dijous, 21 de novembre de 2019

COMPTAR PUNTS A COP D’ULL

Subitizing o l’estratègia de calcular de cop de manera ràpida


Etiquetes: expressions aritmètiques, matemàtiques visuals, subitizing, patrons, llenguatge algebraic.
Bloc de continguts: Canvi i relacions. Nºs i operacions
Nivells: PRIMÀRIA - ESO


En aquesta entrada comencem amb un REPTE a partir de la següent imatge!


Quants punt hi ha? Calculeu-ho de manera ràpida i, si podeu, sense comptar-los d’un en un.

Un cop realitzat el càlcul ens preguntem com els hem agrupat i fins i tot podem marcar-ho a la imatge i anotar l’expressió aritmètica que acompanyi l’estratègia realitzada.

Però encara podem enriquir més el repte si plantegem: 
Quantes solucions diferents sou capaços de trobar? Poseu-hi creativitat!

Una vegada les hagueu fet, cliqueu al següent enllaç on trobareu una mostra del munt de possibilitats que va treure en @mmart659 en un dia molt inspirat ;)
Aquest és un dels problemes proposats als alumnes de 1r d’ESO de la fase 2 del passat FEM MATEMÀTIQUES 2019 i aquesta entrada vol ser un escalfament per treballar els problemes del concurs FEM MATEMÀTIQUES 2020 que està a punt de començar!
           

COMPTAR PUNTS A COP D’ULL. FM19 fase 2. 1r ESO


Proposem aquest problema perquè:
      es pot treballar en una sola sessió a l’aula
      tots els alumnes hi poden participar 
●  es treballen una gran quantitat de conceptes matemàtics: sentit numèric, expressions aritmètiques amb significat, matemàtiques visuals (https://www.youcubed.org/resource/visual-mathematics/) i  preàlgebra.
      serveix per treballar el sentit numèric ja que es treballa la flexibilitat per poder donar solucions variades, descomposant i combinant additivament i multiplicativament els números, en generar les màximes solucions possibles.

És interessant plantejar-lo tant a primària com secundària perquè, tot i que parteix d’un situació senzilla que permet que tothom participi i fer una bona conversa matemàtica on es justifiqui les opcions triades. També permet un treball col·lectiu molt enriquidor, fins i tot en trobades de formació del professorat (així ho hem comprovat en les XIX JAEM en el taller d’àlgebra que vam presentar).

Hi ha també una treball interessant de les dimensions de comunicació i representació, de raonament i prova en haver de justificar l’estratègia adoptada i en el treball del patró al final de l’exercici i de connexions intramatemàtiques en el treball de relacionar el patró geomètric amb les expressions aritmètiques i algebraiques.

La idea d’aquesta activitat està basada en alguns dels darrers post de twitter de referents dels països anglosaxons. Per exemple: 

                                             How many apples? How did you count?
https://twitter.com/Trianglemancsd (Christopher Danielson on Twitter)
Són activitats que introdueixen el concepte de “subitizing” (la paraula deriva del llatí “subito” que vol dir: de cop) que considera la matemàtica visual com una manera de treballar importantíssima per ampliar la nostra comprensió. Per aprofundir sobre el tema: 
“Seeing As Understanding: The Importance of Visual Mathematics for Our Brain and Learning” de Jo Boaler (2018). (Veient per comprendre: la importància de la Matemàtica visual per al nostre cervell i aprenentatge).També molt interessant llegir l’entrada de Marilyn Burns que porta molts anys treballant i investigant sobre el tema: http://www.marilynburnsmathblog.com/an-oldie-revisited-the-border-problem/
(Veure apartat: Per saber més).

També en Joan Jareño ha treballat en el tema del comptatge a cop d'ull en la seva web Calculus http://www.xtec.cat/~jjareno/calculus/quadrar/activitats/ull/percepcio4.htm fa algunes activitats interactives molt interessants per demostrar-nos que la capacitat humana de captar quantitats a cop d’ull és bastant limitada (al voltant de 5 elements) i que s’incrementa notablement quan aquests elements estan ordenats ja que, llavors podem captar més fàcilment les quantitats i si són més grans les podem agrupar. Es el que s’anomena Subitizing conceptual
Costa saber quina quantitat veiem a cop d'ull si és major de 5 
Web Càlculus de Joan Jareño

Una imatge ordenada dels punts en un dau, dominó o cartes, tal com veieu a la imatge, fa que podem reconèixer ràpidament la quantitat sense haver de comptar un a un:
Font: https://tapintoteenminds.com/math/ 
En aquesta idea de l’ordenació estan basats materials estructurats com el Ten Frame que és un material ideal per treballar el sentit numèric i operacions bàsiques: 
Veure https://www.k-5mathteachingresources.com/ten-frames.html

