La importància dels patrons: connexions entre geometria i numeració
Etiquetes: patrons, policubs, transformacions geomètriques, àrea i perímetre, Fibonacci
Bloc de continguts: Relacions i canvi, Numeració i càlcul, Espai i forma
Dimensions: Raonament i prova, Representació i Connexions
Nivell: adaptable des de 6è de primària i tota l’ESO
Continuem amb els patrons i connectem amb la Geometria i les transformacions geomètriques: girs, translacions, simetries. Aquest últim gran tema del bloc de Geometria que moltes vegades no sabem com ensenyar, sobretot, perquè en el seu dia, en ser aprenents, no apareixia al currículum. De fet, ens hem trobat que gran part dels alumnes desconeix el vocabulari propi de les transformacions. Dibuixen o fan fotografies del que fan amb les peces de policubs però no saben que fan. Aquest seria un bon problema per introduir o treballar aquestes idees centrals dins del bloc d’espai i forma.
Amb aquest problema tenim l’oportunitat de connectar d’una manera intuïtiva i experimental amb la primera part del Belar de les ovelles que només era una excusa per treballar el patró o sèrie de Fibonacci necessari per poder resoldre el problema.
Per què hem seleccionat aquest problema?
Com vam explicar a l’entrada anterior, la versió que donem al problema del FM21 ha estat un descobriment a partir d’una imatge d’una de les revistes de l’Associació anglesa de professors de matemàtiques (Association of Teachers of Mathematics) atm.org.uk sobre L’espiral de Fibonominos que, a la seva vegada, es va inspirar en el problema de nrich/6470: Building Gnomons.
Font: Paul Stephenson ATM
Gnòmons s’entén com a peça que es necessita per completar una figura semblant. En aquest cas gnomons a un quadrat. I utilitzen el terme n-omino on n és un terme de Fibonacci.
En fer l’enunciat, el que preteníem era no haver d’anomenar el nom de Fibonacci perquè no portés l’alumnat directament a l’expressió algebraica del patró i, així també, permetre que haguessin d’investigar la segona part del problema i trobar la magnífica connexió de l’expressió numèrica del patró amb l’expressió geomètrica, feta amb policubs, que ens va inspirar la imatge de la revista de l’ATM.
Com veureu, podíem haver començat a plantejar el problema, des de la imatge de l’Espiral sencera feta amb policubs o bé, a partir de les peces que conformen l’Espiral o Fibonominos (aquest nom no apareix als enunciats per no donar pistes). Al final, ho vam fer de les dues maneres: per als més petits des de la construcció i per els grans des de l’Espiral sencera:
Enunciat
Ampliació de 1r d’ESO
A primer es va ampliar el problema de sisè amb les següents preguntes:
Competències més implicades
Aquest és un problema ideal per treballar les 4 competències del bloc de Comunicació i representació:
Competència 9. Representar un concepte o relació matemàtica de diverses maneres i usar el canvi de representació com a estratègia de treball matemàtic.
• Competència 10. Expressar idees matemàtiques amb claredat i precisió i comprendre les dels altres
• Competència 11. Emprar la comunicació i el treball col·laboratiu per compartir i construir
coneixement a partir d’idees matemàtiques
• Competència 12. Seleccionar i usar tecnologies diverses per gestionar i mostrar informació, i visualitzar i estructurar idees o processos matemàtics.
Respecte la 10 volem dir que en un ambient d'aula s'hauria de treballar d'emprar el vocabulari matemàtic precís per descriure els moviments.
I respecte la 12 es podria comentar que l'ús de les noves tecnologies s'hauria de deixar que sorgís del propi alumnat
Orientacions per al docent
Com sempre us recomanem que feu vosaltres els problema abans de proposar-lo a l’alumnat, per adonar-vos de les connexions que podeu establir i que poden sortir, i dels processos matemàtics que entraran en joc.
Partim de la construcció de les peces: Construïm figures
Si es vol enfocar el problema d’aquesta manera, el que és ideal és que els alumnes puguin manipular, fer transformacions (girs, simetries,..), ajuntar i separar peces amb un material com els policubs o multilinks.
El que és important és que els alumnes cerquin i puguin representar i explicar-ho com fan per a crear la següent figura de la successió de figures de l’enunciat. De fet, el que fan és trobar el patró geomètric de la successió que després es connectarà amb el patró de la sèrie de Fibonacci.
