dilluns, 27 de juny de 2022

EL JOC DELS ARMARIETS

A la cerca del patró!

FM22 FASE 3. PRIMÀRIA I ESO.



Etiquetes: patrons, divisors, quadrats perfectes

Bloc de continguts: Relacions i canvi, Numeració i càlcul

Dimensions: Resolució de problemes, Raonament i prova

Nivell: de 5è a 2n d’ESO









Enunciat  

A l’escola hi ha un passadís amb una filera de vint armariets. 

Ens hem inventat un joc amb vint de nosaltres i les vint portes dels armariets: 

  • El primer alumne fa una passada obrint totes les portes, una a una, de la filera.

  • El segon alumne fa una passada per les vint portes tancant un de cada dos armariets (el 2, el 4, etc.) 

  • Un tercer alumne fa una passada ordenadament des de la primera porta fins a la vintena comptant de tres en tres. Si troba la porta tancada, l’obra, i si la troba oberta, la tanca.

El joc continua fins que els 20 alumnes hem passat pels armariets seguint les mateixes regles. El quart comptarà de quatre en quatre, el següent de cinc en cinc… i si una porta la troben tancada l’obriran i si la troben oberta, la tancaran.

  1. Quins armariets haurà tocat el 3r alumne? I el 5è alumne?

  2. Fes una representació de com quedaran les portes dels armariets quan hagin passat els 20 alumnes.

  3. Quins armariets seran els tocats només per 2 alumnes? I quins ho seran per 3? i quines seran els més tocats?  

  4. Per què hi ha algunes portes que al final queden obertes i d’altres que queden tancades? Pots donar alguna explicació matemàtica?

  5. Sabries predir com quedariem les portes si hi hagués 60 armariets i 60 alumnes


Enllaç als enunciats

Els enunciats de la prova de fase 3 per a tots els cursos els podeu veure a aquest enllaç de la pàgina web del concurs del FEM MATEMÀTIQUES.

L'enunciat concret d'aquest problema: enllaç


Per què hem seleccionat aquest problema?

És un problema clàssic i força documentat i, alhora, molt ric en treball de processos matemàtics: resolució de problemes, representació, raonament i prova i connexions, que permet treballar a diferents nivells des de cicle superior de primària fins l’ESO. Enllaça els blocs de Numeració i càlcul i Canvi i relacions amb la cerca de patrons numèrics i la seva justificació. 


Permet connectar amb un munt de conceptes numèrics: múltiples i divisors d’un nombre, números quadrats, paritat. 


Aquest problema és una versió del clàssic “Obrint i tancant portes” que té la seva pròpia entrada en el blog Calaix+ie d’en Joan Jareño on trobem que:


Va aparèixer al n. 5 de la revista Cacumen (juny de 1983) en un recull sobre Martin Gardner. També Adrián Paenza l'explica al seu llibre Matemática, ¿estás ahí? Episodio 100.

A la revista Cacumen nº 5 pag 8, s’exposa el problema per Martin Gadner utilitzant cartes franceses.

Enllaç a la revista nº5: https://mega.nz/file/gyg0TCQQ#yd_te-hXWRpe9yE31fqFXjETau68oBCbCJsm78h_Sm8 


El mateix Joan Jareño també en va crear la fitxa de l’ARC. A la seva introducció al joc, diu: 


Es proposa un joc d'obrir i tancar portes seguint unes regles 

relacionades amb els múltiples de 2, de 3, de 4.... 

El problema convida a conjecturar quines seran les portes que quedaran obertes al final (cercar la pauta) i, en una segona part, a justificar-la


Volem mostrar un problema que ens va cridar l’atenció, té moltes possibilitats i que potser hi ha docents que no coneixen. De fet, és un problema que recomanem que feu abans de mirar l’apartat de solucions per a que us adoneu de tot el procés mental que hauran de fer els alumnes i per enfocar la vostra gestió d’aula. Segurament fareu bones descobertes com ho hem fet nosaltres!


Us recomanem que feu personalment el problema

abans de mirar l’apartat de solucions per a veure el procés mental

que hauran de fer els vostres alumnes i fer unes bones descobertes!

 

Solucions del problema 

  1. Quins armariets haurà tocat el 3r alumne? I el 5è alumne?

Tocarà els múltiples de 3: 3, 6, 9, 12, 15,18 

Tocarà els múltiples de 5: 5, 10, 15 i 20

No poden tocar més enllà de la porta 20.

Aquesta pregunta no va més enllà de que ho relacionin amb els múltiples. Seria com una comprovació de la traducció de l’enunciat. 

  1. Fes una representació de com quedaran les portes dels armariets quan haguem passat els 20 alumnes.

En aquest apartat volem treballar la dimensió de representació. Cada alumne haurà d’organitzar la informació i representar les dades de manera sistemàtica i que s’entengui. 

El nivell de resposta respecte a les condicions anteriors (sistemàtica i que s’entengui) ens donarà la puntuació de l’apartat.

Aquí posem un exemple de com podria ser: 

        Versió feta per les autores de la representació del problema amb https://mathigon.org/polypad/yOGCxIeRtOgNxQ 

Els punts taronges serien armariets OBERTS

Els punts grana serien armariets TANCATS


  1. Quins armariets seran els  tocats només per 2 alumnes? I quines ho seran per 3? i quines seran els més tocats?  

Els tocats per 2 alumnes coincideixen amb els nombres primers ja que tenen només dos factors: ells mateixos i l’1: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 i 19.

