divendres, 27 d’abril de 2018

AIGG LES 3D! UN PROBLEMA DE GEOMETRIA

EMPAQUETEM CARAMELS


PROBLEMES DE LA SEGONA FASE DEL FEM MATEMÀTIQUES 2018 ABEAM. 1r ESO

Etiquetes: connexions, modelització, 3 dimensions, context proper, divisibilitat, volum, superfície, optimització, argumentació, experimentació.
Bloc de continguts: Espai i forma, Numeració i càlcul
Nivells: ESO

Enunciat (versió editable)



Amb aquest problema es treballa especialment el bloc d’espai i forma en 3D, que és un bloc sobre el que sempre hi ha una demanda de problemes rics i competencials. Generalment, és un bloc que les editorials deixen per a aquest últim trimestre, tot i que en l’actual currículum (Decret 187/2015) hi ha la proposta de fer rotatiu l’ordre d’aparició dels blocs de continguts. En concret, ens anima a començar segon d’ESO amb el bloc d’Espai i forma i permutant o simultaniejant amb el bloc de Mesura. Encara que en aquests moments la geometria de dimensió 3 està recomanada a 2n d’ESO hem considerat que el plantejament del problema era prou proper perquè els alumnes poguessin apropiar-se de la situació plantejada. A més, hem tingut en compte que segons el currículum de primària, en aquesta etapa ja hi ha d’haver un treball de manera bàsica dels conceptes: representació d’un prisma en 3D, càlcul de volums senzills primer de manera directa i després amb fórmula, mesura directa de superfícies i també amb fórmula en aquest cas de rectangles.

A l'aula es pot proposar des de 6è de primària i a 1r i 2n d’ESO com a problema d’investigació experimental amb material. Per què amb material? Doncs perquè creiem que d’aquesta manera es pot treballar el problema d’una manera més significativa i ajudar així a l’alumnat en el treball d’un bloc de continguts en què els resultats són més baixos que en d’altres com hem comprovat en els resultats d’aquesta segona fase del FM i que també s’ha evidenciat en els resultats de les darreres proves de competències bàsiques.

Aquest problema encaixa especialment per treballar la competència 8 de Connexions (identificar les matemàtiques implicades en situacions properes i acadèmiques i cercar situacions que es puguin relacionar amb idees matemàtiques concretes) en un context d’una situació quotidiana com podria ser l’empaquetament en capses de cartró i en dimensions 3D (en la primera fase del concurs van fer una investigació del bloc espai i forma en el pla).
Demana que l’alumne connecti conceptes de volum i les seves dimensions amb  divisors i factorització; el cost de l’empaquetament amb superfície total de la figura i l’opció més barata amb la de menor superfície total i amb la forma més regular i de dimensions més semblants.
També, i com en tots els problemes del Fem Matemàtiques, es demana una argumentació per justificar i validar les afirmacions que fan, és a dir, la competència 5 de raonament i prova  (construir, expressar i contrastar argumentacions per justificar i validar les afirmacions que es fan en matemàtiques).

Després de veure els resultats de les proves, continuem constatant que el bloc d’espai i forma és dels blocs que cal treballar més i potser de manera més manipulativa, directa i experiencial per a que sigui realment significativa per a ells. És possible, que molts dels alumnes hagin treballat la fórmula a·b·c del volum d’un paral·lelepípede a 6è, però sense que ho acabin de transferir, connectar i aplicar a un problema que presenta les dades en un context que el ciutadà corrent ha d’utilitzar de manera molt quotidiana (a les mesures de les maletes que es poden embarcar, armaris, capses, matalassos i mobles per posar uns quants exemples).


És per això, que el proposem com a recurs per l’aula amb material com els policubs i amb paper o cartolina per embolicar. 
Si en feu alguna investigació amb els vostres alumnes i ens voleu passar les fotografies o en feu alguna variació més, encantades de rebre les vostres propostes! Twitter: @CyndiCynti o @matesAbeam

Aquest problema és una adaptació del problema Dandy Candies de Dan Meyer (http://www.101qs.com/3038-dandy-candies). Pel format de la prova vam considerar que no era pràctic passar el vídeo introductori però sí que el recomanem per la versió d’aula. A més, en l’apartat d’ampliació també us proposem suggeriments tant de la versió del Dan Meyer com d’altres (veure apartat corresponent).

