Innovamat en español: Multiplicación por áreas https://www.youtube.com/watch?v=vz1cQQh3SnI&feature=youtu.be