Per 3 alumnes, queden el 4, 9 i 16 que tenen 3 factors: 1, 2, 4 ;1, 3, 9 ; 1, 2, 4, 8, 16. 

Els més tocats seran els que tinguin més factors o divisors: 12, 18 i 20

Aquesta pregunta s’ha de valorar només perque intenta fer caure als alumnes en la importància del número de factors que té cada número i la seva relació amb les portes obertes i tancades. Els guia cap a la resposta d).

No es demana cap justificació matemàtica sinó la constatació de fets que ajuden a connectar.

  1. Per què hi ha algunes portes que al final queden obertes i d’altres que queden tancades? Pots donar alguna explicació matemàtica?

És molt interessant perquè al final només queden obertes les dels números quadrats per què són els únics nombres que fins al 20 tenen 1, 3 o 5  factors, és a dir un número senar de passades, i per paritat, quedaran: obert /obert-tancat-obert/ obert-tancat-obert-tancat-obert , sempre obertes. 

Divisors de l’1: 1

Divisors del 4: 1,2 i 4

Divisors de 9: 1, 3 i 9

Divisors del 16: 1, 2, 4, 8 i 16 

La resta dels nombres, es pot comprovar a la representació, tenen un nombre de factors parells i, per tant, quedaran tancades. 


Si volem avaluar aquest apartat, nosaltres ho faríem en funció de la connexió i el raonament matemàtic que utilitzin per respondre. 

  • Les explicacions amb exemples més concrets i que no arribin a la generalització del patró, tindran un nivell més baix. 

  • El nivell més elevat seria el que connecti la paritat del nombre de divisors amb el fet de la paritat de l’acció d’obrir i tancar portes. Un nombre parell de factors sempre deixarà la porta tancada: O-T

Un nombre senar de factors sempre deixa la porta oberta: O-T-O

  • Serien d’un nivell molt superior aquelles respostes que arribin a explicar el perquè de que els nombres quadrats tenen un nombre senar de factors i la resta de nombres no. Amb una explicació que s’apropi a aquesta: 

Per cada divisor d'un nombre hi ha la parella que en multiplicar-se donen el nombre.

És a dir, si 2 és divisor de 10, aleshores hi ha el 5, tal que 2·5=10 

Per tant, per cada nombre hi ha una parella i per això el nombre parell de divisors. Només hi ha "l'excepció" dels quadrats perfectes, on la parella és el mateix i per això no compta amb a divisor nou (cas del 4: tenim l’1 que forma parella amb el 4, i el 2 que queda sol fent un 2x2). 


  1. Sabries predir com quedariem les portes  si hi hagués 60 armariets i 60 alumnes?

  • Quedarien totes les portes tancades menys les portes del nombres quadrats fins al 60:

1-4-9-16-25-36-49. La raó estaria argumentada en la pregunta anterior.

OTT OTTTT 0TTTTTT OTTTTTTTT OTTTTTTTTTT OTTTTTTTTTTTT O… 



  • Però el que veuen molts alumnes no és aquesta successió de senars consecutius sinó que entre porta oberta i porta oberta sempre hi ha un nombre parell que creix +2 cada vegada

Quedaría un patró del tipus OTT OTTTT OTTTTTT OTTTT……, és a dir, 1 obert 2 tancats 1 obert  4 tancats 1 obert 6 tancats …

A partir d'aquest patró podem preveure que sempre hi haurà una porta oberta i tantes portes tancades com a múltiples del 2. 


De fet aquesta mirada es refereix al mateix creixement de la imatge anterior del Joan Jareño, només que mirant el creixement dels laterals ja que el punt de la cantonada es manté constant tota l’estona: 

Aquesta explicació us pot ajudar a interpretar les produccions dels alumnes i per tant saber com guiar-los per anar cap als conceptes matemàtics de descomposició factorial i nombre de divisors que interessen i cap a la justificació completa del patró.



Gestió d’aula


Les possibilitats de gestió de l’aula a l’hora d’introduir el problema són variades:

  • Des d’un role-play amb els alumnes que en cercle s’asseuen a una cadira i es posen drets segons el nombre que els toqui o com explica en Joan Jareño en la pàgina de l’ARC  en l’apartat d’orientacions metodològiques amb cartes amb números de 1 al 25 o al 50 que poden girar en funció de si la porta queda oberta o tancada. 

  • Amb la representació que ells mateixos poden fer desde la seva creativitat (a la prova del Fem matemàtiques hem posat una petita guia en format de portes/recta numèrica ja que el temps a la prova és limitat però a l’aula podem no posar-la i deixar la representació lliure que segurament serà més rica).

Respecte als enunciats per primària, la diferència de 5è a 6è, és que afegim una última pregunta que intenta que provin la conjectura que han fet en l’apartat anterior i prediguin com quedaran les portes dels armariets en un número gran com 60 armariets que ja no es pot representar per la gran quantitat de divisors que haurien de calcular. 


Considerem que és un bon problema per portar també a les aules del primer cicle de secundària i que es pugui profunditzar en les raons i arguments matemàtics.


Bones preguntes com a guia


El treball del problema, el volem dirigir a la investigació per trobar el perquè matemàtic dels patrons que van sortint i de les relacions que troben. 