Solucions
a) Factoritzem, 24 = 23·4
Trobem totes les maneres d’escriure 24 com a producte de 3 nombres, ja que el volum d’un prisma de base rectangular es calcula multiplicant les seves 3 longituds.
Hi ha 6 capses diferents: {1x1x24, 1x2x12, 1x3x8, 1x4x6, 2x2x6, 2x3x4}

b) Calculem la superfície de paper,
1x1x24 → S=2(24x1+24x1+1x1)=98
1x2x12 → S=2(12x2+12x1+2x1)=76
1x3x8→ S=2(8x3+8x1+3x1)=70
1x4x6 → S=2(4x6+4x1+6x1)=68
2x2x6→ S=2(6x2+6x2+2x2)=56
2x3x4→ S=2(4x3+4x2+3x2)=52
per tant, l’opció més barata seria la de 2x3x4 ja és la que necessita menor superfície per embolicar. La forma de la capsa que s’aproxima més a una forma regular i, per tant, que les seves dimensions són més semblants.

c) 40=23·5
La capsa més semblant a un cub és la que gasta menys paper. Per tant he de buscar una factorització on els 3 nombres siguin el més semblants possibles:
40=2x4x5  S=2(4x2+4x5+2x5)= 2·38= 76

d) 2,3,5,7, … els nombres primers, perquè només admeten una factorització: 1x1x p

Recurs d’aula
Com a recurs d’aula creiem que seria molt bo passar la pel·lícula que proposa el problema original  http://www.101qs.com/3038-dandy-candies i canviar la imatge de les dues capses per aquesta que es refereix a la projecció. D’aquesta manera es pot seguir la proposta original i canviar la pregunta a) per aquesta: Si els bombons que heu vist fossin 24, quines serien les dimensions de les 4 capses?
 

Aleshores la pregunta b) es faria primer referència a aquestes 4 capses i després es podria afegir la pregunta al cas general b2): Seria la manera més barata o potser hi ha alguna altra?

Ampliació:
Seguint la proposta original es pot preguntar per les longituds de les cintes dels empaquetaments i per l’opció més barata.
En la pregunta c) es pot canviar el nombre a preguntar, per exemple, per 80 caramels.
A la versió original hi podreu trobar altres preguntes a partir de la visualització del vídeo.

Competències implicades (Burgués i Sarramona, 2013)

                 
COMPETÈNCIES SECUNDARIA
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Competència 8 de ConnexionsIdentificar les matemàtiques implicades en situacions properes i acadèmiques i cercar situacions que es puguin relacionar amb idees matemàtiques concretes
Competència 5 de Raonament i prova: Construir, expressar i contrastar argumentacions per justificar i validar les afirmacions que es fan en matemàtiques.

Rúbrica d’avaluació:  (versió editable) 
Tal com fem sempre, primer fem una anàlisi prèvia i profunda dels processos i connexions que l’alumne haurà de fer en resoldre el problema i determinem les competències més implicades (veure apartat “per què hem seleccionat el problema?”). Per últim, fixem els nivells d’assoliment competencial i adaptem els indicadors del document (Burgués i Sarramona,2013) al problema en concret.
La rúbrica proposada té una puntuació per a la necessitat de l’avaluació de la fase 2 de seleccionar els alumnes que haurien de passar a la fase 3 del concurs. Però està feta per a ser instrument d’una avaluació competencial i formativa.