Sumes amb dos ten frames ( Interactiu)

   O algunes de les animacions fetes per entendre l’estructura multiplicativa dels números













Inclús, podeu fer que els alumnes mateixos construeixin les seves imatges amb diferents materials per passar als companys i complicar-ho una miqueta més en funció del nivell. Mireu un altre exemple tret de la xarxa fet per alumnes:

Respostes dels alumnes al problema de Comptar punts a cop d’ull

Aquestes són algunes de les maneres que els alumnes van resoldre l’apartat a i b del problema a la fase 2 del FM 19:

Alumne 1

Alumne 2
En aquestes dues primeres respostes s’observen dues variacions d’una mateixa idea de l’estructura multiplicativa del 3 x 5 però amb una representació diferent amb interès per treballar de manera pròpia i establir les connexions pertinents.


Resposta tipus 2

Resposta tipus 3

Els 3 tipus de solucions anteriors és el que han fet la major part dels alumnes de 1r d’ESO que van participar.

Quan els estudiants “subiten”, identifiquen una quantitat de punts agrupant parts del tot. Cadascú ho veu d'una manera diferent (visual thinking) pel que es duen a terme els càlculs amb diverses mirades produint expressions numèriques equivalents i representant-les en el dibuix. D'aquesta manera potenciem la representació i les connexions internes entre el càlcul i la geometria.
Les diferents estratègies per abordar el comptatge deriven en diferents expressions aritmètiques i en la comprensió directa del significat de la mateixes ja que són ells que les han pensat així. Per tant, és una expressió absolutament significativa per a ells.

Vegem-ne alguns dels resultats que proposa en Manel Martínez en el fil de twitter que us hem mencionat i on trobareu encara més possibilitats: 
https://twitter.com/mmart659/status/1114958851781140481  

A.    Considerem una diagonal de 3 punts, afegim dos punts verds per obtenir dos triangles T_4 = 10, i traiem els dos punts verds.
3 + 2 x T_4 - 2 = 3 + 2 x 10 - 2 = 21

B.   Afegim 1 punt a cada vèrtex i obtenim un quadrat de 5 x 5. Finalment traiem aquests 4 punts.
            5 x 5 - 4 = 25 - 4 = 21
C.   Considerem dos rectangles de 3 punts i un altre de 3 x 5.
2 x 3 + 3 x 5 = 6 + 15 = 21

D.   Considerem una creu central de 2 x 5 - 1 punts, i ens queden 4 grups de 3 punts.
2 x 5 - 1 + 4 x 3 = 10 - 1 + 12 = 21

E.    Considerem 4 triangles de 4 punts i 5 punts que queden fomant les diagonals.
4 x 4 + 5 = 16 + 5 = 21

Per tot això creiem que és una bona activitat per treballar el llenguatge aritmètic i l'escriptura d'expressions equivalents i que també prepara perfectament el treball amb llenguatge algebraic:

A la pregunta c, volem que generalitzin, començant per alguna posició que puguin dibuixar i per a què seguint el patró poguessin trobar una expressió que permetés trobar el nombre de punts per a una determinada posició. És per això que demanem per les posicions anteriors (1 i 2) per facilitar la cerca del patró i així puguin intuir-lo millor

En aquest exemple si seguiu el seu raonament per fer la figura 4 de la sèrie, es pot traduir fàcilment les seves indicacions al llenguatge algebraic:
1r. “Agafa aquesta fila”: el número de punts de la fila seria n
2n. “Li suma els dos buits que hi ha als laterals”: n + 2
3r. “Tenim 6 punts, fem el quadrat, perquè és com si calculéssim l’àrea i fem costat · costat”:  (n + 2) · (n + 2) = (n + 2)2
4rt. “Restem 4 al total”: (n + 2)2 – 4

I aquest altre alumne, explica la seva obtenció de la fórmula que defineix el patró de la figura ja en un perfecte llenguatge algebraic, obtenint una fórmula equivalent a l’anterior 4n + n2:



Alhora, totes les expressions numèriques equivalents que s’obtenen en visualitzar la figura, seran expressions algebraiques diferents i equivalents ja que cada manera de comptar identifica un patró que et permet continuar una sèrie on la figura donada és, tal com enunciava el problema, el pas 3. D'aquesta manera pots generalitzar i saber com és i quants punts té la figura en la posició n. Amb aquest treball s’acaben obtenint un munt d’expressions algebraiques equivalents.


