UN DECIMAL PERIÒDIC

Problema de la 2ª fase del Fem Matemàtiques 2016- 6è 

Etiquetes: Divisió entera. Residu. Decimals. Patró numèric. Avaluació competencial.

Bloc de continguts: Numeració i càlcul. Canvis i relacions

Nivells: 6è i 1r d'ESO (2n ESO)

DIVISIÓ DOLÇA
Autor: Clara de Pouplana Xarrié/Concurs fotografia matemàtica 08

DIVISIÓ NATURAL
Autor: Laura Balagué/Concurs fotografia matemàtica10

Per què hem seleccionat aquest problema?

És un bon problema per treballar la importància del residu en la divisió i la cerca de relacions i patrons amb números. Per tant, serà un treball d’investigació de les relacions numèriques i de generalització posterior. Són tipus d’exercicis que treballem poc a l’aula i que, en canvi, donen una visió més amplia del concepte i fa que treballin la cerca dels patrons.

El tema de la divisibilitat, plantejat d’una manera més amplia, “donant un esquema conceptual ric i no centrat només en un entrenament dels algoritmes”, està molt ben explicat al llibre (Calvo, Delofeu. Jareño, Morera.(2016). Aprender a enseñar matemáticas en la ed. secundària obligatòria. Ed. Síntesis, 65-67) i també treballat i ampliat pel PUNTMAT a la seva entrada: “El residu si importa(1ªpart) i (2ªpart)”. Nosaltres en vam fer referència a la nostra entrada anterior del “JOC DE LA RESTA”. Ambdues entrades són magnífiques situacions dissenyades perquè es puguin fer connexions i ampliar el concepte i aplicacions de la divisibilitat. En el cas del JOC DE LA RESTA, introdueix la divisió a partir de fer grups iguals i relacionant-la amb la resta reiterada i, a més, profunditza en el concepte del mcd (no de cap algoritme). I en aquesta entrada, s'amplien els significats dels elements d’una divisió no exacta. Es centra en l’obtenció d’un decimal periòdic, on a partir de plantejar una divisió entera adequada, el quocient ens dóna informació del contingut del cicle i el residu del lloc ocupat en el cicle incomplet. Aquest cicle forma una sèrie o patró que ens ajuda a trobar o predir el valor d’una xifra en un lloc determinat.

No és un problema de fàcil resolució per als alumnes de 6è en quant es passa a la predicció i trobar la norma sense recompte. Per tant, és un bon problema per iniciar-se en la generalització a partir d’una sèrie numèrica i en un tema central com el de la divisibilitat, i dintre d’aquest, del paper que juga el residu en la divisió entera.
Tal com ho veiem és un problema que treballa fonamentalment la competència 6 de primària (que té continuació amb la competència 7 de secundària) sobre connexions, que diu que cal que l’alumne pugui “establir relacions entre els diversos significats d’un concepte”, en aquest cas de la divisió decimal i divisió entera i el significat del període i del residu.[1]

Possibles estratègies de resolució de problemes ([1])

Recompte; Reduïr el problema -provar amb casos més senzills- ; Cerca del patró.

Enunciat: 

Si calculeu, amb la calculadora, el quocient amb decimals de la divisió 9 : 37, la pantalla us mostrarà, com a molt, tretze xifres decimals. Amb aquestes xifres podreu deduir la resposta a les preguntes següents:

a) Quant sumen les 14 primeres xifres decimals del quocient?

b) Quant sumen les 100 primeres xifres decimals del mateix quocient?

Solució:

9/37 = 0, 243 periòdic pur, la longitud del període és 3.

a) 14 = 3 · 4 + 2 per tant, la suma és 4(2+4+3)+2+4 = 4·9+2+4 = 42.

b) 100 = 3 · 33 +1, la suma és 33(2+4+3)+2 = 33·9 + 2 = 297+2 = 299.