Avaluació competencial. Exemples
Respecte la competència 8, per a un alumne d’assoliment estàndard, els indicadors assenyalaríem un tipus d’alumne que detecta alguns conceptes però no reconeix l’estructura matemàtica implicada, només reconeix algunes de les relacions més evidents però no les expressa formalment, connecta en l’apartat a) la idea de la quantitat de caramels amb el volum i expressa de manera aritmètica les diverses dimensions que poden tenir les capses a partir de la factorització i les diverses combinacions que existeixen de 3 factors que donin 24 (pot deixar-se alguna). Això respecte a la competència 8. I respecte a la competència 5 de raonament i prova, seria un alumne que fa afirmacions matemàtiques utilitzant exemples concrets.
En aquest cas observem que respecte la competència 8 tindria un nivell estàndard on ha sabut donar les sis capses que compleixen l’enunciat. Però tindria un nivell no assolit respecte la competència 5 ja que no argumenta la seva resposta.



  
Respecte la competència 8, aquest alumne té un nivell estàndard: troba només 5 de les 6 possibles capses, però en b) es veu que no connecta correctament el fet de tenir diferents dimensions amb tenir diferents superfícies i, per tant, diferent quantitat de cartró: “serien igual de barates ja que estan fetes per 24 caramels.. necessitarien el mateix cartró però de diferentes formes” i justifica: “si multipliques en totes la base x alçada x profunditat dona 24 cm3”.
En canvi respecte la competència 5 la resposta és més completa, connecta la quantitat de caramels amb el concepte de volum, relaciona la factorització amb el volum a aconseguir.  Fins i tot té alguns elements del nivell alt ja que és capaç de donar la resposta d) i justificar-la.


Un alumne demostraria un nivell d’assoliment alt  respecte a la competència 8 si reconeix l’estructura matemàtica implicada però no és del tot eficient. Pot respondre a l’apartat b) relacionant l’opció més barata amb la que té la menor superfície total. Per això, cerca la superfície total d’alguna capsa o totes de manera més sistemàtica.
Per a la competència 5, per exemple en les respostes a i b: argumenta emprant generalitzacions/casos particulars en alguns moments del procés, i, respon correctament a d) argumentant que els nombres primers no admeten més que una factorització. Recordem que no s’han de complir tots i que, en el cas d’una avaluació qualificadora, hem posat una forquilla per poder matisar més la nota.
 
El cas d’aquest alumne seria per a nosaltres d’un nivell alt en la competència 8 i també nivell alt però en la forquilla baixa en quant l’argumentació, doncs reconeix les estructures matemàtiques implicades però en el cas a i b no les argumenta i, en canvi, si argumenta molt bé en c i d.


I finalment, un alumne demostraria un nivell d’assoliment molt alt  respecte a la competència 8 si reconeix l’estructura matemàtica implicada i en fa ús per analitzar la situació. Per exemple, a més de tots els indicadors respon a c), relacionant l’opció més barata amb la de menor superfície total i a la forma més regular i per tant, de dimensions més semblants i troba que la millor opció és 2x3x4 amb 76 uq. I per a la competència 5, si construeix argumentacions matemàtiques i les expressa amb precisió i de manera clara i entenedora, i utilitza amb facilitat el llenguatge matemàtic (taules, expressions algebraiques,..) per a la seva argumentació.
Aquí l’alumne reconeix l’estructura de la divisibilitat i factorització que en donarà totes les possibles dimensions de les capses que donen 24 i ho argumenta recolzant-se en els conceptes i procediments matemàtics.


El mateix alumne respon a la pregunta b), posant exemples i contraexemples que reafirmen la seva conjectura. A més, treu una conclusió molt bona, la capsa amb les dimensions amb nombres més semblants serà la més barata i ho relaciona amb aquella que la suma de les seves dimensions sigui la més petita.


Per últim, també volem fer un recull de diverses respostes que hem trobat. En primer lloc volem mencionar una aproximació a partir del 2D que s’ha repetit força. Per exemple, en aquest cas fixa una de les dimensions a 1 i, per tant, només troba 4 de les 6 possibles capses.

I aquest exemple, molt comú, que mostra la confusió entre 2D i 3D:


També volem mencionar la tasca que comporta que els alumnes argumentin les seves respostes. Mostrem la resposta del següent alumne on hi ha molt poca argumentació.