Hem comprovat que el patró i la visibilitat dels nombres quadrats no és fàcil per a alumnes d’aquesta edat, per tant, es necessita de la guia del professor per arribar a fer una bona conjectura. Però les descobertes i l’aprenentatge que dona pensem que són prou rics i importants: com el fet de que els nombres quadrats són els únics que tenen un nombre senar de divisors i el perquè d’aquest fet.


El patró i la visibilitat dels nombres quadrats no és fàcil

per a alumnes d’aquesta edat. 

Es necessita de la guia del docent mitjançant bones preguntes per trobar

el perquè matemàtic i connectar les relacions que troben.

Podeu plantejar el problema com un joc i deixar les preguntes dels apartats a) i c) com preguntes que podeu anar fent per guiar i que els alumnes vagin fent connexions.



Competències més implicades


Pensant en els principals processos que haurien de posar en marxa els alumnes en fer aquest problema, creiem que:

Comença sent un problema de representació, que ens ajuda a interpretar el problema i les seves demandes per després centrar-se en la cerca de relacions entre els números i el fet de que les portes quedin obertes o tancades (connexions) i de si hi ha un patró matemàtic i amb quins conceptes queda relacionat per poder justificar el perquè del patró (raonament i prova)


En la web de l’ARC trobareu molt ben documentat el problema amb un document pdf que explica el perquè de la riquesa competencial del mateix fet pel Joan Jareño

Obrint i tancant portes 

Font: Joan Jareño


Com veieu és un problema molt ric en treball de processos matemàtics i en Joan ha fet una anàlisi molt completa d’aquesta riquesa.

 

Mostres d’alumnes i conclusions


En ser un problema de la fase 3 individual, hem de considerar que no hi ha hagut lloc per la conversa en equip i que tenen un temps limitat per fer els problemes juntament amb la tensió pròpia d’un concurs matemàtic, per tant, els resultats no són els mateixos que es poden donar a l’aula en un altre ambient, però segur que aquestes respostes dels alumnes us orientaran per posar-ho en marxa.

Les justificacions matemàtiques i l’aprenentatge que es deriven d’aquest problema es poden donar perfectament en un ambient de resolució de problemes, conversa i bones preguntes que guien per part del professorat. 


Respecte a les respostes donades pels alumnes de 5è i 6è, hem vist que:

  • La majoria fan una bona representació del problema i veuen la relació amb els múltiples. També veuen què hi ha portes que es toquen més i altres menys.

  • Encerten en els números de portes obertes i tancades, gairebé tots.

  • Però no tots relacionen les portes tocades per 2 alumnes amb els nombres primers:


Alguns sí que ho fan i ho justifiquen: 


  • Molts veuen que la relació entre la porta oberta i tancada depèn del número de vegades que passen els alumnes. Però no tots arriben a veure el fet de que la paritat dels divisors que té un nombre, afecta al fet de que la porta quedi oberta o tancada. 


Aquests alumnes veuen la relació encara que no acaben de justificar perquè és així:


Mentre que aquests ja donen una justificació de perquè en tenir un nombre parell de divisors la porta quedarà oberta i un nombre senar, la porta tancada:


  • Cap alumne ha reconegut els nombres quadrats en el patró i per tant, no connecten la raó matemàtica amb el perquè de que siguin aquests els que queden oberts. 

Les explicacions de la justificació matemàtica del patró s’apropen a la idea de que la paritat té a veure però no a la veritable raó matemàtica.


Uns quants alumnes veuen un patró creixent  O T T O T T T T O… De manera que les portes tancades anirien creixent en sucessió: 2-4-6-8-..

  • Molt pocs poden preveure les portes que quedaran obertes amb 60 armariets. Si ho fan ho l’associen al patró creixent de les portes tancades que queden enmig: 2, 4, 6, 8…

“Si, perquè he trobat el patró de 1 porta oberta, 2 tancades, 1 oberta, 4 tancades així successivament. El que passa és que es va sumant de dos en dos les portes tancades 2, 4, 6, 8,...”



Com hem dit abans respecte als alumnes de primària, pensem que deixar més temps, el treball en equip i les bones preguntes segur que els faran arribar a la raó final del patró.

I, és possible que alumnes de 1r o 2n d’ESO puguin arribar a deduir-la sols. Si ho feu amb els vostres alumnes envieu-nos evidències dels seus raonaments! 



ENLLAÇOS i BIBLIOGRAFIA 




dijous, 19 de maig de 2022

EL CAMÍ DEL NOMBRE

Connexions entre números i formes


FM22. PRIMÀRIA I ESO



Etiquetes: patrons, formes geomètriques, taules de multiplicar, divisibilitat

Bloc de continguts: Relacions i canvi, Numeració i càlcul, Espai i forma

Dimensions: Raonament i prova, Comunicació i Representació, Connexions

Nivell: de 5è a 2n d’ESO. Adaptable a més petits


Enunciat de primària: enllaç

A l’escola d’en Hao fan figures amb fil de llana. Es col·loquen els nens i nenes en cercle i passen el fil d’un a l’altre de manera que al final es formen línies, estrelles o polígons!

Ens ha convidat a fer figures amb el seu mètode començant per posar-nos 5 alumnes en cercle a la mateixa distància un de l’altre i ens ha dit que podem fer diferents figures si passem el fil de diferents maneres: fent salts d’un en un fins que el fil arribi al nen que ha començat. I després de 2 en 2, de 3 en 3, i així... Diu que surten unes figures molt maques i diferents!                    

