COL.LECCIÓ DE MOSAICS. PREALGEBRA I AVALUACIÓ COMPETENCIAL

COL.LECCIÓ DE MOSAICS (part I) 

Trobem que aquesta activitat és un recurs prou ric per l’aula i un bon exemple de patró de creixement visual. Per no fer l’entrada massa llarga, l’hem dividida en dos parts. Aquesta primera, donarà les orientacions per treballar-la com a recurs d’aula. A la segona part, en una altra entrada posterior, exposarem l’exemple d’avaluació competencial amb què vam avaluar aquesta pregunta dins el context de la correcció de la prova individual de la 2ª fase del concurs FEM MATEMÀTIQUES 17.

Problema de la 2ª fase 2017. 6è primària

Etiquetes: Patrons. Introducció a l’àlgebra

Bloc de continguts: Canvi i relacions

Nivells: ESO

Enunciat:

Per què hem seleccionat aquest problema?

Aquest no és un problema senzill i de nivell fàcil per alumnes de 6è. Sobretot, si tenim en compte les condicions d’un concurs de temps reduït i els nervis en una situació així. Com veureu a l’entrada d’avaluació competencial (part II) pocs alumnes arriben a un nivell d’excel·lència i és possible que siguin aquestes les raons. Tot i això, creiem que és un problema amb moltes possibilitats com a recurs competencial per l’aula i per treballar una introducció significativa a l’ÀLGEBRA a 6è i els primers cursos de l’ESO o treballar l’obtenció d’expressions algebraiques amb significat a qualsevol curs de l’ESO. És a partir de patrons i de la seva investigació que les expressions algebraiques adquireixen sentit en la mesura que l’alumne les construeix i, com les ha de compartir i comunicar, haurà d’argumentar-les i, alhora, entendre les dels altres companys.

Les autores del blog som partidàries d’una introducció a l’àlgebra que parteix de la necessitat del llenguatge algebraic per expressar les relacions que els mateixos alumnes han estat capaços de deduir a partir de la seva investigació. Mireu les entrades:

• INTRODUCCIÓ DE L'ALGEBRA A L'ESO. MOLT MÉS QUE EQUACIONS! http://bancfm.blogspot.com.es/2017/04/introduccio-de-lalgebra-leso-molt-mes.html
• LA POTÈNCIA DEL LLENGUATGE ALGEBRAIC. ACTIVITATS D’INVESTIGACIÓ A L’AULA  http://bancfm.blogspot.com.es/2017/11/la-potencia-del-llenguatge-algebraic.html 

També pensem que és una d’aquestes activitats que es poden abordar des de diferents mirades i mètodes. Compartir aquestes visions diferents contribueix a fer una ment flexible i oberta capaç de resoldre problemes des de diferents perspectives.

Aquest problema és també un repte que tots poden començar i amb diferents nivells de profunditat en funció de l’alumne, grup i curs. Són aquests problemes que la Jo Boaler en el seu, molt recomanable llibre “Mathematical Mindsets”, anomena: LOW FLOOR, HIGH CEILING.

  

Reflexió prèvia d’estratègies i processos implicats en el problema 

Com en qualsevol problema, per a poder realitzar una bona anàlisi i/o una bona avaluació hem de reflexionar prèviament sobre les estratègies i processos que es demanen a l’alumne en resoldre’l. Aquest és un problema senzill en les seves activitats inicials a) i b) que es podria resoldre dibuixant i comptant, però que per no equivocar-se estaria bé que els alumnes utilitzessin algun tipus d’organització en forma de llista o taula.  Cal també que tinguin clar el concepte d’àrea. Si bé ja es comença a complicar a les altres dues preguntes. Per tant, com hem dit, és un repte que tots poden començar i que adquireix diferents nivells de profunditat.

Aquest també és un problema típic de cerca d’un patró de creixement d’una figura. Les primeres preguntes, més concretes, ja van encaminades a que els alumnes el vagin trobant. A la pregunta c), almenys han d’haver trobat la successió de la diferència entre l’àrea verda i blanca fins trobar el 44 que és la 6ena figura. I a la d), han hagut de calcular la resposta a partir d’haver conjecturat, vist, generalitzat i expressat el patró de la diferència entre les àrees verdes i blanques, si es pot en llenguatge algebraic. Alhora, i com en tots els problemes del concurs, volem una argumentació de les seves afirmacions i dels passos que donen per trobar la solució.

Per tant, per a nosaltres les competències més implicades són la 1 i 2 de la dimensió de Resolució de Problemes i la 4 i 5 de Raonament i prova:

Competències implicades (Burgués i Sarramona, 2013, p.8)

	COMPETÈNCIES PRIMÀRIA
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Competència 1: Traduir un problema a una representació matemàtica i emprar conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre’l (corresponent a la competència 1 i 2 de l’ESO)

Competència 2: Donar i comprovar la solució d’un problema d’acord amb les preguntes plantejades (corresponent a la competència 2 de l’ESO)

Competència 4: Fer conjectures matemàtiques adients en situacions quotidianes i comprovar-les.