Finalment,  volem mostrar un darrer exemple de les dificultats que tenen els alumnes per donar resposta a l’apartat b) sobre la capsa que necessitaria menys cartró per fabricar-la. En aquest cas trobem una curiosa argumentació en b), és intuïtiva  (com el que respondrien els nens més petits) ja que li sembla que la més allargada és més primeta i no necessita tant de cartró:


Bibliografia

Aubanell, A. (2015). Orientacions pràctiques per a la millora de la geometria. QUADERNS D’AVALUACIÓ 31. Generalitat de Catalunya Departament d’ensenyament.

Burgués, C. i Sarramona, J. (2013). Competències bàsiques de l’àmbit matemàtic Identificació i desplegament a l’ESO. Generalitat de Catalunya Departament d’ensenyament.

Decret 187/2015, de 25 d’agost, d'ordenació dels ensenyaments de l'educació secundària obligatòria, DOGC 6945 (2015).


dimarts, 24 d’abril de 2018

EL FILTRE DE L'ASSECADOR

PROBLEMES DE LA SEGONA FASE DEL FEM MATEMÀTIQUES 18 ABEAM. 1r i 2n ESO


Etiquetespatró visual, modelització, raonament i prova, fotografia matemàtica
Bloc de continguts: Canvis i relacions
Nivells: ESO

Enunciat










































L’equip del Fem Matemàtiques d'ABEAM vam escollir aquesta proposta ja que partia d’una imatge d’un objecte quotidià del que podrien treure un patró matemàtic. Aquesta és una de les competències que s’expressa en la Competència 1 de la dimensió de Resolució de problemes (RP) que es refereix a les primeres fases del procés de RP on el procés de traducció de la situació que el problema proposa (visual, context,..) ha de desembocar en l’obtenció d’un model matemàtic.

Per una altra banda, ens agrada proposar exemples d’ULL MATEMÀTIC. Aquella mirada matemàtica del que ens envolta que es pot contagiar per gaudir de la satisfacció del descobriment de formes, figures i patrons que estan arreu.
Tal com diu Sorando (2017) en la molt recomanable sisena monografia “Fotografia matemàtica” de SUMA: El matemático que mira el mundo con curiosidad y sin prisas ve aquello que es su objeto de estudio: cantidades, figuras, relaciones, pautas...”.
I també en la cerca de patrons es treballen processos de treure pautes (induir), conjecturar i provar, particularitzar i generalitzar, i justificar l’estratègia que permet donar resposta a les preguntes. Tots aquests processos estan recollits a la Competència 5 de la dimensió de Raonament i prova.

Aquest problema va ser proposat a 2n d’ESO i, amb una versió sense el darrer apartat a, 1r d’ESO.

Als alumnes se’ls hi proporcionava un full de respostes amb la imatge en gran (clikeu per tenir la imatge) per tal que poguessin assenyalar el patró demanat.

a) Diverses propostes de patrons (veure solucionari)
b) 24 forats
c) 81 forats
d) 3n + 6 o equivalents (veure propostes en el solucionari)
e) (3n^2 + 15n): 2 o equivalents (veure propostes en el solucionari)



Primer cal realitzar una anàlisis previa i profunda dels processos i connexions que l’alumne haurà de fer en resoldre el problema. A partir d’aquesta anàlisi determinem les competències més implicades (veure apartat “per què hem seleccionat el problema?”). Per últim, fixem els nivells d’assoliment competencials i adaptem els indicadors del document (Burgués i Sarramona, 2013) al problema en concret.


Competències implicades:
En aquest cas les competències que vam considerar més implicades van ser la 1 de la dimensió de Resolució de Problemes i la 5 de Raonament i prova (amb més pes en aquesta darrera).


PROBLEMA
COMPETÈNCIES SECUNDÀRIA

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

ASSECADOR                  











Competència 1: Traduir un problema a llenguatge matemàtic o a una representació matemàtica utilitzant variables, símbols, diagrames i models adequats 
Competència 5: Construir, expressar i contrastar argumentacions per justificar i validar les afirmacions que es fan en matemàtiques.

La rúbrica proposada té una puntuació per a la necessitat de seleccionar els alumnes de la fase 2 que participaran a la fase 3 de l’activitat. Però està feta per a ser instrument d’una avaluació competencial i formativa.