Proveu de fer les figures d’en Hao amb el seu mètode! Fixeu-vos en les imatges anteriors per començar.
a) Quines figures surten? Dibuixeu-les. Per ajudar-vos podeu utilitzar la plantilla que teniu a l’annex II.
b) Quines figures surten que siguin polígons regulars i quan és així?
c) La Laia diu que si fem el cercle amb més nens i nenes, sortiran més figures diferents. Per què no ho proveu? Investigarem ara què passa si el cercle el formen 10 alumnes. Utilitzeu la plantilla de cercles de 10 punts de l’annex. Comenceu el camí sempre pel zero.
Dibuixeu, des de la figura del camí de l’1 a la del camí del 9. Mireu com es va formant el camí del 3:

• Heu passat per tots els nombres en totes les figures? Us n’heu deixat algun en algun cas?
• Què observeu? Algunes figures són iguals o semblants a altres? Per què penseu que deuen ser així?. Expliqueu tot el que heu descobert i intenteu raonar el per què.
• Després d’haver fet tantes figures, podeu donar una explicació o raó matemàtica de per què de vegades surten estrelles i, de vegades, polígons regulars o altres figures?


Aquest seria l’enunciat base per a primària i ESO. Si mireu els enunciats són semblants amb preguntes d’ampliació. Problema “terra baix-sostre alt”.


Enunciat de secundària

Els enunciats de secundària els podeu veure a l’enllaç i a l’apartat de solucions.


Per què hem seleccionat aquest problema?

És un problema molt ric en treball de processos matemàtics: representació, raonament i prova i connexions, que permet treballar a diferents nivells des de la primària fins l’ESO. Alhora enllaça els blocs de numeració i càlcul, espai i forma, i relacions i canvi amb la cerca de patrons.


Potser molts de vosaltres conegueu el Cercle Waldorf que s’utilitza a la metodologia Montessori per memoritzar de manera amigable les taules de multiplicar: 


Es fa servir a primària i es van formant diferents figures geomètriques depenent de la taula del nombre. Així, a la taula del 2 s'enllacen amb un fil de llana els números que s’obtenen en fer salts de 2 en 2: 2, 4, 6, 8, 10,.. fins que es torna al punt d’origen 0. 

Als més petits, a modus d’introducció de les taules, es pot dir que “fem salts” de 2 en 2 o de 3 en 3,.. i simplement fent un comptatge poden fer-ho.

El camí del nombre proposa una altra representació de les taules de multiplicar com la del problema dels LOOPS (enllaç) ja que treballa la unió de punts de la seqüència numèrica de cada una de les taules, i, partint d’aquesta representació, treballa la cerca de patrons geomètrics i numèrics, i la relació amb les figures geomètriques que formen: polígons regulars, estrelles i segments


El camí del nombre proposa una altra representació 

de les taules de multiplicar com la del problema dels LOOPS


En el treball del problema, hem agafat aquesta idea, però com sempre, nosaltres volem que arribin una mica més enllà de la representació i dirigim la investigació per trobar el perquè matemàtic dels patrons que van sortint, de les relacions que troben i de que surti una figura o una altra. I resulta que aquesta raó està relacionada amb la divisibilitat, per tant, és una altra mirada a aquesta idea central matemàtica i a les possibilitats que obre.


El problema ens dona un nou enfocament de la divisibilitat, 

en ser la raó de que es creïn  unes determinades  figures geomètriques 

També, com sempre i depenent del nivell de l’alumnat, la formulació matemàtica d’aquest patró ens ajudarà a predir quina representació farà determinat nombre, quina figura i en quin punt acabarà.


Un altre motiu pel qual ho veiem interessant és perquè es presta a fer un role-play amb els alumnes, seguint l’enunciat i com mostren els alumnes del col·legi Vedruna Sallent:  


A l’escola d’en Hao fan figures amb fil de llana. Es col·loquen els nens i nenes en cercle i passen el fil d’un a l’altre de manera que al final es formen línies, estrelles o polígons!

Podríem dir que el problema té tres fases de profundització en funció del nivell dels alumnes:

  • La representació de les figures a partir de la seqüència numèrica de les taules de multiplicar, l’observació de semblances entre les figures i una aproximació matemàtica al perquè d’aquesta semblança (nivell de primària, de fet inclús pot fer-se com a repte d’introducció a les taules a finals de 2n de primària). 


Podeu veure el vídeo d’aquests alumnes de 2n de primària del Col.legi Padre Damian SSCC com raonen i justifiquen com pot ser que hi hagi figures iguals!

  • Una justificació més ajustada i matemàtica d’aquestes semblances i la formulació d’un patró que ens permetrà predir en quin punt acabarà el camí del nombre a partir de la relació amb el residu de la divisió entera corresponent. A partir de C.Superior.

  • La descoberta del patró que dona les diferents figures (polígons regulars, estrelles o segments) i I la connexió amb els divisors comuns entre el número escollit per fer el camí i el número de punts que té el cercle. ESO.


Competències més implicades

Nota de les autores: el canvi actual de la LOMLOE afecta al nombre i a la numeració de les competències però no a la seva essència, deixant les dimensions de la LOMCE en blocs de competències, però mantenint l’agrupació al voltant dels processos matemàtics. En aquest document ens referim a les competències vigents en el moment en què es van avaluar els problemes.


