LA POTÈNCIA DEL LLENGUATGE ALGEBRAIC. ACTIVITATS D'INVESTIGACIÓ A L'AULA

Paraules clau: Llenguatge algebraic, patró, resolució de problemes, tasques riques

La introducció i adquisició del llenguatge algebraic ens brinda una magnífica oportunitat per treballar activitats riques a l'aula. El treball de l'àlgebra no es pot limitar a la resolució equacions, sinó que hem de presentar tota la seva potència amb activitats motivadores. En aquesta entrada us presentem una selecció d'activitats del nostre bloc: Banc de recursos del FEM Matemàtiques, que permeten als alumnes treballar el llenguatge algebraic d'una manera significativa a partir de les investigacions que es proposen. Sense perdre de vista, que a més del llenguatge i generalització de l'aritmètica, l'àlgebra implica temes de funcions i estructura algebraica.

Si observem alguns dels llibres de matemàtiques per a l'ESO,  el treball d'àlgebra es limita en excés a una sèrie de continguts amb gran protagonisme en el plantejament i la resolució d'equacions de diferents tipus. Des d'aquest enfocament, la introducció a l'àlgebra de l'alumnat es realitza a partir d'exercicis d'operacions amb expressions algebraiques cada vegada més complicats, acabant amb l'aprenentatge de la resolució d'equacions i la seva funció per resoldre problemes amb aquesta eina.

En aquest plantejament, la resolució de problemes no està en la introducció ni en el nucli de l'aprenentatge sinó que es treballa en la part final d'aplicació dels continguts apressos i, només, després que l'alumnat hagi mecanitzat la resolució de les equacions pertinents. D'aquesta manera molts dels alumnes s'introdueixen en l'àlgebra amb un llenguatge abstracte i sense significat per a ells, ple de lletres, nombres i operacions cada vegada més complexes. 

A més, aquest plantejament no sol donar suficient protagonisme a un altre tipus de treball que també hem de fer amb els nostres alumnes i que trobem, per exemple, als continguts del currículum espanyol en els cursos de 1r i 2n de l'ESO: "El lenguaje algebraico para generalizar propiedades y simbolizar relaciones. Obtención de fórmulas y términos generales basada en la observación de pautas y regularidades " (BOE, 2015).

Creiem que és fonamental dotar de significat a les expressions algebraiques i que els alumnes experimentin la necessitat de la seva utilització per a facilitar el que volen comunicar. Com tot llenguatge té un caràcter o sentit comunicatiu "que ens permet expressar de manera general i interpretar de forma sintètica propietats i relacions numèriques conegudes o desconegudes" (Calvo et al., 2016). En el cas de la investigació de patrons fem que els alumnes puguin dotar de significat a les expressions algebraiques ja que les necessiten per expressar aquelles relacions que ells mateixos han elaborat. També trobem fonamental que els alumnes hagin de argumentar "en desvetllar relacions noves, buscar equivalències entre expressions aparentment diferents i justificar les relacions, afirmacions o conjectures que realitzen donant raons matemàtiques en tot el procés" (Calvo et al., 2016).

Podem ensenyar continguts i processos matemàtics a partir de la resolució de problemes ja que aquesta "no ha de ser una tasca a realitzar al final del procés d'aprenentatge, sinó que pot ser perfectament el desencadenant del procés" (Burgues i Sarramona, 2013). Però, per això, els problemes a treballar no poden ser de qualsevol tipus, és important que siguin "activitats competencialment riques formulant preguntes que promoguin connexions, reflexions i argumentacions" (Calvo et al., 2016, p.254) [1]

Així, presentarem una sèrie de problemes (activitats competencialment riques) seleccionats del nostre bloc que ajudaran a dotar de significat el treball del àlgebra i a treballar els processos de comunicació i argumentació.