AMPLIACIÓ

Com ampliació sobre el mateix tema us suggerim que feu el problema de l’assecador on trobareu les preguntes i també la imatge per a que la feu servir amb els vostres  alumnes: Enllaç 




PER SABER-NE MÉS

     “Seeing As Understanding: The Importance of Visual Mathematics for Our Brain and Learning” de Jo Boaler (2018): PDF descarregable https://www.youcubed.org/downloadable/seeing-as-understanding/

     The border problem: http://www.marilynburnsmathblog.com/an-oldie-revisited-the-border-problem/
Solucions possibles al problema "The border problem"


Vídeo the border problem. Marilyn Burns










dimecres, 12 de juny de 2019

HEXA-PROBLEMES

PROBLEMES DEL BLOC D’ESPAI I FORMA. FM 19 


Etiquetes: pattern blocks, manipulació, superfícies equivalents, proporcions, àrees, tesselacions.
Bloc de continguts: Espai i forma
Nivells: 6è - 1r cicle ESO
  

Enunciats (Versió editable)

HEXAPROBLEMES I


HEXAPROBLEMES II

* Suposem que els triangles ombrejats de la figura b) són triangles isòsceles.

Per què hem seleccionat aquests problemes?
Hem seleccionat aquests problemes per la demanda de problemes rics i competencials del bloc d’espai i forma per part del professorat. En aquests problemes es proposen reptes de geometria connectant amb patrons, proporcions i àlgebra i ens poden ajudar a treballar la geometria en qualsevol moment del curs i defugir de fer-ho sempre en el seu tram final. Així podem donar resposta a la recomanació del currículum de 2n d’ESO de començar el curs pel bloc d’Espai i forma. Són problemes rics tot i que amb una dificultat i longitud reduïda el que permet un treball d’aula on tothom hi pot contribuir. La riquesa de diversitat d’estrategies per trobar les àrees demanades ens aporta a poder fer una posada en comú d’aquestes amb l’alumnat.

Són problemes que es poden començar a treballar a partir del material manipulatiu Pattern blocks que ens ajudarà a abstraure el concepte de superfícies equivalents i la descomposició i composició de figures. 

Són activitats riques en connexions internes entre els blocs d’Espai i forma, Mesura i Numeració i càlcul i que podríem estendre a Canvi i relacions perquè són figures dissenyades a partir de patrons geomètrics.

A més a més ens obren al món de reptes geomètrics més complicats que juguen a partir de figures i descomposicions equivalents: 
Veure twitter @apuntesdeciencia via @alegallardo28: https://twitter.com/apuntesciencia/status/1138375023121567744?s=12
Reflexions prèvies. Per començar
Tots aquests problemes es basen en visualitzar i trobar una descomposició de la figura que ens permeti determinar l’àrea desconeguda que demana a partir de fer proporcions entre superfícies equivalents.
Per fer aquestes composicions i descomposicions de figures, és important primer poder “jugar” amb un material que ells puguin manipular com els Pattern Blocks. 

Què són els Pattern Blocks? (CentMat, 2019)
Són un conjunt de peces de plàstic amb formes geomètriques diverses.
  • Triangle equilàter (verd)
  • Quadrat (carabassa)
  • Rombe (blau)
  • Rombe prim (beix)
  • Trapezi (vermell)
  • Hexàgon (groc)
Tots les figures tenen tots els costats de la mateixa longitud (1 polzada) excepte el costat llarg del trapezi que és el doble.
                                   
Si és la primera vegada que treballeu a l’aula amb aquest material us proposem fer alguna activitat de coneixement de les fitxes i d’equivalències bàsiques entre elles. 

Aquests són uns boníssims materials plens de recursos per l'aula


Maneres diferents de fer un hexàgon (Rueda i Ruiz, 2016)

Comprovem quines figures tessel·len i quines no i perquè:
Tessel·lacions amb pattern blocs (Ruiz-Aguilera i altres, 2017)


Així els dos primers hexa-problemes, es poden resoldre manipulativament i obtenir descomposicions que ens ajudaran a trobar la resposta.
Pels dos últims problemes, no sabem de cap material que pugui servir-nos (si algú ho sap que ens ho comuniqui, si us plau), però una vegada han fet els anteriors ja poden deduir la solució dibuixant. Aquests problemes no han sortit a la prova però hi eren a l'esborrany i pensem que són igual de bons. És per això, que no tenim cap mostra de solucions d'alumnes. 

Dimensions
Resolució de problemes, Connexions.

Competències implicades ( [1][2], p.8)
PROBLEMA
COMPETÈNCIES PRIMÀRIA

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
HEXA-PROBLEMES










Competència 1. Traduir un problema a una representació matemàtica i emprar conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre’l.
Competència 6. Establir relacions entre diferents conceptes, així com entre els diversos signi-ficats d’un mateix concepte.

