Paraules clau: Llenguatge
algebraic, patró, resolució de problemes, tasques riques
La
introducció i adquisició del llenguatge algebraic ens brinda una magnífica
oportunitat per treballar activitats riques a l'aula. El treball de l'àlgebra
no es pot limitar a la resolució equacions, sinó que hem de presentar tota la
seva potència amb activitats motivadores. En aquesta entrada us presentem una
selecció d'activitats del nostre bloc: Banc de recursos del FEM Matemàtiques,
que permeten als alumnes treballar el llenguatge algebraic d'una manera significativa a
partir de les investigacions que es proposen. Sense perdre de vista, que a més del llenguatge i generalització de l'aritmètica, l'àlgebra implica temes de funcions i estructura algebraica.
Si observem alguns dels llibres de matemàtiques per a l'ESO, el treball d'àlgebra es limita en excés a una sèrie de continguts amb gran protagonisme en el plantejament i la resolució d'equacions de diferents tipus. Des d'aquest enfocament, la introducció a l'àlgebra de l'alumnat es realitza a partir d'exercicis d'operacions amb expressions algebraiques cada vegada més complicats, acabant amb l'aprenentatge de la resolució d'equacions i la seva funció per resoldre problemes amb aquesta eina.
Creiem que és fonamental dotar de significat a les expressions
algebraiques i que els alumnes experimentin la necessitat de la seva
utilització per a facilitar el que volen comunicar. Com tot llenguatge té un
caràcter o sentit comunicatiu "que ens permet expressar de manera
general i interpretar de forma sintètica propietats i relacions numèriques
conegudes o desconegudes" (Calvo et al., 2016). En el cas de la
investigació de patrons fem que els alumnes puguin dotar de significat a les
expressions algebraiques ja que les necessiten per expressar aquelles
relacions que ells mateixos han elaborat. També trobem fonamental que els
alumnes hagin de argumentar "en desvetllar relacions noves,
buscar equivalències entre expressions aparentment diferents i justificar les
relacions, afirmacions o conjectures que realitzen donant raons matemàtiques en
tot el procés" (Calvo et al., 2016).
Podem ensenyar continguts
i processos matemàtics a partir de la resolució de problemes ja que aquesta "no
ha de ser una tasca a realitzar al final del procés d'aprenentatge, sinó que
pot ser perfectament el desencadenant del procés" (Burgues i
Sarramona, 2013). Però, per això, els problemes a treballar no poden ser de
qualsevol tipus, és important que siguin "activitats competencialment
riques formulant preguntes que promoguin connexions, reflexions i
argumentacions" (Calvo et al., 2016, p.254) [1]
Així, presentarem una
sèrie de problemes (activitats competencialment riques) seleccionats del nostre
bloc que ajudaran a dotar de significat el treball del àlgebra i a
treballar els processos de comunicació i argumentació.
Investigació de patrons
Els problemes que hem
seleccionat treballen l'àlgebra a partir del plantejament d'investigacions en
què els alumnes han de conjecturar i buscar un patró. Hem escollit aquest
enfocament ja que "l'estudi de patrons és clau per desenvolupar el
pensament algebraic i crític per a l'abstracció de la idea de relació" (Burgués,
2011). A més, seguint a l'autora: "Hi ha en l'home una tendència
natural a utilitzar patrons (ens agrada la repetició, sensibilitat artística,
per recordar ...) ja que són presents en la naturalesa, tendim a la
generalització i els busquem per classificar . Per això, l'autora ens
recomana que aprofitem aquesta "tendència natural".
Una altra característica
que fa atractiu l'ús de patrons a l'aula és que "ens permeten predir,
saber el que pot passar gràcies a establir fórmules o regles ...". De
fet, “en parvulari i primers cursos de
primària es realitza un treball de sèries i patrons, amb material i sense, que
després desapareix en els cursos posteriors”.
Aquest tipus d'activitats
també comporta una metodologia d'aula i un paper del professor enfocat a "ajudar
als nostres alumnes a matematitzar el patró" amb l'ús del llenguatge
algebraic i "mostrant les virtuts d'aquest llenguatge” (Burgués, 2011).