Investigació de patrons

Els problemes que hem seleccionat treballen l'àlgebra a partir del plantejament d'investigacions en què els alumnes han de conjecturar i buscar un patró. Hem escollit aquest enfocament ja que "l'estudi de patrons és clau per desenvolupar el pensament algebraic i crític per a l'abstracció de la idea de relació" (Burgués, 2011). A més, seguint a l'autora: "Hi ha en l'home una tendència natural a utilitzar patrons (ens agrada la repetició, sensibilitat artística, per recordar ...) ja que són presents en la naturalesa, tendim a la generalització i els busquem per classificar . Per això, l'autora ens recomana que aprofitem aquesta "tendència natural".

Una altra característica que fa atractiu l'ús de patrons a l'aula és que "ens permeten predir, saber el que pot passar gràcies a establir fórmules o regles ...". De fet, “en parvulari i primers cursos de primària es realitza un treball de sèries i patrons, amb material i sense, que després desapareix en els cursos posteriors”.

Aquest tipus d'activitats també comporta una metodologia d'aula i un paper del professor enfocat a "ajudar als nostres alumnes a matematitzar el patró" amb l'ús del llenguatge algebraic i "mostrant les virtuts d'aquest llenguatge” (Burgués, 2011).

En molts dels problemes del Fem Matemàtiques es treballa la identificació de patrons i de les seves regles en contextos numèrics i geomètrics (en el pla i en l'espai). Ser capaç de resoldre'ls és una indicació del treball amb un tipus de pensament funcional que permet generalitzar i desenvolupar una regla algebraica o fórmula que ens permeti predir comportaments.

La investigació passaria per diferents fases (Burgués, 2011):

Adonar-se de les semblances  

Recollir dades i organitzar-les

Realitzar proves i conjectures

Expressar les relacions i regles

Comprovar i justificar

Adonar-se de les semblances (mòduls) o del tipus de canvi

Els alumnes s'han d’adonar de les semblances o característiques que es repeteixen (mòdul o unitat de repetició) o del tipus de canvi, per tempteig operatiu o observació de les formes de les figures:

Figura 1 : Patró geomètric (FM17 fase 2. 6è: Col·lecció de mosaics)

En aquesta tasca podríem ajudar als alumnes amb una pregunta clau per a la visualització del patró: 
                                   ¿Què manté igual i què canvia en augmentar el nivell?

Aquest és un patró de creixement. 

Hi ha:

Patrons de repetició d’un mòdul 

Patrons de creixement (als patrons de creixement, el que es repeteix, el que es manté,  és la manera com creix la figura)

Fig 2: L'alumne destaca que la part interior de la figura és manté igual i no hi ha diferència entre les àrees
i que "a fora" la diferència varia. 

Aquest problema: Col.lecció de mosaics, el treballarem a fons a la següent entrada del blog.

En el següent exemple trobem un patró numèric molt senzill:

Un decimal periòdic (FM16- 6è)

Si calcules, amb la calculadora, el quocient amb decimals de la divisió 9:37, la pantalla et mostrarà, com a molt, tretze xifres decimals. Amb aquestes xifres es pot deduir la resposta a les següents preguntes:

a) Quant sumen les 14 primeres xifres decimals del quocient?

b) Quant sumen les 100 primeres xifres decimals del mateix quocient?

Aquest seria, llavors, un patró de repetició en el que cal trobar el mòdul que es repeteix.

A la següent resposta d'un alumne veiem com aquest ha detectat la repetició del patró numèric "els números 243 es repeteixen constantment":

Figura 3 : Patró de repetició numèric 

Recollir dades i organitzar-les

Per poder veure aquesta repetició els alumnes han de recollir dades i organitzar-les. Poden començar amb esquemes i dibuixos, tal com ha fet l’alumne de l’exemple de la divisió decimal i, en aquest cas seria suficient. 

Convido a magdalenes   (FM15- 6è i 1r ESO)

Amb 6 tiquets, 1 magdalena gratis. Amb 51 tiquets, a quants amics puc convidar gratis amb els tiquets que tinc?                                                                 

En aquest cas veiem com un bon esquema els ajuda a organitzar les idees i veure les relacions. Hi pot haver diverses estratègies d'atac que ens permetin recollir dades i que ens vénen donades per diferents perspectives, visions, manipulacions o dibuixos.

