dimecres, 25 d’agost del 2021

Conversa matemàtica i coavaluació formativa, una experiència d'aula (article d’en Xavi Roca @netenature)

Paraules clau: Conversa matemàtica, dimensió de Comunicació i Representació, coavaluació formativa

Tenim el plaer de presentar-vos l’article del Xavi Roca @neterature professor de Matemàtiques en un institut públic de secundària i autor d’una magnifica web que es titula MATERATURA (https://sites.google.com/view/materatura/) on, com diu ell, “pretén fusionar les meves dues grans passions: les Matemàtiques i la Literatura. En el context d'una composició literària breu, les històries suggereixen diferents continguts matemàtics.”


En aquest article, ens parla sobre la importància de la conversa matemàtica a l’aula (veieu l’entrada al nostre blog: Com potenciar el treball cooperatiu per compartir i construir coneixement matemàtic?) i la coavaluació formativa entre els alumnes (també sabeu que hem fet més d’un article sobre l’avaluació formativa i competencial) que va posar en pràctica en el context del treball col·laboratiu dels problemes del Fem Matemàtiques.
De vegades, en un ambient d'aula de resolució de problemes en treball col.laboratiu, no arribem com a mestres a estar presents en tots els grups i fer una veritable avaluació formativa amb el feed-back que necessiten els alumnes. És en aquest context que en Xavi va aplicar tècniques de coavaluació entre iguals amb un molt bon resultat. Ja sabeu que, de vegades, funciona millor l'orientació d'un company que la del propi professor.
Parlant amb ell, li vam proposar que ens expliques aquesta experiència que segur ens servirà d’exemple per a molts de nosaltres a les nostres aules. Esperem que us agradi!
Moltes gràcies doncs @neterature!

https://lh6.googleusercontent.com/3UL6rVwbaUpoG6zWem3rnEtAn6zMquNl1FLHIrdo-y6i5t5mJnlObBz2rPE553uM86zQWs0x87ehg7NskLevrVB7R1_PtcOnAbrO5g-8VUXB9fhRftCarTJPepFDiE3rNMG_LnU

"Sóc súper-fan del math-talk, crec que sovint fins i tot massa. Des que vaig descobrir la potència de l'eina del debat (gràcies al Xavier Vilella, al meu pas pel grup Vilatzara), la faig servir d'una manera tan habitual, que de vegades són els mateixos alumnes qui, quan sorgeix una qüestió ambigua a classe, em demanen: “Profe, fem un debat sobre això, si us plau!”

Escoltar com un grup d'adolescents construeix pensament matemàtic a través de la nostra estratègica formulació de preguntes (“Effective questionning in mathematics classroom”, diria en Mason), i a partir d'un ajut o un guiatge matemàtic mínim però també estratègic (“be less helpful”, diria en Dan Meyer), en la meva opinió és un dels moments més bonics que té la nostra professió.  El problema, però, és el seu abast. 

El debat (entès com a conversa matemàtica on el professor només intervé quan el grup no progressa o arriba a un desacord inamovible) és una eina destinada al gran grup, potent i recomanable perquè fomenta el diàleg i el raonament, però que no és gens fàcil d'explotar, ni tampoc arriba a tots els alumnes. Passa el de sempre: participen sempre els mateixos, i encara que un s'esforci (o forci) a donar veu a aquells que habitualment no intervenen, es necessita una estratègia més local per treballar el math-talk a un nivell més reduït.  Aquesta eina és el treball col·laboratiu
El problema que ens sorgeix com a mestres, però, és que ara ja no podem estar atents (com en els debats) a tota la conversa matemàtica que s'està produint (enganxarem fragments aquí i allà, però és físicament impossible escoltar tot el què passa a tots els grups), de manera que haurem d'haver-los educat abans de posar-los a treballar en equips, és a dir: abans de començar el treball col·laboratiu, és convenient treballar uns quants debats.  Aquest binomi (debat a l’aula + treball col·laboratiu) em funcionava relativament bé, però tenia l'espina clavada de no haver-lo aconseguit implementar amb èxit amb els alumnes petits, els de primer i segon d'ESO. Les primeres vegades que vaig fer ús del treball col·laboratiu amb ells van ser fracassos estrepitosos. Els proposava qüestions i problemes que pensava que havien de generar pensament i debat, però no hi havia manera, ni tan sols havent fet debats prèviament. 