Pensant en els principals processos matemàtics que haurien de posar en marxa els alumnes en fer aquest problema, creiem que:

Comença sent un problema de representació, per després centrar-se en la cerca de relacions de les figures que s’assemblen  i, per tant, de si hi ha un patró matemàtic que faci que el camí d’un nombre doni una figura o una altra. Aquest patró té connexió amb la idea de divisibilitat.


De cara a avaluar el problema ens hem fixat en les competència 9 de primària (també 9 de l’ESO) sobre representació, i la competència 5 de primària (també 5 de l’ESO) de raonament i prova, com veureu a les rúbriques d’avaluació. Podrien haver estat unes altres, com sempre passa en els problemes rics, però nosaltres hem relacionat els processos amb aquestes. 


Competències més implicades:

• Competència 9 (primària i ESO): Comunicació i representació. Usar les diverses representacions dels conceptes i relacions per expressar matemàticament una relació. 

 

• Competència 5 (primària i ESO): Raonament i prova. Argumentar les afirmacions i els processos matemàtics realitzats en contextos propers.

 

Rúbrica camí del nombre 5è primària: enllaç

 


Rúbrica Camí del nombre 2n ESO: enllaç

 


Solucions del problema 


a) Quines figures surten? Dibuixeu-les. Per ajudar-vos podeu utilitzar la plantilla que

teniu a l’annex II.

Aquest apartat demana per una activitat de seguir un model que s’ha donat com exemple: fent salts d’1, 2, 3, 4, 5 i 6. El resultat seria una representació com aquesta. És una pregunta d’iniciació al problema que tots poden fer sense dificultat. Com no diu fins a quin nombre han de fer, potser s’adonen que a partir del 5, surten les mateixes figures de manera cíclica. Això ajudarà a la reflexió posterior.

El sentit de començar per cinc alumnes és, primer, fer figures fàcils per començar i després que els alumnes poden fer de punts i passar-se entre ells un fil de llana que formi la figura, tal com hem indicat anteriorment en la fotografia del role-play.


b) Quines figures surten que siguin polígons regulars i quan és així?

Surten polígons regulars amb salts de 1 i de 4. Pot ser que alguns alumnes només hagin fet fins als salts de 5. Si continuen també donaran polígon regular els salts de 6 (torna a ser com un salt de 1) i els salts de 9.

De fet seria un alt nivell de resposta si s’adonen que fer salts de 6 és com fer salts d’1. La raó és que 6 és el mateix que 1 però fent tota una volta. Això és perquè 6=5+1. Això també passarà amb l’11=2·5 +1, on es faran dues voltes i fer com salts d’1. 


Si parlem en llenguatge modular: cada volta de 5 seria un mòdul sencer, per tant, el 6 equival a fer salts d’1.

De la mateixa manera, el 7= 5+2, equivaldrà a fer salts de 2,.. i el 9= 5+4 equivaldrà a fer salts de 4. 

Els salts de 4 dibuixen també el mateix pentàgon regular, tot i que l’ordre en què s’ha construït és l’invers que en el de salts d’1. Això és perquè en llenguatge modular de 5, el 4 és el mateix que -1.


EXPLICACIÓ PER AL PROFESSORAT:  L’aritmètica modular és el que també es pot anomenar l’aritmètica del rellotge

veure https://bancfm.blogspot.com/2020/05/loop-de-loops-i-6e-primaria-i-eso.html 

Cada vegada que diem que les 19 hores són les 7 de la tarda estem fent aquest procés de restar 12 o de trobar el residu de la divisió entre 12. Per tant, és un concepte que en aquesta versió més intuïtiva i propera, tot l’alumnat de primària ha treballat.

Així en aritmètica modular: 6 és el mateix que  1 en mòdul 5 (6≡1 (mod 5)). Això és perquè es fa una volta sencera (5 punts) i el residu és 1 i per això l’aritmètica modular està relacionada amb la divisió entera..


Alguna aproximació intuitiva a aquest argument amb les seves paraules es puntuarà al màxim.


c) La Laia diu que si fem el cercle amb més nens i nenes, sortiran més figures diferents. Per què no ho proveu? Investigarem ara què passa si el cercle el formen 10 alumnes. Utilitzeu la plantilla de cercles de 10 punts de l’annex (es troba a continuació de l’enunciat). Comenceu el camí sempre pel zero.

Dibuixeu, des de la figura del camí de l’1 a la del camí del 9. 


Mireu el vídeo dels alumnes del Col.legi Sant Lluis com fan la construcció de les figures amb material: https://twitter.com/ColSantLluis/status/1470796740819406853?s=20&t=X6z30u38kAjyhE2d-6QVBg


• Heu passat per tots els nombres en totes les figures? Us n’heu deixat algun en algun cas? 

S’hauria d’observar que només es passa per tots els nombres en el cas de salts 1 i 9 que formen polígon regulars i 3 i 7 que formen estrelles.

• Què observeu? Algunes figures són iguals o semblants a altres? Per què penseu que deuen ser així? Expliqueu tot el que heu descobert i intenteu raonar el per què. 

Són figures semblants:

1 i 9 decàgons regulars    2 i 8 pentàgons regulars 

3 i 7 estrelles de 10 puntes       4 i 6 estrelles de 5 puntes

5 forma un segment

Les descobertes al seu nivell podrien ser:

  • Les figures que s’assemblen són aquelles que els salts formen una suma de 10.