Figura 4 : Esquema resolució problema "Convido a magdalenes"

Realitzar conjectures i proves

A partir de la realització de l'observació i de l'exploració, en el seu procés d'investigació, els alumnes han d'anar plantejant les seves hipòtesis i conjectures. Després, posar-les a prova i segons l'èxit o no, repetir el procés o realitzar un treball d'abstracció.

Les proves serveixen per poder donar raons matemàtiques i justificar la conjectura. En aquest procés de recerca del patró, els alumnes han d'utilitzar diferents estratègies com, per exemple, agafar casos més simples. Aquestes proves s'han d'ordenar. S'ha de realitzar un treball sistemàtic i exhaustiu, de manera que no s'escapi res. Una bona manera és la realització de llistes ordenades o taules (que s'ha d'ensenyar o suggerir perquè no surt de manera natural en l'alumnat). La construcció de taules afavoreix l'observació de pautes de creixement i l’observació de les relacions numèriques, un pont clar per a l'estudi posterior de funcions i per poder fer el pas de les relacions reiteratives o recursives a les relacions funcionals. 

Una escultura cúbica (FM15- 1r ESO)
Un artista disposa de 14 cubs d'un metre d'aresta. Amb aquests 14 cubs fa una escultura. Per protegir-la, la pinten.

a) Quin és, en metres quadrats, l'àrea que s'han de pintar?

b) I, en una figura de 5 pisos?

Organitzar les dades en una taula ens ajudarà a veure relacions verticals o horitzontals entre els nombres que apareixen, com es veu en l'exemple següent: 

Figura 5: taula de dades feta per uns alumnes (una escultura cúbica)

La primera relació que solen observar els alumnes es la relació vertical. Els primers patrons que treballen de petits són les seriacions. Aquestes seriacions les poden continuar basant-se en el patró que segueixen els números anteriors: en el cas de la taula, poden veure que la regla és sumar 6 i poden preveure els números següents: 5,11,17,23,... Aquesta estratègia s'anomena recursiva o caracteritzada per la repetició (relació iterativa). No obstant, aquesta estratègia és limitada en cas de que demanem números més grans. Per exemple: els metres quadrats d'una escultura de 30 o 60 pisos.

Per trobar la regla general, que ens permeti predir els casos més grans, s'ha de fer un salt de la recurrència a la regla funcional: de la visió vertical de la taula a l'horitzontal, és a dir, de conèixer un terme sabent l'anterior a conèixer-se directament en funció de n.

En aquesta part, el professor ha d'estar atent i en cas que l'alumne no aconsegueixi trobar les relacions pot, mitjançant bones preguntes, guiar-los per matematitzar la regla i poder predir el patró.

Expressar les relacions i regles

Un cop l'alumnat ha estat capaç de visualitzar un patró o relació, ara li sorgeix la necessitat d'expressar-lo, és a dir, de la utilització del llenguatge algebraic per expressar d'una manera més sintètica les relacions i patrons que han trobat. Un llenguatge algebraic que té sentit per a ells ja que les fórmules i expressions han estat trobades de manera personal i intenten expressar com han interpretat les relacions o l'estratègia utilitzada.

Comptem rajoles (FM14- 6è: Comptem rajoles)
El següent mosaic està format per rajoles blanques i negres. Té una amplada de 9 rajoles.

 (...) f) Explica com es troba el nombre de rajoles necessàries a partir del nombre d'amplada del mosaic.                                                                                 

En aquest problema se'ls demana el salt a l'abstracció en haver de calcular les rajoles per un ample que no poden dibuixar ni comptar.  Per expressar la relació ens podem trobar, segons el nivell competencial de l'alumnat, amb: una expressió verbal (oral o escrita), una semifórmula on s'inclouen ja elements algebraics o una fórmula algebraica. 

figura 6: Expressió verbal

fig 7: Semifórmula

fig 8: Fórmula amb la seva justificació (6è de primària)