Vaig descobrir després la tècnica d'assignació de rols i posterior buidatge amb el gran grup, i vaig comprovar que donava bons resultats. Consisteix a donar a cada membre de l'equip una responsabilitat (els habituals són el moderador, el portaveu i el secretari, la resta són lliures, jo em vaig inventar la figura del “garant de la correcció matemàtica”), però la potència de l'eina està en què, a deu o quinze minuts abans d'acabar la classe, s'atura el treball col·laboratiu i els portaveus parlen, fan valoració del que ha fet el seu grup i discuteixen amb els altres portaveus. No cal dir que el tipus de pregunta o problema que els proposem també és un factor determinant: n'hi ha que no generen cap pensament matemàtic o ho és massa superficial, i n'hi ha que és difícil que no generin una discussió rica. Es produeix aleshores un debat que afecta a tot el grup, i elimina d'arrel un dels motius pels quals crec que no em funcionava el treball en equip, i és el pensament de: “bah, avui farem això dels grups, no cal que fem res, ningú passa comptes, podem parlar i només fingir que treballem”, mentre que, amb aquest buidatge final, els alumne prenen consciència que la seva conversa i la seva feina seran posades en comú al final de la classe, i a partir de la segona sessió les millores són evidents.  

Aquesta estratègia per fomentar el math-talk i fer-lo arribar a tots els alumnes semblava ja prou definida (combinar els debats amb el gran grup amb el treball col·laboratiu amb rols i debat final), però l'estiu del 2018 vaig conèixer una dinàmica que ens va proposar l'Abraham de la Fuente i que em va semblar molt interessant. Es fonamenta en la idea d'avaluació formativa, i consisteix a donar un feedback formatiu a meitat del procés de construcció o d'aprenentatge. La idea em va semblar tan bona, que vaig pensar que seria una bona tècnica a afegir per educar als alumnes en treball col·laboratiu.  La dinàmica es pot adaptar de la manera següent. Durant els primers vint minuts de sessió, els alumnes treballen en equip, però cada alumne té assegut darrere seu, un “observador” (he llegit posteriorment a twitter que també l'anomenen “l'amic crític”). Durant vint minuts, els “observats” treballen col·laborativament el problema suggerit. Després dels primers vint minuts, durant cinc minuts els observadors donaran feedback als observats (veure fotografia). 

https://lh4.googleusercontent.com/9Mz1gQd6QAKxrw5iCAKXjAW2UcXS4TdSl6SzzRjI9b2KvCXau4RBAACb4byqOV00T9AeCzUcg19YnGs3sppQSmc0wfU88XZ8wdshi4dsSuKSl9hXFWtEQOworaaQvEoeIyC7Fdw  
  
En les fotografies: els alumnes de la taula central aturen el treball col·laboratiu, es giren, i durant cinc minuts reben el feedback dels seus observadors.   

Aquest feedback es fa a partir de la primera de dues graelles on s'avaluen els graus d'assoliment d'uns quants objectius (els habituals del treball en equip), però la característica fonamental d'aquesta avaluació és que no es limita a situar “on està” l'assoliment (és a dir, no només és classificatòria), sinó que s'ha d'insistir als alumnes observadors en el fet que han d'escriure què consideren que ha de fer el seu company per millorar, i també en el fet que l'error i l'avaluació són instruments positius d'aprenentatge i no de classificació, ni tampoc d'ofensa ni de fiscalització. 
https://lh3.googleusercontent.com/U7XqbUm-fDx2a8k9zOEmHBohFYswz7NN99JkBLs6FQI_HMHPmphE0O1_SkQ7BBpsAawc-qrakAvw691e8pJHB-VKYNBaiLY_0I0jQ_CgogKsY0HkIb-OY1M4-MLEXAkD2taM0v0