Aquesta seria una de les maneres de construir la figura següent
Ens hem trobat que gran part dels alumnes, no utilitzen el vocabulari adient a les transformacions i, per tant, no poden explicar “com ho fan”. Imaginem que no ho han fet a classe.
En aquest dibuix: QUI ÉS L’INTRÚS?
En l’enunciat dels alumnes de 6è se’ls demana que calculin els perímetres de les diferents figures. En principi només seria això i que expliquin com l’han calculat com un treball de diferenciar el perímetre de l’àrea que es demana després.
En molts casos hem pogut comprovar que la idea de perímetre, no és una idea tan clara pels nostres alumnes d’aquesta edat com ens podem pensar. Algunes de les seves respostes ho demostren:
Podria ser que algun trobés un patró com el que després es demana a 1r d’ESO i una possible generalització expressada en llenguatge verbal o semialgebraic.
I, sobretot, potser, algun alumne podria observar que el perímetre de la figura mossegada és igual al de la figura sense mossegar:
El perímetre de les figures hexagonals es pot veure que és el mateix que el perímetre del rectàngle que s’obté en completar la “mossegada”
En aquesta imatge podeu veure el raonament dels alumnes respecte al seu descobriment:
Aquesta podria ser una investigació apart, com la que proposa Puntmat: https://puntmat.blogspot.com/2015/01/perimetre-i-area-3.html
En aquesta activitat s’estimula la competència relativa a les connexions dins de les matemàtiques, en la mida que es relacionen nombres i formes i alhora patrons.
En el cas de 1r d’ESO, abans de calcular el perímetre se’ls demana que investiguin si hi ha algun patró entre les llargades i amplades de les figures. Si recollim les dades en una taula com la següent:
on podrien visualitzar els nombres de Fibonacci. A la solució, podreu trobar la generalització del patró.
En aquesta resposta, podeu veure una bona explicació de la generalització del patró amb exemples numèrics concrets, ajudant-se de la representació dels valors en una taula:
En aquest cas, els alumnes han trobat una diferència entre el patró de les figures senars i les parells i formalitzen la seva conjectura:
Veure el patró entre la llargada i l’amplada facilita veure que en el càlcul de perímetres es poden establir, també dues generalitzacions en funció de si la figura té una forma o altra (que es diferencien en la posició senar o parell).
En calcular els perímetres de les diferents figures s’obté una taula com la següent:
Cal tenir en compte que n és la posició de la sèrie de Fibonacci: on F(1)= 0; F(2)=1; F(3)=1 ; F(4)= 2; F(5)=3….
Així en la posició de la figura 3 (n=3), el seu perímetre correspondrà a 4·F(n+2)= 4· F(5) =4·3= 12
La generalització es troba fora de I’abast dels alumnes de 6è o 1r d’ESO. Seria una demanda a fer en cursos més grans.
Així aquests alumnes, fan una taula amb els càlculs dels perímetres i observen que hi ha un augment del perímetre a mesura que la figura es fa més gran. És interessant l’ús que fan de les taules per descobrir els patrons. Les connexions estan facilitades per l’ús d’una representació pròpiament matemàtica:
I s’adonen que alguns perímetres es poden calcular aplicant una fórmula i que equivaldria a calcular el perímetre del rectangle equivalent.
Per últim, al problema de 6è se’ls demana per les àrees de les figures i si podrien trobar l’àrea de la figura 10. En demanar això, el que volíem era que veiessin la relació de la successió de Fibonacci que havien vist en l’activitat anterior del belar de les ovelles i, així, l’àrea de la figura 10 serà la suma de les àrees de les figures 9 i la 8 per tal i com es construeix. Per tant, per trobar l’àrea d’una figura cal sumar les àrees de les dues figures anteriors.
En obtenir les àrees a partir de sumar els valors de les dues figures anteriors, i començant per l’àrea 3 es veu que es troben (tot i que desplaçats) els valors del patró del Belar de les ovelles.
A 1r, se’ls demana també que per què creuen que s’han pintat de color diferent. Ens agrada el raonament d’aquests alumnes en dir què:
I adonant-se de la semblança de les formes entre la figura sencera i la part mossegada.
Aquests altres expressen la relació amb l’activitat del belar de les ovelles una vegada han fet una taula comparativa per poder veure les relacions:
En aquest cas els alumnes mostren clarament la forma de llegir la taula i establir la connexió per trobar el patró.
Solucions
Enllaç a la solució part II. 6è i 1r ESO