Comentari de les respostes dels alumnes:

Cal comentar que d’entre un total de 48 alumnes, només 10 van respondre més o menys correctament les dos activitats del problema i 17 més que només van respondre a la qüestió a).  Per a nosaltres, és un indicatiu de la falta de significativitat del valor del residu dintre de l’operació més enllà del “que queda”, a més de que no acaben de generalitzar el patró cíclic en el decimal periòdic pur. El primer exercici ho poden resoldre per la tècnica de comptar i sumar número per número ja que es poden escriure perfectament 14 xifres i, en canvi, al segon exercici tenen la dificultat de no poder escriure les 100 xifres i, per tant, necessiten utilitzar el patró i la divisió i entendre el significat del quocient i el residu en aquesta situació.

Tal com ha resolt aquests alumnes l’activitat a), és com ho fan la majoria en aquest nivell de 6è:

Només en algun cas trobem una argumentació fonamentada en el valor del quocient i el residu com en la següent:

  

Aquí posem un exemple de resolució de l’activitat b), que és on la majoria dels alumnes han trobat major dificultat.  En ell exposa que la suma de les 100 xifres dóna 299 i fa les operacions sense fer una explicació o raonament, encara que en el seu esquema es pot interpretar quin ha sigut:

En aquest cas no hi ha cap explicació del procés seguit. És aquí on el professor ha d’insistir en la verbalització, primer oral i després per escrit, per consolidar el concepte i, a més de treballar i progressar en la competència de comunicació.

El següent és el cas del mateix alumne que feia una molt bona argumentació de l’activitat a) i que torna a aplicar el patró per a un número més gran sense dificultat dotant de sentit al quocient i al residu:

Exemples d’errors conceptuals

A partir de les respostes dels alumnes també us adjuntem exemples d’errors que creiem que poden ser útils per el professorat a l’hora de treballar el problema a l’aula.

En el següent exemple veiem que l’alumne confon 2+3+4 amb el nombre 243 i per tant que hi ha un problema en entendre el diferent valor que assoleix una xifra en el sistema decimal posicional:

 

L’error d’aquest alumne és que no sap emprar la divisió entera quan la necessita i tampoc entén el concepte del residu i com surt:

Avaluació competencial:

Com molts problemes, mai es treballa una sola competència i és difícil dir quina seria la més treballada. Nosaltres pensem que el problema treballa la competència 6 de primària (que té continuació amb la competència 7 de secundària) sobre connexions, que diu que cal que l’alumne pugui “establir relacions entre els diversos significats d’un concepte”, en aquest cas de la divisió decimal i divisió entera i el significat del període i del residu.[1]

Tal com indica la graduació en 3 nivells, en funció del grau de consciència:

Nivell 1: Aquells alumnes que mostren que identifiquen el concepte bàsic en situacions on tenen diversos significats.

Seria el cas de l’alumne, encara que li manca la verbalització del procés per avançar cap a un llenguatge matemàtic:

Nivell 2: Fan un pas més endavant i descriuen la connexió feta, tot i que no implica que donin raons. Per exemple:

Nivell 3: Planifiquen la resolució i arriben a la solució amb una bona justificació de les relacions. Com el cas de l’alumne que fa una bona argumentació:

Més sobre decimals periòdics

Si voleu més activitats interessants relacionades amb els decimals periòdics us recomenem l'entrada del blog de PUNTMAT:http://puntmat.blogspot.com.es/2013/01/decimals-periodics.html

---

[1] COMPETÈNCIES BÀSIQUES DE L’ÀMBIT MATEMÀTIC. EDUCACIÓ PRIMÀRIA. http://ensenyament.gencat.cat/web/.content/home/departament/publicacions/colleccions/competencies-basiques/primaria/prim-matematic.pdf

TRIANGLES I TRIANGLETS

FM14-2n ESO

Alumnes de l'Escola Guinardó fent l'activitat

Paraules clau

Patró de creixement; Recursivitat; Raonament geomètric, visual i numèric; Fractals; Floc de neu de Koch; Àrees; Fraccions; Potències; Decimals.

Nivell

2n i 3r ESO 

Enunciat

Segur que més d’una vegada has jugat a creuar figures geomètriques entre elles per a fer dibuixos i entretenir-te. Un polígon molt fàcil d’usar per a fer això és el triangle equilàter, que combinat amb un altre d’invertit genera el que s’anomena una estrella de 6 puntes, tal com pots veure a la imatge sota aquestes línies.