Rúbrica per a 1r ESO
Criteri d’avaluació
Nivell  no assolit
Nivell assoliment
Estàndard
Nivell assoliment
Alt
Nivell assoliment
Molt Alt
Punts
Competència 1. Resolució de problemes. Traduir un problema a llenguatge matemàtic o a una representació matemàtica utilitzant variables, símbols, diagrames i models adequats

Primeres passes en el procés de RP. El procés de traducció ha de desembocar en l’obtenció d’un model matemàtic.


Gradació atenent el resultat de la traducció de l’enunciat a llenguatge matemàtic.
Només identifica la informació que s’aporta més bàsica i el que es demana per l’apartat b).
Elabora textos, dibuixos, esquemes simples  que descriuen la situació que el problema planteja però no li permet acabar de respondre l’apartat a).
Identifica la informació que s’aporta i el que es demana en els diferents apartats.
Identifica els aspectes matemàtics implicats en el problema.
Escull un model adient per descriure, en llenguatge matemàtic i /o a través d’una representació matemàtica, el que el problema planteja.
Indica la resposta a) seguint algun model matemàtic o geomètric basat en la imatge.
El model escollit utilitza per descriure llenguatge semi algebraic o algebraic i representacions matemàtiques que ajuden, faciliten i agilitzen en la comprensió del procés explicat, tenint en compte el significat de les dades.

Competència 5. Raonament i prova.  Construir, expressar i contrastar argumentacions per justificar i validar les afirmacions que es fan en matemàtiques.

A la cerca del patró estan lligats processos de:  treure pautes (induir), conjecturar i provar, particularitzar i generalitzar i justificar l’estratègia que permet donar resposta a les preguntes.


En aquest cas la puntuació és acumulativa per als diferents apartats





Gradació atenent a la complexitat de l’argumentació i la prova.
Opera i calcula. No s’acaba de adonar de les relacions matemàtiques
Fa afirmacions matemàtiques utilitzant exemples concrets per a una millor comprensió.
Usa comprovacions diverses: numèriques, gràfiques,...

Empra generalitzacions/casos particulars en alguns moments del procés.
Empra conjectures per generalitzar-les o rebutjar-les. Empra exemples de forma sistemàtica per continuar l’argumentació. Usa contraexem-ples en el procés de raonament.
Busca, explicita i argumenta els diversos patrons que permeten donar resposta a les preguntes
Construeix argumentacions matemàtiques i les expressa amb precisió. Explica de forma entene-dora i empra recursos diversos per fer-les més entenedores.

Li permet trobar la resposta de l’apartat b) 24 forats [2 punts] seguint la sèrie numèrica.

Reconeix algun patró i justifica correctament l’apartat b) [2 punts]

Troba la resposta de l’apartat c) 81 forats  [0,5punt] seguint la sèrie numèrica
Troba la resposta de l’apartat c) 81 forats  [1punt] i justifica correctament (veure propostes). L’expressa amb llenguatge matemàtic de manera entenedora. [2 punt]
 [ATENCIÓ: En la pregunta a) es demana que expressin com trobar el nombre total de forats però no cal que els calculin.]
Usa un raonament inductiu per justificar el patró de la resposta a). [2 punts] 
Dona la resposta d)  a partir de trobar el patró de la successió de nombres o Explicita la relació d) a partir del terme general de la successió o expressió equivalent 3n + 6 [1 punt]

Puntuació    100 % del total
(0-2] punts
(2 -5] punts
(5-7] punts
(7-10] punts

TOTAL
















































Algunes consideracions respecte la rúbrica
En aquest problema es demana als alumnes dos patrons: el patró del nombre de forats per cercle (preguntes b), c) i d)) i el patró del nombre total de forats per tots els cercles (preguntes a) i e)). Està clar, a més, que aquests dos patrons estan relacionats. El patró del nombre de forats per cercle és una progressió aritmètica i, per tant, en demanar el nombre total de forats estem demanat la suma de termes d’una progressió aritmètica.

