EMPAQUETEM CARAMELS
PROBLEMES
DE LA SEGONA FASE DEL FEM MATEMÀTIQUES 2018 ABEAM. 1r ESO
Etiquetes: connexions, modelització, 3 dimensions, context proper, divisibilitat, volum, superfície, optimització, argumentació, experimentació.
Bloc de continguts: Espai i forma, Numeració i càlcul
Nivells: ESO
Enunciat (versió editable)
Amb aquest problema es treballa especialment
el bloc d’espai i forma en 3D, que és un bloc sobre el que sempre hi ha una
demanda de problemes rics i competencials. Generalment, és un bloc que les editorials deixen per a aquest últim trimestre, tot i que en l’actual currículum (Decret
187/2015) hi ha la proposta de fer rotatiu l’ordre d’aparició dels blocs de
continguts. En concret, ens anima a començar segon d’ESO amb el bloc d’Espai i
forma i permutant o simultaniejant amb el bloc de Mesura. Encara que en aquests
moments la geometria de dimensió 3 està recomanada a 2n d’ESO hem considerat
que el plantejament del problema era prou proper perquè els alumnes poguessin
apropiar-se de la situació plantejada. A més, hem tingut en compte que segons el
currículum de primària, en aquesta etapa ja hi ha d’haver un treball de manera
bàsica dels conceptes: representació d’un prisma en 3D, càlcul de volums
senzills primer de manera directa i després amb fórmula, mesura directa de
superfícies i també amb fórmula en aquest cas de rectangles.
A l'aula es pot proposar des de 6è de primària
i a 1r i 2n d’ESO com a problema d’investigació experimental amb material. Per
què amb material? Doncs perquè creiem que d’aquesta manera es pot treballar el
problema d’una manera més significativa i ajudar així a l’alumnat en el treball
d’un bloc de continguts en què els resultats són més baixos que en d’altres com
hem comprovat en els resultats d’aquesta segona fase del FM i que també s’ha
evidenciat en els resultats de les darreres proves de competències bàsiques.
Aquest problema encaixa especialment per
treballar la competència 8 de Connexions
(identificar les matemàtiques implicades
en situacions properes i acadèmiques i cercar situacions que es puguin
relacionar amb idees matemàtiques concretes) en un context d’una situació quotidiana
com podria ser l’empaquetament en capses de cartró i en dimensions 3D (en la
primera fase del concurs van fer una investigació del bloc espai i forma en el
pla).
Demana que l’alumne connecti conceptes de volum i les
seves dimensions amb divisors i
factorització; el cost de l’empaquetament amb superfície total de la figura i
l’opció més barata amb la de menor superfície total i amb la forma més regular
i de dimensions més semblants.
També, i com en tots els problemes del Fem
Matemàtiques, es demana una argumentació per justificar i validar les
afirmacions que fan, és a dir, la competència
5 de raonament i prova (construir,
expressar i contrastar argumentacions per justificar i validar les afirmacions
que es fan en matemàtiques).
Després de veure els resultats de les proves,
continuem constatant que el bloc d’espai i forma és dels blocs que cal
treballar més i potser de manera més manipulativa, directa i experiencial per a
que sigui realment significativa per a ells. És possible, que molts dels alumnes
hagin treballat la fórmula a·b·c del volum d’un paral·lelepípede a 6è, però sense
que ho acabin de transferir, connectar i aplicar a un problema que presenta les
dades en un context que el ciutadà corrent ha d’utilitzar de manera molt
quotidiana (a les mesures de les maletes que es poden embarcar, armaris,
capses, matalassos i mobles per posar uns quants exemples).
És per això, que el proposem com a recurs per
l’aula amb material com els policubs i amb paper o cartolina per embolicar.
Si
en feu alguna investigació amb els vostres alumnes i ens voleu passar les
fotografies o en feu alguna variació més, encantades de rebre les vostres
propostes! Twitter: @CyndiCynti o @matesAbeam
Aquest problema és una adaptació del problema
Dandy Candies de Dan Meyer (http://www.101qs.com/3038-dandy-candies).
Pel format de la prova vam considerar que no era pràctic passar el vídeo
introductori però sí que el recomanem per la versió d’aula. A més, en l’apartat
d’ampliació també us proposem suggeriments tant de la versió del Dan Meyer com
d’altres (veure apartat corresponent).