El problema de les magdalenes continua amb la pregunta: Quants tiquets necessito per a qualsevol nombre n d'amics? Per tant, demana la regla que ens permeti predir el nombre de tiquets. La solució que donen aquests alumnes seria l'expressió semialgebraica. Ho justifiquen dient que "el nombre de amics x 6 = nº de tiquets que es necessiten", a qui "hem de restar el nombre d'amics (...) si puc deure" (s’adonen que per cada amic que han convidat a una magdalena, aquesta tindrà un tiquet, però clar l'últim tiquet ho "deus" per què has aconseguit la magdalena sense tenir-lo, per això diuen "si puc deure". Llavors acaben el raonament que "per saber els tiquets necessaris per no deure res, hem de sumar 1 a l'últim resultat ". D'aquesta manera obtenen: 6x - x + 1 que seria 5x + 1.

fig 9: Explicació semi algebràica de la regla

Aquest seria un altre exemple en el que ja expressen una fórmula:

fig 10: Expressió en llenguatge matemàtic: fórmula

Assenyalem com els alumnes han arribat a expressions equivalents per raonaments diferents amb la riquesa que això ens suposa per poder ser treballat a l'aula.

Comprovar i justificar.

Finalment, és molt important la justificació i argumentació del procés: raonar el perquè del patró. Per exemple, en el problema de la divisió decimal veiem com el concepte de divisió entera i el residu li serveix a l'alumne per raonar i justificar el lloc que ocupa la xifra en el cicle inacabat:

fig 11: Justificació del patró en "Un decimal periòdic"

I provar que la regla trobada serveix per a tots els casos. Haver d’explicar als altres és molt bo per treballar l'argumentació. També haver de respondre a preguntes clau: Com ho has vist? o Com convenceries el company de la taula del costat que això és cert? I també preguntes en què hagin de interpretar fórmules i expressions: Per què en aquesta fórmula es divideix entre 2? o Per què es multiplica per 3?

Al blog podeu trobar dos exemples més d’investigacions completes en: Estrelles de futbol i Cubs foradats on s'inclouen produccions d'alumnes sobre els patrons trobats. De fet, en gairebé tots els problemes editats (mireu la llista de problemes del blog), podem trobar algun patró o regla a descobrir i, per tant, aprofitar per fer un treball significatiu del llenguatge algebraic.

A partir de situacions competencialment riques hem vist produccions d'alumnes que mostren com són capaços de introduir-se al llenguatge algebraic dotant-lo de sentit per a ells amb poc o cap coneixement previ de les regles algebraiques. A partir de la resolució de problemes, les regles expressades ja no són un munt de lletres, nombres i operacions abstractes sinó un llenguatge que poden aprendre de manera intuïtiva en intentar expressar la relació matemàtica que observen en un patró. Amb aquest plantejament es dóna molt de pes al treball de la competència comunicativa ja que els alumnes han d'argumentar i justificar als altres els resultats que han trobat.

Bibliografia

Butlletí Oficial de l'Estat (BOE). (2015). Reial Decret 1105/2014, de 26 de desembre, pel qual s'estableix el currículum bàsic de l'Educació Secundària Obligatòria i del Batxillerat. Ministeri d'Educació, Cultura i Esport, 3, 169-546. https://www.boe.es/boe/dias/2015/01/03/pdfs/BOE-A-2015-37.pdf

Burgués, C.  (octubre 2011). Constant o variable, el canvi depèn de tu. Relacions i canvi, un bloc fonamental del currículum [Vídeo]. Recuperat http://srvcnpbs.xtec.cat/creamat/joomla/index.php/formacio-creamat/conferencies/771-constant-o-variable-el-canvi-depen-de-tu-relacions-i-canvi-un-bloc-fonamental-del-curriculum-

Burgués, C. i Sarramona, J. (2013). Competències bàsiques de l’àmbit matemàtic Identificació i desplegament a l’ESO. Generalitat de Catalunya Departament d’ensenyament.

Calvo, C., Deulofeu, J., Jareño, J. i Morera, L. (2016). Aprendre a ensenyar matemàtiques en l'educació secundària obligatòria. Madrid: Editorial Síntesi.

[1] Per a més informació sobre activitats competencialment riques, veure la introducció del blog:  i el bloc de puntmat.