En aquest problema hem seguit un esquema diferent, l’ordre dels apartats no correspon directament al nivell de gradació. L’apartat a) no és el més assequible com en d’altres propostes.  Es va decidir començar l’apartat a) preguntant pel nombre total de forats perquè l’alumnat es plantegés aquest repte per si mateix obrint les possibilitats de resposta a propostes com la següent:

PROPOSTA 3 (solucionari)

Si ens fixem en aquestes zones ombrejades, que corresponen a les que estan alineades, permeten dividir l’assecador en 3 parts iguals, per tant només cal comptar una de les parts.


La zona blava 1+1+1+1…. tants com anells ens facin considerar.
La zona no blava 2+3+4+...+ un més que el nombre d’anells que ens facin considerar

Per saber el nº total de  forats en els 8  primer cercles, haurem de fer : 
3 vegades el nº de cercles. 1+ 3·( 2+3+4+...+ un més que el nombre d’anells que ens facin considerar):
3 · [ 8 + ( 2+3+4+5+6+7+8+9)]= 3 ·[8 + 44] = 3 · 52 = 156


En la prova de 1r d’ESO no es demana l’apartat e) i per tant no es demana aprofundir en aquest patró i és per això que l’alumnat d’aquest nivell ha treballat sobretot només el patró del nombre de forats per cercle. A 2n d'ESO, les respostes que han assolit un nivell competencial més alt han trobat els dos patrons, la majoria ha seguit el camí de PA i suma dels termes d’un PA.

La riquesa d’aquest problema recau en les diverses aproximacions (aritmètica, visual, algebraica) que es poden fer als patrons i és per això que creiem que és una molt bona activitat per dur a l’aula on a partir de bones preguntes podem dirigir als alumnes en una ampliació posterior a la visió matemàtica del patró visual. Això donaria peu a intercanviar diverses perspectives i visions i, en modelitzar-les, a diverses expressions matemàtiques i algebraiques que tindrien tot el significat per a ells ja que sortirà de la seva interpretació.

Exemples d’avaluació amb la rúbrica
A diferència d’altres rúbriques, en aquest cas vam considerar els indicadors d’assoliment estaven molt relacionats entre les dues competències i per tant vam considerar una única forquilla de notes.
La major part dels exemples són respostes de alumnes de 1r d'ESO, excepte al final per als exemples de la resposta e):

En aquestes competències considerem un nivell de no assoliment per aquell alumne que només identifica la informació més bàsica que s’aporta que només li permet trobar la resposta de l’apartat b) 24 forats seguint la sèrie numèric. Opera i calcula però no s’acaba d’adonar de les relacions matemàtiques.
Com veiem aquest alumne respon correctament l’apartat b) a partir d’operar el patró. Es capaç de verbalitzar correctament el patró “cada vegada de li sumen 3 forats al total de forats del cercle anterior”, també troba de manera correcta que en l’apartat b) el que ha fet és “si hem de descobrir el cercle 6 hem de sumar 3 cinc vegades” però després no es capaç de calcular correctament l’apartat c). S’observa que s’oblida dels 9 forats del primer cercle i només fa 3·24 = 72, obtenint una resposta incorrecta.
No és capaç de de donar la resposta correcta en l’aparat a) on també s’equivoca en determinar quina és la quantitat que ha de multiplicar per obtenir el total de forats ((9+3)·8=96, que no és la resposta ni del forats del 8è cercle i del nombre total de forats).

En general, per a un alumne d’assoliment estàndard, els indicadors serien per aquell alumne que elabora esquemes simples que descriuen la situació plantejada però no li permet respondre l’apartat a). Identifica la informació que s’aporta i el que es demana en els diferents apartats (nombre de forats per cercle o nombre total de forats) respecte a la competència 1. I respecte a la competència 5 de raonament i prova, seria un alumne que fa afirmacions matemàtiques utilitzant exemples concrets en l’apartat b). En la banda alta d’aquest assoliment estaria aquell alumne que és capaç de trobar la resposta c) seguint la sèrie, però no és capaç de trobar-lo aplicant el patró a partir del número del cercle (assoliment alt).