PROBLEMA
COMPETÈNCIES SECUNDÀRIA

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
HEXA-PROBLEMES












Competència 1: Traduir un problema a llenguatge matemàtic o a una representació matemàtica utilitzant variables, símbols, diagrames i models adequats. 
Competència 7. Usar les relacions que hi ha entre les diverses parts de les matemàtiques per analitzar situacions i per raonar.

Possibles estratègies de resolució de problemes ([3])
Experimentar, provar, fer dibuixos i esquemes.

Solucions

PROBLEMA A
Podem dividir tot l’hexàgon de costat en 24 triangles equilàters de costat c/2. Per tant, els 24 triangles tenen un àrea de 18 cm2. Com que cada rombe està format per 2 triangles, aleshores tindrà un àrea de 1,5 cm2

Aquest raonament és el que va seguir el següent alumne:

Un altre plantejament es veure que cadascun dels tres hexàgons petits està format per tres rombes. La següent alumna ha abordat el problema per tempteig ja que no se’n recorda de l’àrea de l’hexàgon, aplica la lògica. A partir de descomposar l’hexàgon gran en els tres hexàgons petits i els tres rombes ha anat temptejantamb les àrees dels rombes que al començament plantejava com de 3 cm2, després ho redueix a 2 i, finalment, visualitzant les equivalències, dedueix que és de 1,5 cmper tal que es compleixi l’enunciat: 

Una variació d’aquest plantejament es veure que l’hexàgon gran es pot descomposar en tres grups d’un rombe i un hexàgon petit:



Un altre alumne fa la prova, mirant els angles, de que realment els triangles que composen el rombe també són equilàters:

Una altra alumna raona que hi ha 3 rombes i 3 hexàgons iguals i com que a més, tenim que: 3 rombes = 1 hexàgon, podem obtenir l’àrea del rombe ja que l’àrea total equival a 4 hexàgons: 
Per últim, aquest alumne descomposa tota la figura en trianglets, però s’equivoca en la raó:


PROBLEMA B
Dividim l’hexàgon en 6 parts iguals. Si l’hexàgon blanc interior té 6 cm2, cada trianglet en què queda dividit tindrà àreat=1 cm2.
La 2ª filera de cada part ombrejadaestà formada per 3 trianglets.
La 3ª filera de cada part està formada per 5 trianglets
La 4ª filera de cada part ombrejadaestà formada per 7 trianglets

Per tant, en cada una de les sis parts tindrem 3 + 7= 10 trianglets en la part ombrejada.
I en les sis parts: 10 · 6 = 60 trianglets = 60 cm2                                                                    

Aquest raonament és que el que segueix el següent alumne: 
Que després estableix una proporció:


El següent alumne només compta les àrees ombrejades d’una secció, agafant com unitat el trianglet de 1cm2:

I el següent mira les “porcions per segments” com diu. En realitat, compta els trianglets de cada secció i fa proporcions: 

Com conclueix aquest alumne, la clau per resoldre aquests dos problemes és la mateixa: 

HEXA-PROBLEMES II

PROBLEMA A

La proporció de  Ablanca/ Apintada= 1 tal com es veu a la figura cada part té el seu simètric igual.

PROBLEMA B

Podem dividir l’hexàgon en 18 triangles isòsceles i l’estrella blanca en 12 d’aquests mateixos triangles isòsceles. Per tant, com que l’àrea de l’estrella blanca és de 12 cm2, aleshores cada triangle isòsceles té 1 cm2i l’hexàgon té tindrà un àrea de 18 cm2.



Recursos

CentMat (2019). Rajoles i mosaics (Pattern blocks)
Rueda, M. A. i Ruiz-Aguilera, D. (2016). Pattern blocks: tot un ventall de possibilitats a l’aula. Actes del Congrés Català d’Educació Matemàtica (C2EM). Barcelona: Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya.

Vicente, J., Rueda, M. A. i Ruiz-Aguilera, D. (2017). Mosaicos con pattern blocks. 17JAEM: Jornadas sobre el Aprendizaje y la Enseñanza de las Matemáticas. Cartagena: FESPM.

Bibliografia

[1] Burgués, C. i Sarramona, J. (2013b). Competències bàsiques de l’àmbit matemàtic Identificació i desplegament a l’ESO. Generalitat de Catalunya Departament d’ensenyament.

[2] Burgués, C. i Sarramona, J. (2013b). Competències bàsiques de l’àmbit matemàtic Identificació i desplegament a Primària. Generalitat de Catalunya Departament d’ensenyament

[3] CREAMAT (2015). Estratègies per a resoldre problemes. Generalitat de Catalunya. Departament d'Ensenyament.http://srvcnpbs.xtec.cat/creamat/joomla/file/estretegies_per_a_resoldre_problemes.pdf