Competència 5: Construir, expressar i contrastar argumentacions per justificar i validar les afirmacions que es fan en matemàtiques. (corresponents a la competència 5 de l’ESO)

Possibles estratègies de resolució de problemes (Creamat, 2015)

Dibuixar i fer esquemes; organitzar la informació; fer taules.

SOLUCIÓ

a) A la figura (1) la diferència és 4, a la (2) és 12 i a la (3) és 20.

b) Al quart mosaic la diferència és 28.

c) La successió de diferències és 4, 12, 20, 28, 36, 44.. La diferència 44 correspon al sisè mosaic que té 36 quadrats interiors.

d) Si s’observen els dibuixos, es veu que a la part interior de la figura no hi ha diferència entre les àrees interiors verdes i blanques ja que sempre s’igualen. Per tant, només cal calcular la diferència entre l’àrea de les parts verdes i les parts blanques del marc exterior. Només amb els 3 dibuixos de l’enunciat es pot veure que al marc exterior:

    mosaic nº 1 té  2 quadrats verds de costat

    mosaic nº 2 té 4 quadrats verds de costat

    mosaic nº 3 té 6 quadrats verds de costat

i que, per tant, el marc del mosaic número 20 tindria 40 quadrats verds a cada costat i, com a tots els mosaics, els quatre quadrats blancs de les cantonades.  

Per tant, la diferència entre les àrees de quadrats verds i blancs per la figura 20 seria 4·40 – 4= 156.

REFLEXIÓ SOBRE ELS PATRONS VISUALS I LA SEVA GENERALITZACIÓ segons (Burgués, 2011)

Aquest problema és un bon exemple i recurs per a la investigació d’un patró geomètric i, per tant, visual. Una bona investigació passaria per les següents fases (Burgués, 2011):

1)    Adonar-se de les semblances (repetició d’un mòdul) o tipus de canvi (també pot repetir-se la manera com canvia).

2)    Recollir dades i organitzar-les.

3)    Realitzar proves i conjectures.

4)    Expressar les relacions i regles.

5)    Comprovar i justificar.

1) Adonar-se de les semblances i tipus de canvi:

En aquest cas, és un patró de creixement on el creixement és sempre igual. El que es manté és la manera com creix la figura (Burgués, 2011). Com en gairebé tots aquests tipus de patrons, seria molt interessant entendre el creixement de la figura a partir de la pregunta:

QUÈ CANVIA I  QUÈ ES MANTÉ CONSTANT? en augmentar el nivell

Aquesta pregunta és clau per a la visualització global de qualsevol tipus de patró. Per a poder fer una conjectura, els alumnes han d’adonar-se de les semblances o característiques que es repeteixen (mòdul o unitat de repetició) i del tipus de canvi, per tempteig operatiu o per l’observació de la figura.

Si no et pares a pensar en aquesta pregunta clau, et dedicaràs a comptar quadrets i fer llistes o taules i analitzar-les, sense veure la globalitat del patró de creixement de la figura. Amb aquesta pregunta els alumnes poden veure que:

·       A l’interior, el nº de rajoles verdes és el mateix al de rajoles blanques.

·       I què, el que canvia,  és el marc lateral exterior verd ja que les cantonades blanques sempre són 4.

Això estalvia molt de temps per a donar amb la clau del patró de creixement.

Aquesta visió del patró és una. Segur que n’hi ha més. Tot depèn de l’observador. És bo que feu treballar als alumnes dibuixant i assenyalant amb diferents colors, allò que veuen del patró a les seves figures. Que ho expliquin verbalment i ho escriguin. I és molt bo que es faci una posada en comú on els alumnes s’adonin que hi ha moltes perspectives i que totes poden ser vàlides.

2) Recollir dades i organitzar-les

Per a poder observar les pautes de creixement i les relacions numèriques que s’estableixen.

Per poder veure el patró que segueixen les figures, els alumnes solen començar fent dibuixos i esquemes i, de vegades, llistes. Aquí és on Burgués insisteix en la introducció de les taules des de ben petits: “la taula com a recull d’informació que també serveix per buscar patrons”.