En molts dels problemes
del Fem Matemàtiques es treballa la identificació de patrons i de les
seves regles en contextos numèrics i geomètrics (en el pla i en l'espai). Ser
capaç de resoldre'ls és una indicació del treball amb un tipus de pensament
funcional que permet generalitzar i desenvolupar una regla algebraica o fórmula
que ens permeti predir comportaments.
La investigació passaria per diferents fases (Burgués, 2011):
Adonar-se de les semblances
Recollir dades i organitzar-les
Realitzar proves i conjectures
Expressar les relacions i regles
Comprovar i justificar
Adonar-se de les semblances (mòduls) o del tipus de canvi
Els alumnes s'han d’adonar
de les semblances o característiques que es repeteixen (mòdul o unitat de
repetició) o del tipus de canvi, per tempteig operatiu o observació de les
formes de les figures:
 |
| Figura 1 : Patró geomètric (FM17 fase 2. 6è: Col·lecció de mosaics) |
En aquesta tasca podríem
ajudar als alumnes amb una pregunta clau per a la visualització del patró:
¿Què manté igual i què canvia en augmentar el nivell?
¿Què manté igual i què canvia en augmentar el nivell?
Aquest és un patró de creixement.
Hi ha:
Patrons
de repetició d’un mòdul
Patrons
de creixement (als patrons de creixement,
el que es repeteix, el que es manté, és la manera com creix la figura)
 |
| Fig 2: L'alumne destaca que la part interior de la figura és manté igual i no hi ha diferència entre les àrees i que "a fora" la diferència varia. |
Aquest problema: Col.lecció de mosaics, el
treballarem a fons a la següent entrada del blog.
En el següent exemple
trobem un patró numèric molt senzill:
Un decimal periòdic (FM16- 6è)
Si calcules, amb la calculadora, el quocient
amb decimals de la divisió 9:37, la pantalla et mostrarà, com a molt, tretze
xifres decimals. Amb aquestes xifres es pot deduir la resposta a les següents preguntes:
a) Quant sumen les 14 primeres xifres
decimals del quocient?
b) Quant sumen les 100 primeres xifres
decimals del mateix quocient?
Aquest seria, llavors, un
patró de repetició en el que cal trobar el mòdul que es repeteix.
A la següent resposta d'un
alumne veiem com aquest ha detectat la repetició del patró numèric "els
números 243 es repeteixen constantment":
 |
| Figura 3 : Patró de repetició numèric |
Recollir dades i organitzar-les
Per poder veure aquesta
repetició els alumnes han de recollir dades i organitzar-les. Poden començar
amb esquemes i dibuixos, tal com ha fet l’alumne de l’exemple de la divisió
decimal i, en aquest cas seria suficient.
Convido
a magdalenes (FM15- 6è i 1r ESO)
Amb 6 tiquets, 1 magdalena gratis. Amb 51
tiquets, a quants amics puc convidar gratis amb els tiquets que tinc?
En aquest cas veiem com un
bon esquema els ajuda a organitzar les idees i veure les relacions. Hi pot
haver diverses estratègies d'atac que ens permetin recollir dades i que ens
vénen donades per diferents perspectives, visions, manipulacions o dibuixos.
 |
| Figura 4 : Esquema resolució problema "Convido a magdalenes" |
Realitzar conjectures i proves
A partir de la realització de l'observació i de l'exploració, en el seu procés d'investigació, els alumnes han d'anar plantejant les seves hipòtesis i conjectures. Després, posar-les a prova i segons l'èxit o no, repetir el procés o realitzar un treball d'abstracció.