Això també es pot interpretar que s’ha fet dividint cadascun dels costats en tres parts iguals i substituint la part central per dos segments iguals a aquesta, formant un triangle equilàter més petit sobre cadascun dels costats del triangle inicial, com es mostra a la figura 2.

Si tornem a fer el procés per a cada segment del polígon anterior obtindrem la imatge de la figura 3. I si aquest procés el fem 3 vegades arribem a la figura 4.

Això ho podem fer tants cops com vulguem.

Si el triangle inicial té un àrea de 9 cm²

1. Calcula l’àrea de la figura 2.

2. Troba l’àrea del polígon resultant després de fer el procés 2 vegades (figura 3).

3. Quina serà l’àrea si apliquem aquest procés tres cops? (figura 4)

4. Sabries aproximar-te al valor de l’àrea que resultaria si apliquéssim el procés moltíssimes vegades?

Introducció

Aquest problema treballa el patró de creixement d’una figura. El patró treballa l’estratègia recursiva o seqüencial: necessitem saber el valor de la figura anterior per saber la segent﷽﷽﷽﷽﷽﷽﷽mateixa en l' en la Cla figura anterior per saber la segtinguts.  poden mostrar en respondre la mateixa en l' en la Clüent. També es pot anomenar iterativa o additiva. Alhora és una introducció al mon dels fractals a partir de la figura del Floc de neu de Koch que s’origina des del triangle equilàter creant figures autosemblants.

Floc de neu de Koch

Per què hem seleccionat aquest problema?

Inversió de fractals vegetals (F.Manonelles)

El problema permet relacionar molts conceptes i processos dels diferents blocs de continguts: àrees, decimals, fraccions, potències, relacions funcionals, patrons. El treball amb patrons desenvolupa l’agilitat, flexibilitat i connexió amb els nombres i el que representen així com les relacions entre ells. També ajuda a desenvolupar habilitats de raonament lògic i realització de conjectures. A més porta, d’una manera natural, a desenvolupar regles matemàtiques per descriure el patró, en aquest cas, de creixement d’una figura. Al començament d’una manera aritmètica fins a necessitar del llenguatge algebraic per generalitzar. Aquest patró és un bon exemple de creixement basat en la recursivitat tant visual-geomètrica com aritmètica.

Per una altra banda, és una aproximació molt senzilla al món dels fractals a partir de la figura del triangle equilàter que permet el dibuix i una ràpida comprensió del procés de creixement a partir de la reiteració de la figura inicial. També al sorprenent fet de trobar una figura de perímetre infinit i, alhora, d’àrea finita [R4: blog matemáticascercanas]. 

Tot plegat pot ser un bon motiu per obrir una altra via d’investigació i descobrir aquesta dimensió present al nostre entorn i que dóna meravelloses imatges i estructures de la naturalesa com el nostre sistema circulatori, el creixement de les branques d’un arbre, les línies de les costes i els sistemes muntanyosos. 

Les respostes que hem escollit com a exemples són respostes de 40 informes dels presentats pels alumnes en la primera fase del FM14. Hem escollit els 13 seleccionats per a la segona fase i els altres a l’atzar entre la resta.

Bloc de continguts

Canvii relacions, numeració i càlcul, espai i forma.

Competències implicades( [1], p.8)

PROBLEMA	COMPETÈNCIES SECUNDÀRIA
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
TRIANGLES I TRIANGLETS

Competència 2: Emprar conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre problemes. ([1], p.14).

Competència 7: Usar les relacions que hi ha entre les diverses parts de les matemàtiques per analitzar situacions i raonar. ([1], p.33)

Possibles estratègies de resolució de problemes ([2], [3])

Fer dibuixos i esquemes; Descomposar el problema original en subproblemes essent cada un d’ells similar al de l’origen; Organitzar la informació; Fer taules; Cerca del patró.