En el següent exemple l’alumne respon de manera numèrica i correcta però amb exemples concrets: a c) no és capaç de desprendre’s de posar tota la sèrie fins al cercle 25:   

Un alumne demostraria un nivell d’assoliment alt  respecte a la competència 1 si identifica els aspectes matemàtics implicats en el problema, escull un model adient per descriure’l, en llenguatge matemàtic i, per exemple, en a) visualitzen el patró de creixement i indiquen com trobar el nombre total de forats (molts alumnes el calculen). I per la C5 si empra exemples de forma sistemàtica per continuar l’argumentació,
reconeix de forma intuïtiva el patró i però només sap justificar les respostes numèriques en b) i c) però no el patró en d).
En aquest cas notem que l’alumne sap trobar el patró i a més li permet trobar la resposta de l’apartat a). Troba els resultat de l’apartat b). Però en el cas c) i d) no se s’adona que el nombre de +3 que ha d’afegir és n-1 vegades i, per tant, comet aquest error en les dues respostes.
Les respostes són explicatives però no justifica el procés per això no se n’adona que l’expressió donada no és correcta.

I finalment, un alumne demostraria un nivell d’assoliment molt alt  respecte a la competència 1 si el model escollit utilitza per descriure llenguatge semi algebraic o algebraic tenint en compte el significat de les dades. I respecte a la C5 si usa un raonament inductiu per justificar el patró demanat a a) i tenint en compte el significat de les expressions. Dona la resposta d) a partir de trobar el patró de la successió de nombres o amb una puntuació màxima en el cas de que faci explicita la relació d) i e) a partir del terme general de la successió o expressió equivalent 3n + 6.
En aquest cas l’alumne dona les respostes correctes dels apartats b) i c). Les justifica a partir del patró que “a cada cercle s’afegeixen tres forats”. Troba l’expressió de l’apartat d) i la justifica correctament. Respecte a l’apartat a) expressa en el dibuix el patró de la proposta 5 del solucionari i expressa  a partir d’un raonament inductiu com trobar el total “9 · 8 + 3 · (1+2+...+7)” recordem que no se’ls hi demanava de manera explicita que el calculessin.

Per a la pregunta e) que vam afegir a 2n d’ESO, el nivell d’assoliment molt alt estaria si l’alumne explicita el patró. En el nivell més alt els alumnes han estat capaços de connectar amb el model de la imatge i fins i tot procurar relacionar amb els nombres consecutius (veure solucionari).
En aquest cas hem posat les respostes a) i e) d’aquest alumne. Aquí es veu com l’alumne comença mirant el patró cercle a cercle, però ho ratlla i després completa amb la visió del patró del total de cercles. Marca el patró en la imatge on diferencia tres zones, una nova proposta que no està en el solucionari i ens mostra la riquesa de diferents aproximacions que té aquest patró. En l’apartat e) dona la suma dels termes.

I per últim, tenim el cas d’un alumne de 2n que ja utilitza significativament i amb certa facilitat, tot i que amb un parell d’errades, el llenguatge algebraic:
En aquest cas l’alumen manipula algebraicament l’expressió tot i que hi ha dos errors:
3· 1+2) + 3·(2+2)+ 3·(3+2) + 3 ·(4+2) .... + 3· (n+2) = 3 · (3+4+5+6...+ n + (n+1) + (n+2))
Se n’ha adonat que no tenia 1+2 però no que la seva suma acabava en n+2 i no en n.
Aplicant la fórmula tindria: 3· ((n+2)·(n+3)/2 – 3). Notem que aquí també ha comès l’error de posar el -3 fora del parèntesi. Notem per això que solucionant aquests dos aspectes trobaria la resposta (3n^2 + 15n)/2

Bibliografia

Burgués, C. i Sarramona, J. (2013b). Competències bàsiques de l’àmbit matemàtic Identificació i desplegament a l’ESO. Generalitat de Catalunya Departament d’ensenyament.

Sorando, J.M. (2017). Fotografiar matemáticas. Dins A. Albertí i I. Guevara (eds.), Fotografía matemática (p. 13-40). Badalona: FESPM.

Concurs de fotografia matemàtica ABEAM http://fotografiamatematica.cat/blg