Aquesta fase de “recollir dades i organitzar-les per observar és un pont clar per l’estudi posterior de funcions” i per a poder donar el pas de les relacions reiteratives o recursives a la funcional: si mirem la taula de manera vertical, a la columna de diferència entre les dues àrees, es pot observar la successió 4, 12, 20, 38,.. que s’obté en sumar 8 al terme anterior. Aquesta és la primera relació que veuen els alumnes. Les relacions funcionals que es veuen a partir de la visió horitzontal (que relaciona el número de posició n directament amb la diferència demanada), són més difícils d’obtenir.  En aquest cas, si mireu la taula a continuació, la diferència entre les àrees verdes i blanques a cada posició n, bé donada per l’expressió 8n – 4, que cobra sentit si anem relacionant cada una de les àrees parcials en llenguatge algebraic. Així:

• Àrea interior verda = Àrea interior blanca = 2 quadradets x nº unitats o mòduls= 2n² (ja que el nº d’unitats correspon al nº de posició al quadrat)
• Àrea exterior marc lateral verd= 4 vegades el nº quadrets del costat del marc = 4·2n (ja que cada costat verd té 2 vegades el nº de posició quadrets)
• Àrea exterior blanca= nº cantonades= 4 (sempre igual en totes les posicions)
• Àrea total verda = 2n² + 4·2n = 2n² + 8n
• Àrea total blanca= 2n² + 4
• Diferència Àrea verda i Àrea blanca = 2n² + 8n – (2n² + 4) = 8n – 4

p (n)	Ainterior B=V	Marc lateral V	Marc can-tonades B	Atotal B	Atotal V	Diferència
1	2	4x2	4	6	10	4
2	2x4	4x4	4	12	24	12
3	2x9	4x6	4	22	42	20
4	2x16	4x8	4	36	64	38
n	2n2	4·2n	4	2n2+4	2n2 +8n	8n - 4

3) Realitzar proves i conjectures.

A partir de la realització de proves i assajos en el procés d’investigació els alumnes van plantejant les seves hipòtesis i conjectures. Després les posen a prova i, segons l’èxit o no, repeteixen el procés o realitzen un treball d’abstracció (a vegades, aquest procés d’abstracció ha de ser guiat pel professor a partir de preguntes que els obliguin a desenganxar-se del dibuix i la manipulació). Les preguntes c i d van encaminades a fer aquest procés. Les proves serveixen per a poder donar raons matemàtiques i justificar la conjectura.

4) Expressar les relacions i regles.

L’objectiu final de la tasca és que els alumnes siguin capaços de matematitzar el patró. Cal matematitzar la relació per poder predir el patró en casos més grans. Primer veient la regla aritmètica que relaciona les variables per poder passar a una generalització en forma de fórmula o expressió algebraica que té tot el sentit per als alumnes doncs ells mateixos les han deduït i elaborat personalment.  En aquest cas, per calcular el nº de quadrats verds quan la diferència de les àrees és 44 (activitat c) i en l’activitat d) per a calcular la diferència entre les àrees verdes i blanques en el mosaic nº 20.

5) Comprovar i justificar.

Finalment és molt important la justificació i argumentació del procés: raonar el perquè del patró. Explicar als altres és molt bo per treballar l’argumentació. També està bé poder interpretar unes altres fórmules o expressions que poden sortir a l’aula.

En definitiva, el treball amb patrons ens permet que alumnes sense coneixements previs d’àlgebra o inclús amb coneixements, s’introdueixin en el llenguatge matemàtic dotant-lo de sentit per a ells. Ja no seran un munt de lletres, números i operacions abstractes. És un llenguatge que poden aprendre de manera intuïtiva en intentar expressar la relació matemàtica que observen en un patró. I al que donen un significat en haver de justificar-la i argumentar-la per a que els altres l’entenguin.

Comentaris de les respostes dels alumnes

El problema proposat al concurs intenta portar a l’obtenció del patró guiant amb preguntes:

a) Quina és la diferencia entre l’àrea de les parts verdes i l’àrea de les parts blanques de cadascun dels tres mosaics que hi ha a la figura?

Aquesta pregunta, fa que el repte el puguin començar tots els alumnes. Només cal tenir clar el concepte d’àrea i amb una tècnica simple de comptatge és pot obtenir una resposta. Tal com ha fet aquest alumne, encara que s’equivoca en el mosaic 3:

Aquest alumne fa un pas endavant en la visió global del patró ja que s’adona que els nº de quadrats blancs i verds interiors és igual i no hi ha cap diferència, encara que desprès falla en veure la part del marc:

b) Quina és la diferència entre l’àrea de les parts verdes i l’àrea de les parts blanques del quart mosaic?

La pregunta continua sent d’un nivell accessible, doncs hi ha alumnes que opten per dibuixar la següent figura, comptar quadrats i restar per saber la diferència:

Però és més fàcil observant la successió que apareix en fer la pregunta a) i continuant-la per respondre la pregunta b): 4-12-20

El resultat de les diferències entre l’àrea verda i blanca s’obtenen sumant 8 al resultat anterior

L’alumne organitza les dades en forma de llista i d’aquesta manera pot observar la relació vertical entre les dades de la columna de la diferència. Aquesta observació vertical dóna una relació reiterativa o additiva. Li va bé per respondre aquesta pregunta però necessita saber sempre el terme anterior.

c) Quants quadrats verds interiors té un mosaic d’aquesta col·lecció si sabem que la diferència entre l’àrea de les parts verdes i l’àrea de les parts blanques és 44?