  • En aquests casos el dibuix es fa en sentit invers (en el sentit antihorari).

  • El cas del 5, fa un segment perquè va i torna al punt de partida i és just a la meitat.

• Després d’haver fet tantes figures, podeu donar una explicació o raó matemàtica de per què de vegades surten estrelles i, de vegades, polígons regulars o altres figures?

  • Formació de figures que s’assemblen: és el mateix fer salts d’1 que de 9, únicament canvia el sentit del dibuix. 10 - 9= 1. També els salts de 2 són el mateix que amb el 8 ja que 10 - 8 = 2. I així amb tots. Aquesta percepció del sentit invers esdevé quan fan el dibuix.

  • Els polígons regulars que surten amb 1, 2 és perquè dividim els 10 punts entre 1 i surt un polígon regular de 10 costats. Si ho fem entre 2 sortirà un polígon regular de 5 costats. Per tant, sortiran en cas de salts de nombres que són divisors del número de punts del cercle. El cas del 5, com 10:5=2 surt una línea que divideix en 2 la figura.

  • Els divisors de 10 són 1, 2, 5 i 10. A la resta de casos, que no són divisors, surten estrelles. 


FINS AQUÍ 5è-----------------------------------------------------------------------------------------


El camí del nombre 6è primària

L’enunciat de 6è és el mateix que el de 5è afegint les preguntes següents: 


d) La Nadine també ha escoltat les explicacions del Hao sobre com fer figures i ha dibuixat tres cercles diferents ja que vol comparar que passa fent el mateix salt en diferents cercles. El primer amb 5 punts, el segon amb 6 i el darrer amb 12.

• Representeu les figures del camí del 3 en els tres tipus de cercle. Què obteniu? Quina explicació hi trobeu?

En el cercle de 5 punts s’obté una estrella, en el de 6, un segment i en el de 12, un quadrat. 

En aquest apartat es pot comprovar la conjectura del patró anterior. El 6 i el 12 són múltiples de 3, per tant, en fer salts de 3, formaran 6:3=2 un segment que partirà en dos el cercle i 12:3=4 un polígon regular de 4 costats, per tant, un quadrat. En el cas d’un cercle de  5, com no és un múltiple de 3, formarà una estrella.

Amb aquesta pregunta es pretén que els alumnes cerquin 

quin serà el patró que fa que es formi les diferents figures:  polígon regular, 

estrella o segment i en cerquin i argumentin la raó.


• Si continuem fent salts de 3 i ens aturem després d’haver saltat 84 punts sense comptar el 0 inicial, en quin punt acabarem en cadascun dels tres cercles? 

Aquesta pregunta serveix per aplicar la fórmula del patró en un número elevat de salts. Ja no serveix el dibuix. Això voldria dir que ha donat més d’una voltat a cada un dels cercles:

En el de 5, cada 5 salts torna al 0, per tant dona una volta sencera. 84: 5= 16 voltes i residu 4, per tant quedarà en el punt 3 que és on queda quan en l’original compto 4 salts. 

En el de 6, cada 2 salts torna al 0, i per tant, dona una volta sencera o el que és el mateix: si són salts parells quedarà al 0 i si són senars, quedarà a 1. En el cas de 84 punts, com és parell quedarà al punt 0.

En el de 12, cada 4 salts dono una volta sencera. 84 :4= 21 voltes exactes i queda en el punt 0


• Si féssim salts de 3 en un cercle de 9 punts, què penseu que passaria? En quins altres cercles passaria algun fet semblant i per què? Podeu arribar a alguna conclusió? 

En el de 9 punts, com 9:3 =3 formarà un triangle equilàter ja que el 9 és múltiple de 3. En tots els cercles que tinguin un número de punts que sigui múltiple de 3 es formarà un polígon regular.


A partir d’aquí, a ESO………………………………………………………………….


c) El grup d’en Jan ha seguit donant voltes després d’arribar al zero. Sense comptar el zero inicial han passat per 23 punts. Sabeu en quin punt s’han quedat? I si haguessin passat per 783 punts?

Entenent que són salts de 3 en 3, la solució seria: 

Per fer una volta sencera amb salts de 3, necessita 10 salts. Amb 23 salts faria 2 voltes senceres i li sobraran 3 salts, el que el faria arribar al 3, 6, 9: al 9

Aquest primer apartat serveix per comprovar la conjectura que hagin fet per trobar la solució, ja que ho poden provar directament dibuixant en la figura. El 2n apartat, ja no ho podran fer dibuixant i, per tant, hauran de calcular.

Necessita 10 salts per fer una volta sencera en salts de 3 en 3 en el cercle de 10 punts. Si passen per 783 punts han fet 78 voltes senceres i li sobrerien 3 salts, per tant, arribarà al mateix lloc: al 9.


La Nadine també ha escoltat les explicacions d’en Hao sobre els camins dels nombres i ha construït tres rellotges diferents. El primer amb 5 punts, el segon amb 6 i el darrer amb 12 punts.

d) Representeu el camí del tres als tres rellotges. Què obteniu? Quina explicació hi trobeu?

I mateixa explicació que a primària.


Si continueu el camí del 3 i us atureu després d’haver passat per 783 punts sense comptar el 0 inicial, en quin punt acabareu en cadascun dels tres rellotges creats per la Nadine?