Les proves serveixen per
poder donar raons matemàtiques i justificar la conjectura. En aquest procés de
recerca del patró, els alumnes han d'utilitzar diferents estratègies com, per
exemple, agafar casos més simples. Aquestes proves s'han d'ordenar. S'ha de
realitzar un treball sistemàtic i exhaustiu, de manera que no s'escapi res. Una
bona manera és la realització de llistes ordenades o
taules (que s'ha d'ensenyar o suggerir perquè no surt de manera natural en
l'alumnat). La construcció de taules afavoreix l'observació de pautes de creixement i l’observació de les relacions numèriques, un pont clar per a l'estudi posterior de funcions i per poder fer el pas de les relacions reiteratives o recursives a les relacions funcionals.
Una
escultura cúbica (FM15- 1r ESO)
Un artista disposa de 14 cubs d'un metre d'aresta. Amb aquests 14 cubs fa una escultura. Per protegir-la, la pinten.
Un artista disposa de 14 cubs d'un metre d'aresta. Amb aquests 14 cubs fa una escultura. Per protegir-la, la pinten.
a) Quin és, en metres quadrats, l'àrea que
s'han de pintar?
b) I, en una figura de 5 pisos?
 |
Organitzar les dades en una taula ens ajudarà a veure relacions verticals o horitzontals entre els nombres que apareixen, com es veu en l'exemple següent:
 |
| Figura 5: taula de dades feta per uns alumnes (una escultura cúbica) |
La primera relació que solen observar els alumnes es la relació vertical. Els primers patrons que treballen de petits són les seriacions. Aquestes seriacions les poden continuar basant-se en el patró que segueixen els números anteriors: en el cas de la taula, poden veure que la regla és sumar 6 i poden preveure els números següents: 5,11,17,23,... Aquesta estratègia s'anomena recursiva o caracteritzada per la repetició (relació iterativa). No obstant, aquesta estratègia és limitada en cas de que demanem números més grans. Per exemple: els metres quadrats d'una escultura de 30 o 60 pisos.
Per trobar la regla general, que ens permeti predir els casos més grans, s'ha de fer un salt de la recurrència a la regla funcional: de la visió vertical de la taula a l'horitzontal, és a dir, de conèixer un terme sabent l'anterior a conèixer-se directament en funció de n.
En aquesta part, el
professor ha d'estar atent i en cas que l'alumne no aconsegueixi trobar les
relacions pot, mitjançant bones preguntes, guiar-los per matematitzar la regla
i poder predir el patró.
Expressar les relacions i regles
Un cop l'alumnat ha estat
capaç de visualitzar un patró o relació, ara li sorgeix la necessitat
d'expressar-lo, és a dir, de la utilització del llenguatge algebraic per
expressar d'una manera més sintètica les relacions i patrons que han trobat. Un
llenguatge algebraic que té sentit per a ells ja que les fórmules i expressions
han estat trobades de manera personal i intenten expressar com han interpretat
les relacions o l'estratègia utilitzada.
Comptem
rajoles (FM14- 6è: Comptem rajoles)
El següent mosaic està format per rajoles blanques i negres. Té una amplada de 9 rajoles.
El següent mosaic està format per rajoles blanques i negres. Té una amplada de 9 rajoles.
(...) f) Explica com es troba el nombre
de rajoles necessàries a partir del nombre d'amplada del mosaic.
En aquest problema se'ls
demana el salt a l'abstracció en haver de calcular les rajoles per un ample que
no poden dibuixar ni comptar. Per expressar la relació ens podem trobar,
segons el nivell competencial de l'alumnat, amb: una expressió verbal (oral o
escrita), una semifórmula on s'inclouen ja elements algebraics o una fórmula
algebraica.
 |
| figura 6: Expressió verbal |
 |
| fig 7: Semifórmula |
 |
| fig 8: Fórmula amb la seva justificació (6è de primària) |
El problema de les magdalenes continua amb la
pregunta: Quants tiquets necessito per a
qualsevol nombre n d'amics? Per tant, demana la regla que ens permeti
predir el nombre de tiquets. La solució que donen
aquests alumnes seria l'expressió semialgebraica. Ho justifiquen dient que "el nombre de amics x 6 = nº de tiquets
que es necessiten", a qui "hem
de restar el nombre d'amics (...) si puc deure" (s’adonen que per cada
amic que han convidat a una magdalena, aquesta tindrà un tiquet, però clar
l'últim tiquet ho "deus"
per què has aconseguit la magdalena sense tenir-lo, per això diuen "si puc
deure". Llavors acaben el raonament que "per saber els tiquets necessaris per no deure res, hem de sumar 1
a l'últim resultat ". D'aquesta manera obtenen: 6x - x + 1 que seria
5x + 1.