https://lh5.googleusercontent.com/OqiD6tSmq6K2BbfKZ07bMz3lvPdL3xE7Kp1S5FuYp5ok6QpqA8b-oqtv3GA_ZC06unWYghGi9pmmG9nm5aPX2m0wD836s8_cByVDtHH2IgKqLIr246sG9oPWVajFc3-eOOheRfA
Exemple de graelles emplenades per alumnes, i enllaç a la graella original: https://docs.google.com/document/d/11nbGy2zJrUqw6OYQAoH2TOdk8cklOdrsmXIj5gWDqeo/edit?usp=sharing.  

Després que els observadors donin el feedback que han escrit a la primera graella, es continua treballant de la mateixa manera, és a dir, observadors continuen observant, i observats continuen treballant. Després de vint minuts més, el procés es torna a repetir, i els observadors tornen a donar feedback als observats amb una segona graella, idèntica a la primera. La intenció ara és que observadors i observats avaluïn si les indicacions formatives han funcionat, si s'han pogut dur a terme, i quin és el progrés de l’alumne observat. 
Després, els darrers deu minuts de la classe són per fer una valoració global de com ha anat la sessió: per preguntar a observadors o observats quina mena de feedback s'ha produït, i per valorar si els consells han estat útils. Finalment, en una sessió posterior, s'inverteixen els rols i observadors seran observats i viceversa.  

La sensació a l'aula és molt positiva. La segona sessió és més profitosa que la primera (millors observacions, més treball matemàtic dels observats), però crec que amb un parell de sessions és suficient. La meva percepció és que ara els equips (ja sense observadors) parlen més de matemàtiques i la comunicació és més fluida, però no tinc cap evidència que hagi estat gràcies a aquesta tècnica, així que serà interessant veure si algú més la prova. 

Per acabar amb aquesta introducció al treball col·laboratiu i a la conversa matemàtica, recomano fer-los un regal, inspirat pels posters i les prompt-cards que van compartir la Cyntia i la Mireia al web del banc de recursos del Fem matemàtiques. Es poden imprimir a mida targeta i repartir, un a un, com un regal, sense donar explicacions. Tampoc tinc cap evidència que hagi millorat la qualitat del diàleg matemàtic dels alumnes gràcies a elles, però el cost és tan baix que val la pena provar-ho." 
https://lh3.googleusercontent.com/74O2lpsTgRSoWwnm5KYc4HefivMegIGQ7GJfg5D2AIJTDeZQV_sl19izpA0ntPU3nfkTIIDZdQqErQ_iqZm6OZRE2lYJEGi9oFbxI5P-DsN1TsEL1qvYVuFhdV6AdCVwRO85eew
Tot plegat, el “kit de suport” per a ensenyar a millorar en la conversa matemàtica i el treball col·laboratiu:   


dijous, 22 de juliol del 2021

EL BELAR DE LES OVELLES. PART II. CONSTRUÏM FIGURES

La importància dels patrons: connexions entre geometria i numeració


Etiquetes: patrons, policubs, transformacions geomètriques, àrea i perímetre, Fibonacci

Bloc de continguts: Relacions i canvi, Numeració i càlcul, Espai i forma

Dimensions: Raonament i prova, Representació i Connexions

Nivell: adaptable des de 6è de primària i tota l’ESO



Continuem amb els patrons i connectem amb la Geometria i les transformacions geomètriques: girs, translacions, simetries. Aquest últim gran tema del bloc de Geometria que moltes vegades no sabem com ensenyar, sobretot, perquè en el seu dia, en ser aprenents, no apareixia al currículum. De fet, ens hem trobat que gran part dels alumnes desconeix el vocabulari propi de les transformacions. Dibuixen o fan fotografies del que fan amb les peces de policubs però no saben que fan. Aquest seria un bon problema per introduir o treballar aquestes idees centrals dins del bloc d’espai i forma.


Amb aquest problema tenim l’oportunitat de connectar d’una manera intuïtiva i experimental amb la primera part del Belar de les ovelles que només era una excusa per treballar el patró o sèrie de Fibonacci necessari per poder resoldre el problema.