Aquesta pregunta serveix per aplicar la fórmula del patró en un número elevat de salts. Ja no serviria fer-ho en el dibuix. Això voldria dir que ha donat més d’una volta a cada un dels cercles:

En el de 5, cada 5 salts torna al 0, per tant dona una volta sencera. 783: 5= 16 voltes i residu 4, per tant quedarà en el punt 3 què és on queda si en l’original compto 4 salts. 

En el de 6, cada 2 salts torna al 0, i per tant, dona una volta sencera o el que és el mateix: si són salts parells quedarà al 0 i si són senars com aquest cas, quedarà a 1

En el de 12, cada 4 salts dono una volta sencera. 783:4 = 195 voltes i queda un residu de 3 salts. Per tant, queda en el punt 9.


e) En alguns dels cercles que hem construït ens ha sortit una estrella de 5 puntes. Podríeu trobar altres cercles en els quals el camí d’algun nombre sigui també una estrella de 5 punxes? Quina relació hi ha entre els cercles i els nombres que heu escollit?

Si revisem les figures ja fetes, surten estrelles de 5 puntes:

  • En el cercle de 5---- salts de 3 i salts de 2 

  • En el cercle de 10--- salts de 4 i salts de 6

El raonament és que sinó hi ha divisors en comú, entre els punts del cercle i els salts (exemple de cercle de 5 i salts de 3 i 2) l’estrella passa per tots els punts. Com hi ha 5 punts, sortirà una estrella pentagonal.

I si tenen algun divisor en comú (cas de cercle de 10 i salts de 4 i 6 que tenen divisor comú 2), hi hauran punts que no intervindran en la figura. El camí passa per cada 2 punts i serà una estrella de 10/2=5 puntes. 


FINS AQUÍ 1r ESO-------------------------------------------------------------------


2n ESO: És el mateix, però canvia la última pregunta e) per aquesta:


e) Torneu-vos a centrar en el camí del tres. En quins rellotges no passeu per tots els punts? Per exemple, què passa amb el rellotge de 111 punts? Podeu trobar-hi alguna regla general?

El camí del 3 en:

cercle de 5 punts: Passa per tots els punts formant una estrella pentagonal

cercle de 6 punts: Només passa per 2 punts (0 i 3) formant un segment

cercle de 10 punts: Passa per tots els punts formant una estrella decagonal

cercle de 12 punts: Passa per 4 punts formant un quadrat (polígon regular)


La regla general és:

. Si el número dels salts (n) és un divisor del número de punts del cercle (c), formarà segment o polígon regular. El cas del segment serà quan el nombre de salts sigui la meitat del número de punts del cercle. En els altres casos es formarà un polígon regular de tants costat com c/n, per exemple, en el cas del salt de 3 en cercle de 12 punts, dividim 12/3 i donarà 4 formant un quadrat.

. Si no hi ha divisors en comú entre el número de punts del cercle i el número dels salts, formarà una estrella. Com que no hi ha divisors en comú, l’estrella tindrà tantes puntes com el nombre de punts del cercle. Per exemple, en el cercle de 5, en el cas dels salts de 2 i de 3, l’estrella passa per tots els punts i sortirà una estrella pentagonal.

. I si el número de punts del cercle i el número dels salts tenen algun divisor en comú (sense que sigui un divisor de l’altre) es formarà una estrella però hi haurà punts que no intervindran en la figura. Per exemple, en el cas del cercle de 10 i salts de 4 (i 6) es té que 2 és divisor comú, però 4 no és divisor de 10. Per tant, la figura serà una estrella de 10/2=5 puntes:

Per tant, el rellotge de 111 punts, com té 4 divisors: 1, 3, 37 i 111 formarà amb salts d’aquests nombres, polígons regulars de: 111 costats, 37 costats i triangle equilàter. 

Amb la resta de nombres formarà estrelles que passin per tots els punts a excepció d’aquells salts que tingui divisors comuns amb el 3 i el 37.



Mostres d’alumnes


Els alumnes no han tingut cap dificultat en fer les representacions dels camins de l’1 al 9. És una entrada al problema fàcil i entretinguda. 


Una opció per l’aula és decorar les figures geomètriques 

de cada alumne amb el seu propi estil!


En un primer nivell, la majoria observa les semblances de les figures dels camins que sumen 10: 


Són molt interessants algunes de les seves observacions. En el següent cas, destaquen que l’últim dígit del múltiple indica directament els punts per on han de passar:

No sabem si s’adonen del perquè del fet que exposen. En un context d’aula, caldria conduir a aquests alumnes a adonar-se que l'important és el residu de la divisió entera entre 10, relacionant amb les taules de multiplicar i l'aritmètica del rellotge com s'ha comentat anteriorment.


En la següent representació, l’alumnat ha emprat diferents estratègies per representar les informacions que es demanaven en aquest apartat: es destaca l’ús del color per relacionar les parelles on es dibuixen les mateixes figures, així com l’ús de la fletxa amb el sentit del dibuix per destacar, per exemple, que el dibuix de 6 en 6 és el mateix que el de 4 en 4 però dibuixat en sentit invers.


Una bona explicació de les figures iguals, la dona aquest equip on expliciten la relació del 9 amb el -1 en el cercle de 10 punts.