Solucions
a)
Factoritzem, 24 = 23·4
Trobem totes
les maneres d’escriure 24 com a producte de 3 nombres, ja que el volum d’un
prisma de base rectangular es calcula multiplicant les seves 3 longituds.
Hi ha 6
capses diferents: {1x1x24, 1x2x12, 1x3x8, 1x4x6, 2x2x6, 2x3x4}
b) Calculem la superfície de paper,
1x1x24 → S=2(24x1+24x1+1x1)=98
1x2x12 →
S=2(12x2+12x1+2x1)=76
1x3x8→
S=2(8x3+8x1+3x1)=70
1x4x6 → S=2(4x6+4x1+6x1)=68
2x2x6→
S=2(6x2+6x2+2x2)=56
2x3x4→
S=2(4x3+4x2+3x2)=52
per tant, l’opció més barata seria la de
2x3x4 ja és la que necessita menor superfície per embolicar. La forma de la
capsa que s’aproxima més a una forma regular i, per tant, que les seves
dimensions són més semblants.
c) 40=23·5
La capsa més
semblant a un cub és la que gasta menys paper.
Per tant he
de buscar una factorització on els 3 nombres siguin el més semblants possibles:
40=2x4x5
S=2(4x2+4x5+2x5)= 2·38= 76
d) 2,3,5,7,
… els nombres primers, perquè només admeten una factorització: 1x1x p
Recurs
d’aula
Com a recurs d’aula creiem que seria molt bo
passar la pel·lícula que proposa el problema original http://www.101qs.com/3038-dandy-candies
i canviar la imatge de les dues capses per aquesta que es refereix a la
projecció. D’aquesta manera es pot seguir la proposta original i canviar la pregunta
a) per aquesta: Si
els bombons que heu vist fossin 24, quines serien les dimensions de les 4
capses?
Aleshores la pregunta b) es faria primer
referència a aquestes 4 capses i després es podria afegir la pregunta al cas
general b2): Seria la manera més barata o potser hi ha
alguna altra?
Ampliació:
Seguint la proposta
original es pot preguntar per les longituds de les cintes dels empaquetaments i
per l’opció més barata.
En la pregunta c) es pot
canviar el nombre a preguntar, per exemple, per 80 caramels.
A la versió original hi
podreu trobar altres preguntes a partir de la visualització del vídeo.
Competències implicades (Burgués i Sarramona, 2013)
Competències implicades (Burgués i Sarramona, 2013)
COMPETÈNCIES
SECUNDARIA
|
||||||||||
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
|
Competència 8 de Connexions: Identificar les matemàtiques implicades en situacions properes i acadèmiques i cercar situacions que es puguin relacionar amb idees matemàtiques concretes
Competència 5 de Raonament i prova: Construir, expressar i contrastar argumentacions per justificar i validar les afirmacions que es fan en matemàtiques.
Tal com fem sempre, primer fem una anàlisi
prèvia i profunda dels processos i connexions que l’alumne haurà de fer en
resoldre el problema i determinem les competències més implicades (veure
apartat “per què hem seleccionat el problema?”). Per últim, fixem els nivells
d’assoliment competencial i adaptem els indicadors del document (Burgués i
Sarramona,2013) al problema en concret.
La rúbrica proposada té una puntuació per a la
necessitat de l’avaluació de la fase 2 de seleccionar els alumnes que haurien
de passar a la fase 3 del concurs. Però està feta per a ser instrument d’una
avaluació competencial i formativa.
Avaluació
competencial. Exemples
Respecte la competència 8, per a un alumne d’assoliment
estàndard, els indicadors assenyalaríem un tipus d’alumne que detecta alguns
conceptes però no reconeix l’estructura matemàtica implicada, només reconeix
algunes de les relacions més evidents però no les expressa formalment, connecta
en l’apartat a) la idea de la quantitat de caramels amb el volum i expressa de
manera aritmètica les diverses dimensions que poden tenir les capses a partir
de la factorització i les diverses combinacions que existeixen de 3 factors que
donin 24 (pot deixar-se alguna). Això respecte a la competència 8. I respecte a
la competència 5 de raonament i prova, seria un alumne que fa afirmacions
matemàtiques utilitzant exemples concrets.
En aquest cas observem que respecte la
competència 8 tindria un nivell estàndard on ha sabut donar les sis capses que
compleixen l’enunciat. Però tindria un nivell no assolit respecte la
competència 5 ja que no argumenta la seva resposta.