Per què hem seleccionat aquest problema?


Com vam explicar a l’entrada anterior, la versió que donem al problema del FM21 ha estat un descobriment a partir d’una imatge d’una de les revistes de l’Associació anglesa de professors de matemàtiques (Association of Teachers of Mathematics) atm.org.uk sobre L’espiral de Fibonominos que, a la seva vegada, es va inspirar en el problema de nrich/6470: Building Gnomons.

Font: Paul Stephenson ATM 

Gnòmons s’entén com a peça que es necessita per completar una figura semblant. En aquest cas gnomons a un quadrat. I utilitzen el terme n-omino on n és un terme de Fibonacci.


En fer l’enunciat, el que preteníem era no haver d’anomenar el nom de Fibonacci perquè no portés l’alumnat directament a l’expressió algebraica del patró i, així també, permetre que haguessin d’investigar la segona part del problema i trobar la magnífica connexió de l’expressió numèrica del patró amb l’expressió geomètrica, feta amb policubs, que ens va inspirar la imatge de la revista de l’ATM.


Com veureu, podíem haver començat a plantejar el problema, des de la imatge de l’Espiral sencera feta amb policubs o bé, a partir de les peces que conformen l’Espiral o Fibonominos (aquest nom no apareix als enunciats per no donar pistes). Al final, ho vam fer de les dues maneres: per als més petits des de la construcció i per els grans des de l’Espiral sencera:


Enunciat




Ampliació de 1r d’ESO


A primer es va ampliar el problema de sisè amb les següents preguntes:



Enllaç als enunciats




Competències més implicades


Aquest és un problema ideal per treballar les 4 competències del bloc de Comunicació i representació:


Competència 9. Representar un concepte o relació matemàtica de diverses maneres i usar el canvi de representació com a estratègia de treball matemàtic.

• Competència 10. Expressar idees matemàtiques amb claredat i precisió i comprendre les dels altres

• Competència 11. Emprar la comunicació i el treball col·laboratiu per compartir i construir

coneixement a partir d’idees matemàtiques

• Competència 12. Seleccionar i usar tecnologies diverses per gestionar i mostrar informació, i visualitzar i estructurar idees o processos matemàtics.


Respecte la 10 volem dir que en un ambient d'aula s'hauria de treballar d'emprar el vocabulari matemàtic precís per descriure els moviments.

I respecte la 12 es podria comentar que l'ús de les noves tecnologies s'hauria de deixar que sorgís del propi alumnat


Orientacions per al docent 

 

Com sempre us recomanem que feu vosaltres els problema abans de proposar-lo a l’alumnat, per adonar-vos de les connexions que podeu establir i que poden sortir, i dels processos matemàtics que entraran en joc.


Partim de la construcció de les peces: Construïm figures


Si es vol enfocar el problema d’aquesta manera, el que és ideal és que els alumnes puguin manipular, fer transformacions (girs, simetries,..), ajuntar i separar peces amb un material com els policubs o multilinks. 

El que és important és que els alumnes cerquin i puguin representar i explicar-ho com fan per a crear la següent figura de la successió de figures de l’enunciat. De fet, el que fan és trobar el patró geomètric de la successió que després es connectarà amb el patró de la sèrie de Fibonacci.


Aquesta seria una de les maneres de construir la figura següent


Ens hem trobat que gran part dels alumnes, no utilitzen el vocabulari adient a les transformacions i, per tant, no poden explicar “com ho fan”. Imaginem que no ho han fet a classe.




En aquest dibuix: QUI ÉS L’INTRÚS?


En l’enunciat dels alumnes de 6è se’ls demana que calculin els perímetres de les diferents figures. En principi només seria això i que expliquin com l’han calculat com un treball de diferenciar el perímetre de l’àrea que es demana després. 

En molts casos hem pogut comprovar que la idea de perímetre, no és una idea tan clara pels nostres alumnes d’aquesta edat com ens podem pensar. Algunes de les seves respostes ho demostren: 


Podria ser que algun trobés un patró com el que després es demana a 1r d’ESO i una possible generalització expressada en llenguatge verbal o semialgebraic. 