I aquest és un altre exemple ben raonat sobre les figures que són iguals i la raó matemàtica fent, a més una relació amb la seqüència aritmètica de les sèries numèriques: 

Dintre de les respostes rebudes, trobem la d’aquests alumnes que han pres una decisió molt matemàtica ja que s’han parat a observar el nº de moviments i els números pels que passa cada un dels camins, construint una taula de dades que és un bon instrument per observar les relacions existents i poder fer conjectures:


I a partir d’ella, construeixen les seves conclusions: 

I arriben a aquesta conclusió final, que no deixa de ser una conjectura a partir de les observacions prèvies i que caldria continuar investigant, per a veure fins a quin punt és certa o cal completar : 

La feina de conjecturar d'aquest alumnat és destacable, però s'observa que en les conclusions només fan una síntesi de les observacions que han realitzat. Tot i expressar-ho com "això passa perquè" de fet no hi ha una argumentació de les causes que provoquen aquest fet i, a les conclusions, només es troba un resum de les conjectures que havien trobat.


A la cerca de la raó matemàtica del perquè surten diferents figures, aquests alumnes s’han fixat en la relació de m.c.m (no ho diuen però també assenyalen l’últim dígit del nombre per indicar en quin punt va a parar el camí) de manera que el mcm els indica quan torna a l’inici i tanca el cicle.


Apartat d)

Aquesta primera resposta, és d’observació del que passa, i destaca una possible relació amb la divisibilitat, sense acabar de justificar la raó matemàtica del per què és així:


I aquests, arriben intuïtivament i força bé a connectar-ho amb la relació de múltiples. De fet, és un dels pocs equips que ho fa: 

 



A partir d’aquí, a ESO………………………………………………………………….

c) El grup d’en Jan ha seguit donant voltes després d’arribar al zero. Sense comptar el zero inicial han passat per 23 punts. Sabeu en quin punt s’han quedat? I si haguessin passat per 783 punts?


Aquests alumnes donen dos possibles estratègies:

La primera, com han pogut veure en els apartats anteriors, acabarà en el número que indica l’últim dígit del múltiple:


I la segona, se n'adonen que l'important és el residu de la divisió entera entre 10, relacionant amb les taules de multiplicar i l'aritmètica del rellotge com s'ha comentat anteriorment: 


I aquests altres intenten fer servir una regla de 3 pensant en una relació proporcional, i en fer el càlcul 0x23.. doncs no dona!. Llavors divideixen els 23 punts entre 10 i en donar 2,3 ho tradueixen en que “ha passat dues vegades pel 0 i després ha avançat 3 punts més”, que en el cas de la divisió entre 10 és cert que la part decimal coincideix amb el residu, però aquest mètode no serviria per a cercles que no siguin de 10 punts.

Aquests altres ja treballen el residu, fent la igualtat D= d·q + residu donant el pes del resultat al residu.


La Nadine també ha escoltat les explicacions d’en Hao sobre els camins dels nombres i ha construït tres rellotges diferents. El primer amb 5 punts, el segon amb 6 i el darrer amb 12 punts.

d) Representeu el camí del tres als tres rellotges. Què obteniu? Quina explicació hi trobeu?

e) Si continueu el camí del 3 i us atureu després d’haver passat per 783 punts sense comptar el 0 inicial, en quin punt acabareu en cadascun dels tres rellotges creats per la Nadine?

f) Torneu-vos a centrar en el camí del tres. En quins rellotges no passeu per tots els punts? Per exemple, què passa amb el rellotge de 111 punts? Podeu trobar-hi alguna regla general?


Apartat d)

En aquesta mostra podem veure que hi torna a haver una connexió amb la relació de múltiples però no acaba de justificar el resultat de les diferents formes geomètriques que apareixen: 


El següent equip s’apropa a la condició o regla general i la relaciona a si el número de punts del cercle i el número del camí són o no múltiples: 


Aquests ja s’apropen més a la resposta completa. Fan una taula de dades, troben la relació en el mcm i formulen una regla per al nombre de punts ocupats: 


A la resposta a l’apartat e), trobem l’explicació de com entenen el decimal del quocient de la divisió. Així en el cercle de 12 punts (ells diuen del 0 al 11) on es forma un quadrat i en 4 salts dones una volta sencera, el 0,75 l’entenen com a 3/4 parts de la unitat, en aquest cas d’una volta:



Apartat f)

Aquests alumnes fan una conjectura sobre la possible resposta de l’apartat f, però es deixen algun cas. Si ho apliquem al cercle de 10, què passaria amb el cas del 6 o del 4?  10 no és múltiple de cap d’ells però tenen un divisor comú, el 2. Què passaria en aquests casos?

Ells fan una conjectura però no la apliquen al cas de la pregunta del cercle de 111 punts:


Per últim, en aquesta mostra veiem com apliquen la seva conjectura al cas del 111 però no formulen una regla general sinó que utilitzen un exemple concret. Seria un nivell mitjà en el procés d’abstracció:


En general, podem observar que els alumnes arriben a fer connexions amb la divisibilitat en la cerca de la raó del patró però que a la majoria els falta acaba de definir en quins casos formen determinades figures i quina és la relació entre el nº de punts del cercle i el del salts del camí del nombre. En un context d’aula, es pot guiar mitjançant bones preguntes cap a la descoberta d’aquesta relació (veure apartat solucions pregunta e).