 |
| fig 9: Explicació semi algebràica de la regla |
Aquest
seria un altre exemple en el que ja expressen una fórmula:
 |
| fig 10: Expressió en llenguatge matemàtic: fórmula |
Assenyalem
com els alumnes han arribat a expressions equivalents per raonaments diferents
amb la riquesa que això ens suposa per poder ser treballat a l'aula.
Comprovar i justificar.
Finalment, és molt
important la justificació i argumentació del procés: raonar el perquè del
patró. Per exemple, en el problema de la divisió decimal veiem com el concepte
de divisió entera i el residu li serveix a l'alumne per raonar i justificar el
lloc que ocupa la xifra en el cicle inacabat:
 |
| fig 11: Justificació del patró en "Un decimal periòdic" |
I provar que la regla trobada serveix per a tots els casos. Haver d’explicar als
altres és molt bo per treballar l'argumentació. També haver de respondre a
preguntes clau: Com ho has vist? o Com convenceries el company de la taula
del costat que això és cert? I també preguntes en què hagin de interpretar
fórmules i expressions: Per què en aquesta fórmula es divideix entre 2? o
Per què es multiplica per 3?
Al blog podeu trobar dos
exemples més d’investigacions completes en: Estrelles de futbol i Cubs
foradats on s'inclouen produccions d'alumnes sobre els patrons trobats. De fet, en gairebé tots els problemes editats (mireu la llista de problemes del blog), podem trobar algun patró o regla a descobrir i, per tant, aprofitar per fer un treball significatiu del llenguatge algebraic.
A partir de situacions
competencialment riques hem vist produccions d'alumnes que mostren com són
capaços de introduir-se al llenguatge algebraic dotant-lo de sentit per a ells
amb poc o cap coneixement previ de les regles algebraiques. A partir de la resolució
de problemes, les regles expressades ja no són un munt de lletres, nombres i
operacions abstractes sinó un llenguatge que poden aprendre de manera intuïtiva
en intentar expressar la relació matemàtica que observen en un patró. Amb
aquest plantejament es dóna molt de pes al treball de la competència
comunicativa ja que els alumnes han d'argumentar i justificar als altres els
resultats que han trobat.
Bibliografia
Butlletí Oficial de l'Estat (BOE). (2015). Reial
Decret 1105/2014, de 26 de desembre, pel qual s'estableix el currículum bàsic
de l'Educació Secundària Obligatòria i del Batxillerat. Ministeri d'Educació,
Cultura i Esport, 3, 169-546. https://www.boe.es/boe/dias/2015/01/03/pdfs/BOE-A-2015-37.pdf
Burgués, C. (octubre 2011). Constant o
variable, el canvi depèn de tu. Relacions i canvi, un bloc fonamental del
currículum [Vídeo]. Recuperat http://srvcnpbs.xtec.cat/creamat/joomla/index.php/formacio-creamat/conferencies/771-constant-o-variable-el-canvi-depen-de-tu-relacions-i-canvi-un-bloc-fonamental-del-curriculum-
Burgués, C. i Sarramona,
J. (2013). Competències bàsiques de l’àmbit matemàtic Identificació i
desplegament a l’ESO. Generalitat de Catalunya Departament d’ensenyament.
Calvo, C., Deulofeu, J.,
Jareño, J. i Morera, L. (2016). Aprendre a ensenyar matemàtiques en
l'educació secundària obligatòria. Madrid: Editorial Síntesi.
[1]
Per a més informació sobre activitats competencialment riques, veure la introducció del blog: i el bloc de puntmat.