Respecte la competència 8, aquest alumne té un
nivell estàndard: troba només 5 de les 6 possibles capses, però en b) es veu que no connecta correctament el fet de tenir
diferents dimensions amb tenir diferents superfícies i, per tant, diferent
quantitat de cartró: “serien igual de
barates ja que estan fetes per 24 caramels.. necessitarien el mateix cartró
però de diferentes formes” i justifica: “si multipliques en totes la base x alçada x profunditat dona 24 cm3”.
En canvi respecte la competència 5 la resposta
és més completa, connecta la quantitat de caramels amb el concepte de volum,
relaciona la factorització amb el volum a aconseguir. Fins i tot té alguns elements del nivell alt
ja que és capaç de donar la resposta d) i justificar-la.
Un alumne demostraria un nivell d’assoliment alt respecte
a la competència 8 si reconeix l’estructura matemàtica implicada però no és del
tot eficient. Pot respondre a l’apartat b) relacionant l’opció més barata amb
la que té la menor superfície total. Per això, cerca la superfície total
d’alguna capsa o totes de manera més sistemàtica.
Per a la competència 5, per exemple en les
respostes a i b: argumenta
emprant generalitzacions/casos particulars en alguns moments del procés, i, respon
correctament a d) argumentant que els nombres primers no admeten més que una
factorització. Recordem que no s’han de complir tots i que, en el cas d’una
avaluació qualificadora, hem posat una forquilla per poder matisar més la nota.
El cas d’aquest alumne seria per a nosaltres
d’un nivell alt en la competència 8
i també nivell alt però en la forquilla
baixa en quant l’argumentació,
doncs reconeix les estructures matemàtiques implicades però en el cas a i b no
les argumenta i, en canvi, si argumenta molt bé en c i d.
I finalment, un alumne demostraria un nivell d’assoliment molt alt respecte a la competència 8 si reconeix
l’estructura matemàtica implicada i en fa ús per analitzar la situació. Per
exemple, a més de tots els indicadors respon a c), relacionant l’opció més
barata amb la de menor superfície total i a la forma més regular i per tant, de
dimensions més semblants i troba que la millor opció és 2x3x4 amb 76 uq. I per
a la competència 5, si construeix argumentacions
matemàtiques i les expressa amb precisió i de manera clara i entenedora, i utilitza
amb facilitat el llenguatge matemàtic (taules, expressions algebraiques,..) per
a la seva argumentació.
Aquí l’alumne reconeix l’estructura de la
divisibilitat i factorització que en donarà totes les possibles dimensions de
les capses que donen 24 i ho argumenta recolzant-se en els conceptes i
procediments matemàtics.
El mateix alumne respon a la pregunta b),
posant exemples i contraexemples que reafirmen la seva conjectura. A més, treu
una conclusió molt bona, la capsa amb les dimensions amb nombres més semblants
serà la més barata i ho relaciona amb aquella que la suma de les seves
dimensions sigui la més petita.
Per últim, també volem fer un recull de diverses respostes que hem
trobat. En primer lloc volem mencionar una aproximació a partir del 2D que s’ha
repetit força. Per exemple, en aquest cas fixa una de les dimensions a 1
i, per tant, només troba 4 de les 6 possibles capses.
I aquest exemple, molt comú, que mostra la confusió
entre 2D i 3D:
També volem mencionar la tasca que comporta que els
alumnes argumentin les seves respostes. Mostrem la resposta del següent
alumne on hi ha molt poca argumentació.
Finalment, volem mostrar un darrer exemple de les dificultats
que tenen els alumnes per donar resposta a l’apartat b) sobre la capsa que necessitaria menys cartró per fabricar-la. En aquest cas
trobem una curiosa argumentació en b), és intuïtiva (com el que respondrien els nens més petits) ja
que li sembla que la més allargada és més primeta i no necessita tant de cartró:
Bibliografia
Aubanell, A. (2015). Orientacions pràctiques per a la millora de la geometria. QUADERNS D’AVALUACIÓ 31. Generalitat de Catalunya Departament d’ensenyament.
Burgués, C. i Sarramona, J. (2013). Competències
bàsiques de l’àmbit matemàtic Identificació i desplegament a l’ESO.
Generalitat de Catalunya Departament d’ensenyament.
Decret 187/2015, de 25 d’agost, d'ordenació
dels ensenyaments de l'educació secundària obligatòria, DOGC 6945 (2015).