Solucions 1        12 cm2                                                        Fàcil 2        40/3 13’,13,333.. o 13 1/3 cm2                    Mod 3        13,925.. o 13 25/27 o 376/27 cm2               Mod- dif 4        Una explicació que inclogui un d’aquests arguments:     Difícil • Observació i descripció del patró geomètric i aritmètic en llenguatge matemàtic: o “L’àrea de la figura serà la suma de l’àrea de la figura anterior i l’àrea dels trianglets afegits. El nombre de trianglets afegits serà 4 vegades més que en la figura anterior. I l’àrea dels trianglets serà 1/9 més petita que l’anterior” o Escrivint com una fórmula o “quasi-fórmula” el patró: A figura= A fig anterior+A trianglets nº trianglets= 4·nºtrianglets fig anterior Àrea trianglet= 1/9 Àrea trianglet anterior o O com una fórmula: Potser poden veure que An = An-1 + Cn-1 · (1/9)n-1              Cn és el número de costats de la iteració n          Cn=4·Cn-1 o directament Cn=3·4n • Observació sobre el creixement de la figura fractal i el valor de l’àrea que porta a adonar-se que: o L’àrea augmentarà a cada iteració. o L’augment de l’àrea va disminuint progressivament. o Mentre el perímetre de la figura creix il·limitadament, l’àrea cada vegada es va limitant més o L’àrea és finita. Una cota superior fàcil d’observar és el valor de l’àrea del cercle inscrit. La resposta és 8/5 · A0 = 72/5. Tot i que no tenen mitjans per demostrar-ho matemàticament en aquest nivell. Poden, però, aproximar-se en les seves solucions a aquest valor 72/5 o la seva solució decimal14,4 o intentar exposar-ho amb el seu vocabulari a partir d’observar que els valors s’aproximen cada vegada més lentament a ell. Per a una comprensió major del patró i càlculs per al professor afegirem un annex amb càlculs concrets de l’àrea d’aquesta figura, una taula excel i uns càlculs del radi del cercle circumscrit amb Geogebra.

Orientacions per al professor

1. Calcula l’àrea de la figura 2.

Aquest és un apartat del que anomenem comprensió de l’enunciat. És molt bàsic, seria com una activitat d’escalfament. És una primera aproximació a l’estructura de la figura i a la seva formació a partir del triangle equilàter. És una pregunta de fàcil resolució que no requereix grans càlculs i que tots els grups visualitzen en dividir la figura i relacionant-ho al valor numèric de l’àrea de la figura inicial. Tots els grups estudiats han resolt correctament aquest apartat.





2.Troba l’àrea del polígon resultant després de fer el procés 2 vegades (figura 3).

Aquí el problema es complica una mica més ja que, com ells expliquen, els triangles es fan més petits, llavors intenten buscar relacions amb la formació de la figura anterior:





Cal destacar que la majoria, el 80% dels treballs, fan els càlculs amb nombres decimals:

Aquesta frase dels alumnes de l’exemple anterior: “0,111... · 9 =0’ 999.. que tendeix a 1” ens pot servir com a oportunitat per treballar que 0’9 períodic és igual a 1.

D’aquests, uns quants (5 de 40), realitzen aproximacions dels nombres decimals periòdics que no els permeten arribar als resultats finals exactes. Depenent de les aproximacions emprades, els resultats poden variar bastant:



Volem destacar que hi ha treballs que tot i expressar la raó entre les àrees de les figures en forma fraccionària, a l’hora de realitzar els càlculs, empren l’expressió decimal. Només 8 dels 40 equips fan els càlculs amb fraccions.



3. Quina serà l’àrea si apliquem aquest procés tres cops?(figura 4).

Aquesta pregunta es torna difícil de solucionar ja que els trianglets són cada vegada més petits i llavors la solució es torna més fàcil si ja tenen clar el patró de creixement recursiu i poden calcular la part de la figura que s’afegeix. De fet, 18 dels 40 grups estudiats han resolt correctament aquest apartat.

Alguns utilitzen la plantilla per poder veure clar el nº de trianglets que es formen en cada figura i la proporció entre les àrees. A l’apartat de recursos proporcionem una plantilla fotocopiable per poder investigar [R3].