I, sobretot, potser, algun alumne podria observar que el perímetre de la figura mossegada és igual al de la figura sense mossegar: 

El perímetre de les figures hexagonals es pot veure que és el mateix que el perímetre del rectàngle que s’obté en completar la “mossegada”


En aquesta imatge podeu veure el raonament dels alumnes respecte al seu descobriment:


Aquesta podria ser una investigació apart, com la que proposa Puntmat: https://puntmat.blogspot.com/2015/01/perimetre-i-area-3.html 


En aquesta activitat s’estimula la competència relativa a les connexions dins de les matemàtiques, en la mida que es relacionen nombres i formes i alhora patrons.


En el cas de 1r d’ESO, abans de calcular el perímetre se’ls demana que investiguin si hi ha algun patró entre les llargades i amplades de les figures. Si recollim les dades en una taula com la següent:

on podrien visualitzar els nombres de Fibonacci. A la solució, podreu trobar la generalització del patró.


En aquesta resposta, podeu veure una bona explicació de la generalització del patró amb exemples numèrics concrets, ajudant-se de la representació dels valors en una taula: 


En aquest cas, els alumnes han trobat una diferència entre el patró de les figures senars i les parells i formalitzen la seva conjectura:


Veure el patró entre la llargada i l’amplada facilita veure que en el càlcul de perímetres es poden establir, també dues generalitzacions en funció de si la figura té una forma o altra (que es diferencien en la posició senar o parell).


En calcular els perímetres de les diferents figures s’obté una taula com la següent:

 

Cal tenir en compte que n és la posició de la sèrie de Fibonacci: on F(1)= 0; F(2)=1; F(3)=1 ; F(4)= 2; F(5)=3….

Així en la posició de la figura 3 (n=3), el seu perímetre correspondrà a 4·F(n+2)= 4· F(5) =4·3= 12


La generalització es troba fora de I’abast dels alumnes de 6è o 1r d’ESO. Seria una demanda a fer en cursos més grans.

Així aquests alumnes, fan una taula amb els càlculs dels perímetres i observen que hi ha un augment del perímetre a mesura que la figura es fa més gran. És interessant l’ús que fan de les taules per descobrir els patrons. Les connexions estan facilitades per l’ús d’una representació pròpiament matemàtica:


“Em trobat que en les 3 primeres figures el seu perímetre és dos números més gran que l’anterior. El mateix passa en les dos següents, però traient 6 a l’altre i en l'últim cas li treu 10”



I s’adonen que alguns perímetres es poden calcular aplicant una fórmula i que equivaldria a calcular el perímetre del rectangle equivalent.


Per últim, al problema de 6è se’ls demana per les àrees de les figures i si podrien trobar l’àrea de la figura 10. En demanar això, el que volíem era que veiessin la relació de la successió de Fibonacci que havien vist en l’activitat anterior del belar de les ovelles i, així, l’àrea de la figura 10 serà la suma de les àrees de les figures 9 i la 8 per tal i com es construeix. Per tant, per trobar l’àrea d’una figura cal sumar les àrees de les dues figures anteriors.

figura

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

àrea

3

5

8

13

21

34

55

89

144

233


En obtenir les àrees a partir de sumar els valors de les dues figures anteriors, i començant per l’àrea 3 es veu que es troben (tot i que desplaçats) els valors del patró del Belar de les ovelles.


A 1r, se’ls demana també que per què creuen que s’han pintat de color diferent. Ens agrada el raonament d’aquests alumnes en dir què:



I adonant-se de la semblança de les formes entre la figura sencera i la part mossegada.



Aquests altres expressen la relació amb l’activitat del belar de les ovelles una vegada han fet una taula comparativa per poder veure les relacions: 

En aquest cas els alumnes mostren clarament la forma de llegir la taula i establir la connexió per trobar el patró.


Solucions

Enllaç a la solució part II. 6è i 1r ESO