Aquesta pregunta suposa un pas d’abstracció ja que obliga a l’alumne a desenganxar-se del dibuix i fer alguna conjectura que s’adapti al model de creixement de la figura i formular-la per a poder predir: primer, que una diferència de 44 seria la figura 6 (seguint la successió anterior no seria difícil) i, després, obtenir el nº de quadrats verds que tindrà la figura 6.

Per això hi haurien diferents maneres. Una podria ser observant que el número de quadrats verds en les figures ja dibuixades equival al número de la figura elevat al quadrat: nº quadrats verds= n².

Moltes vegades com a professor, has d’entreveure el pensament lògic en fer les operacions dels alumnes d’aquest nivell que no han treballat amb expressions algebraiques i han resolt els problemes aritmèticament (la major part de les vegades sense argumentar). Així en aquest alumne, nosaltres interpretaríem que ( i seguint les respostes que ha donat a les preguntes anteriors):

·       Obté el número 44 sumant el 8 dos vegades més: 4-12-20-28-36-44

·       Com s’ha adonat que la longitud del costat de la figura augmenta de dos en dos, diu que el quadrat és de 14 x 14.

·       A continuació, mira el nº de quadrats totals: 196

·       Mira el nº de quadrats del marc exterior fent 14 x4 = 56 (aquest últim resultat no el fa servir).

·       Si que fa servir el nº de quadrícules interiors, ja que veu que el costat interior sempre és de dos quadrícules menys. Per això fa 12 x 12 =144.

·       Finalment, com cada quadrat verd té 4 quadrícules, divideix el 144 entre 4 obtenint el 36 que és la solució.

Està clar que és un alumne que té intuïció matemàtica i només li cal un petit empeny amb el guiatge del professor per ordenar i argumentar el procés seguit.

d) Expliqueu com calcularíeu la diferència entre l’àrea de les parts verdes i l’àrea de les parts blanques del mosaic número 20. Quant és aquesta diferència?

Aquest alumne fa una llista amb la diferència d’àrees de verds i blancs i va posant un numero petit entre les dues posicions fent una successió. En equivocar-se entre la diferència de la figura 1 i 2 i posar un 9, ha fet una successió de +9 i després +8, fet que provoca un resultat final erroni:

Aquí ha fet una successió reiterativa però a cada posició li suma 4 més que a la posició anterior

El següent alumne s’adona i expressa la seva manera de veure el creixement de la figura:

Explica que cada cop que fem un nou quadrat, afegim 2 línies (2 quadradets de costat a l’antic quadrat).

Però encara que la visió és encertada i ha trobat un model de creixement , no li serveix per a respondre la pregunta i es perd en càlculs.

Aquest alumne ha trobat molt bé una relació numèrica i és capaç de trobar una regla semi algebraica i trobar el resultat demanat:

Com hem dit al començament, els resultats no han sigut el que esperàvem, donada la potència i possibilitats de l’exercici. Estem convençudes que si aquests mateixos alumnes haguessin tingut temps, condicions d’aula i treball d’equip per discutir i dialogar, els resultats haguessin estat millor. Les possibilitats de l’activitat són molt riques i permet diferents mirades al patró de creixement, donant lloc al diàleg, interpretacions, comunicacions i argumentacions per part dels alumnes i a un treball de nivell del llenguatge algebraic. Un bon recurs competencial per l’aula a tots els nivells.

Bibliografia i llocs web 

Burgués, C. (octubre 2011) Constant o variable, el canvi depèn de tu. Relacions i canvi, un bloc fonamental del currículum [vídeo]. Recuperat http://srvcnpbs.xtec.cat/creamat/joomla/index.php/formacio-creamat/conferencies/771-constant-o-variable-el-canvi-depen-de-tu-relacions-i-canvi-un-bloc-fonamental-del-curriculum-

Burgués, C. i Sarramona, J. (2013). Competències bàsiques de l'àmbit matemàtic. Identificació i desplegament a l’educació primària. Generalitat de Catalunya. Departament d'Ensenyament.

http://ensenyament.gencat.cat/web/.content/home/departament/publicacions/colleccions/competencies-basiques/primaria/prim-matematic.pdf

CREAMAT (2015). Estratègies per a resoldre problemes. Generalitat de Catalunya. Departament d'Ensenyament. http://srvcnpbs.xtec.cat/creamat/joomla/file/estretegies_per_a_resoldre_problemes.pdf