I troben el valor de l’àrea del nou trianglet calculant la raó o relacionat-ho amb la del triangle inicial o amb la del triangle d’1 cm2: “És 1/9 d’1/9 d’1cm2” . Després ho multipliquen per 48 nous trianglets que s’han format i sumen aquesta àrea total afegida a la de la figura anterior:





Alguns equips, 8 dels 40, fan bé el procés i han trobat bé el patró però fallen en comptar el nombre de trianglets nous que es formen, en aquest cas 48, ja que no utilitzen un mètode deductiu(nº trianglets= 4.nºtriangletsfig ant)per saber-ho sinó que fan un recompte.

4. Sabries aproximar-te al valor de l’àrea que resultaria si apliquéssim el procés moltíssimes vegades?
Aquesta pregunta és realment complicada per ells. De fet, només s’han aproximat a una solució 18 dels 40 equips (entenent que hi ha diversos nivells d’aproximació tal com expliquem a l’apartat de solucions) i ha donat la resposta correcta 3 equips amb fórmules de les progressions geomètriques. La solució exacta requereix un nivell de complexitat que no podem exigir als alumnes però que poden ser interessants per treballar en cursos posteriors. Per això, en les possibles solucions hem llençat algunes propostes graduades del que consideraríem vàlid com a línies d’argumentació.
En general, la resposta és 8/5 · A0, i per tant en el nostre cas amb A0=9, tenim que l’àrea del fractal és 72/5. Tot i que no tenen mitjans per demostrar-ho matemàticament en aquest nivell, poden, però, aproximar-se en les seves solucions a aquest valor 72/5 o la seva solució decimal 14,4.També es pot valorar diferents fites superiors trobades.
Aquesta seria una solució força correcta, ja que exposen el patró que apliquen a cada figura, la calculen per a una figura més i intueixen que l’àrea augmentarà cada cop menys perquè els triangles es fan cada cop més petits:


Alguns fan una formulació retòrica del patró i expressen la tendència de la figura a aproximar-se a l’àrea del cercle que el conté:

Observem, però, que l’àrea del cercle circumscrit, 4 21’7656.., és una fita superior força distant del valor buscat 72/5=14’4.(Veure annex pels càlculs de l’àrea del cercle circumscrit)
En buscar el patró de formació de les figures els surt el factor 4/9 que justifiquen a partir d’augmentar en 4 el nombre de trianglets i dividir en 9 l’àrea dels trianglets:

Aquests alumnes, encara que s’equivoquen en el càlcul (12/9 és un nombre periòdic:13,333..), hi veuen el patrons posant les dades organitzades i ordenades en una taula i mirant en vertical cada columna, de formació dels trianglets(multiplicant per 4) i de les àrees de cada nou trianglet (dividint entre 9 ):


El fet de posar les dades i resultats parcials en una taula és una estratègia molt bona i recomenable per poder visualitzar els canvis i relacions en una sèrie. Si els vostres alumnes no l’utilitzen podeu guiar-los en fer-les servir. En aquesta mostra de 40 equips només fan servir taules o llistes ordenades per comparar 4 dels equips.
Alguns van una mica més enllà en les seves expressions, escribint les relacions amb potències de 4n i de (1/9)^n:


De fet, seria una bona oportunitat, per treballar amb les potències i les seves propietats. Molts equips veuen clar l’obtenció del nº de trianglets multiplicant per 4 i l’obtenció de l’àrea del nou trianglet amb la divisió entre 9 de l’àrea del trianglet anterior, però no ho expressen en forma de potències.
En la següent resposta trobem un bon raonament cap a la resposta correcta tot i que s’equivoquen en el valor final dient que és 15 cm2 enlloc del valor exacte de 14,4 cm2:

Només 3 equips dels 40 donen el valor exacte amb la fórmula de progressions geomètriques. En un dels treballs usen la fórmula de la suma dels termes d’una progressió geomètrica:





En canvi, en aquest altre treball, raonen el valor de la suma per aquest cas concret:

Orientacions para l’avaluació

Seguint les orientacions donades pel document Competències bàsiques de l’àmbit matemàtica a la secundària[1]:
Per l’avaluació de la competència 2: Emprar conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre problemes. ([1], p.14), atenent a la complexitat de les eines i estratègies que posen en joc i a la capacitat per explicar el procés seguit:
• Els alumnes que fan interpreten la representació geomètrica, les transformen en expressions aritmètiques i fan els càlculs però encara no saben explicar un procediment per deduir-ho de manera directa mostrarien un nivell 1:

• En un nivell 2, el que importa és saber explicar el procés seguit, a part de resoldre’l.
• En el nivell 3 cal la justificació de la conjectura més enllà de fer-ho amb exemples. Cal trobar raons matemàtiques que recolzin la conjectura pel cas n-èssim.

Per l’avaluació de la competència 7: Usar les relacions que hi ha entre les diverses parts de les matemàtiques per analitzar situacions i raonar. ([1], p.33), s’ha tingut en compte la complexitat de les connexions:
• En exemple concret de resposta de nivell 1, seria el d’uns alumnes que connecten àrea i fracció (veuen que el trianglet nou és una novena part de l’anterior) i després fracció amb l’expressió decimal per operar, però no responen al cas general.
• Els alumnes que mostren un nivell 2, veuen el patró geomètric de la reiteració de la figura i la relació entre les àrees, i també la del nº trianglets que es formen a la nova figura i ho expressen.
• Els de nivell 3 expliquen les connexions usant llenguatge matemàtic, apliquen idees transversals per analitzar situacions i construir raonaments, i generalitzen demostrant la recursivitat del patró.

Recursos

[R1] Proposta de treball d’aula (des de 6è fins el batxillerat) d’introducció dels fractals que motiva el treball amb perímetres, àrees, fraccions i potències i la investigació matemàtica. De fet, és la traducció de la web d’adreça http://math.rice.edu/~lanius/frac/. L'autora és Cynthia Lanius.
Dóna la direcció d’un applet Java per veure la formació del fractal de Koch i plantilla per treballar amb material les preguntes d’investigació. També dóna més recursos on ampliar la informació:
http://ateneu.xtec.cat/wikiform/wikiexport/cursos/curriculum/eso_btx/dsma0/modul_6/practica_4
[R2] Utilització d’un applet Java per veure el dibuix d’un floc de neu de Koch. Els alumnes poden veure les successives iteracions i comparar amb els seus dibuixos. El funcionament de l'applet és ben senzill i no necessita explicació: http://math.rice.edu/~lanius/frac/koch/koch.html
[R3] Plantilla de triangles en full fotocopiable per fer un treball més manipulatiu i investigar el patró de creixement del Floc de neu de Koch: http://math.rice.edu/~lanius/images/triangle.gif
[R4] De la web “Matemáticas cercanas”, en forma d’endevinalla planteja la investigació de trobar un polígon de perímetre infinit i àrea finita relacionant-lo amb els fractals:
http://matematicascercanas.com/2014/05/27/poligono-de-perimetro-infinito-y-area-finita-en-una-hoja/#more-726

Bibliografia i llocs web

[1] Burgués, C. i Sarramona, J. (2013). Competències bàsiques de l’àmbit matemàtic Identificació i desplegament a l’ESO. Generalitat de Catalunya Departament d’ensenyament.
http://ensenyament.gencat.cat/web/.content/home/departament/publicacions/colleccions/competencies-basiques/competencies_mates_eso.pdf
[2] CREAMAT (2015). Estratègies per a resoldre problemes. Generalitat de Catalunya. Departament d'Ensenyament.
http://srvcnpbs.xtec.cat/creamat/joomla/file/estretegies_per_a_resoldre_problemes.pdf
[3] Luque, M. (2010). Estrategias para la resolución de problemas. ISFD No 127 “Ciudad del Acuerdo”.
http://www.instituto127.com.ar/Academicos/Catedras/ProfMate_topologia/2010_Resoluciondeproblemas_luque.pdf

VEURE FITXA COMPLETA

ENUNCIAT PELS ALUMNES