dijous, 21 de novembre de 2019

COMPTAR PUNTS A COP D’ULL

Subitizing o l’estratègia de calcular de cop de manera ràpida


Etiquetes: expressions aritmètiques, matemàtiques visuals, subitizing, patrons, llenguatge algebraic.
Bloc de continguts: Canvi i relacions. Nºs i operacions
Nivells: PRIMÀRIA - ESO


En aquesta entrada comencem amb un REPTE a partir de la següent imatge!


Quants punt hi ha? Calculeu-ho de manera ràpida i, si podeu, sense comptar-los d’un en un.

Un cop realitzat el càlcul ens preguntem com els hem agrupat i fins i tot podem marcar-ho a la imatge i anotar l’expressió aritmètica que acompanyi l’estratègia realitzada.

Però encara podem enriquir més el repte si plantegem: 
Quantes solucions diferents sou capaços de trobar? Poseu-hi creativitat!

Una vegada les hagueu fet, cliqueu al següent enllaç on trobareu una mostra del munt de possibilitats que va treure en @mmart659 en un dia molt inspirat ;)
Aquest és un dels problemes proposats als alumnes de 1r d’ESO de la fase 2 del passat FEM MATEMÀTIQUES 2019 i aquesta entrada vol ser un escalfament per treballar els problemes del concurs FEM MATEMÀTIQUES 2020 que està a punt de començar!
           

COMPTAR PUNTS A COP D’ULL. FM19 fase 2. 1r ESO


Proposem aquest problema perquè:
      es pot treballar en una sola sessió a l’aula
      tots els alumnes hi poden participar 
●  es treballen una gran quantitat de conceptes matemàtics: sentit numèric, expressions aritmètiques amb significat, matemàtiques visuals (https://www.youcubed.org/resource/visual-mathematics/) i  preàlgebra.
      serveix per treballar el sentit numèric ja que es treballa la flexibilitat per poder donar solucions variades, descomposant i combinant additivament i multiplicativament els números, en generar les màximes solucions possibles.

És interessant plantejar-lo tant a primària com secundària perquè, tot i que parteix d’un situació senzilla que permet que tothom participi i fer una bona conversa matemàtica on es justifiqui les opcions triades. També permet un treball col·lectiu molt enriquidor, fins i tot en trobades de formació del professorat (així ho hem comprovat en les XIX JAEM en el taller d’àlgebra que vam presentar).

Hi ha també una treball interessant de les dimensions de comunicació i representació, de raonament i prova en haver de justificar l’estratègia adoptada i en el treball del patró al final de l’exercici i de connexions intramatemàtiques en el treball de relacionar el patró geomètric amb les expressions aritmètiques i algebraiques.

La idea d’aquesta activitat està basada en alguns dels darrers post de twitter de referents dels països anglosaxons. Per exemple: 

                                             How many apples? How did you count?
https://twitter.com/Trianglemancsd (Christopher Danielson on Twitter)
Són activitats que introdueixen el concepte de “subitizing” (la paraula deriva del llatí “subito” que vol dir: de cop) que considera la matemàtica visual com una manera de treballar importantíssima per ampliar la nostra comprensió. Per aprofundir sobre el tema: 
“Seeing As Understanding: The Importance of Visual Mathematics for Our Brain and Learning” de Jo Boaler (2018). (Veient per comprendre: la importància de la Matemàtica visual per al nostre cervell i aprenentatge).També molt interessant llegir l’entrada de Marilyn Burns que porta molts anys treballant i investigant sobre el tema: http://www.marilynburnsmathblog.com/an-oldie-revisited-the-border-problem/
(Veure apartat: Per saber més).

També en Joan Jareño ha treballat en el tema del comptatge a cop d'ull en la seva web Calculus http://www.xtec.cat/~jjareno/calculus/quadrar/activitats/ull/percepcio4.htm fa algunes activitats interactives molt interessants per demostrar-nos que la capacitat humana de captar quantitats a cop d’ull és bastant limitada (al voltant de 5 elements) i que s’incrementa notablement quan aquests elements estan ordenats ja que, llavors podem captar més fàcilment les quantitats i si són més grans les podem agrupar. Es el que s’anomena Subitizing conceptual
Costa saber quina quantitat veiem a cop d'ull si és major de 5 
Web Càlculus de Joan Jareño

Una imatge ordenada dels punts en un dau, dominó o cartes, tal com veieu a la imatge, fa que podem reconèixer ràpidament la quantitat sense haver de comptar un a un:
Font: https://tapintoteenminds.com/math/ 
En aquesta idea de l’ordenació estan basats materials estructurats com el Ten Frame que és un material ideal per treballar el sentit numèric i operacions bàsiques: 
Veure https://www.k-5mathteachingresources.com/ten-frames.html

Sumes amb dos ten frames ( Interactiu)

   O algunes de les animacions fetes per entendre l’estructura multiplicativa dels números













Inclús, podeu fer que els alumnes mateixos construeixin les seves imatges amb diferents materials per passar als companys i complicar-ho una miqueta més en funció del nivell. Mireu un altre exemple tret de la xarxa fet per alumnes:

Respostes dels alumnes al problema de Comptar punts a cop d’ull

Aquestes són algunes de les maneres que els alumnes van resoldre l’apartat a i b del problema a la fase 2 del FM 19:

Alumne 1

Alumne 2
En aquestes dues primeres respostes s’observen dues variacions d’una mateixa idea de l’estructura multiplicativa del 3 x 5 però amb una representació diferent amb interès per treballar de manera pròpia i establir les connexions pertinents.


Resposta tipus 2

Resposta tipus 3

Els 3 tipus de solucions anteriors és el que han fet la major part dels alumnes de 1r d’ESO que van participar.

Quan els estudiants “subiten”, identifiquen una quantitat de punts agrupant parts del tot. Cadascú ho veu d'una manera diferent (visual thinking) pel que es duen a terme els càlculs amb diverses mirades produint expressions numèriques equivalents i representant-les en el dibuix. D'aquesta manera potenciem la representació i les connexions internes entre el càlcul i la geometria.
Les diferents estratègies per abordar el comptatge deriven en diferents expressions aritmètiques i en la comprensió directa del significat de la mateixes ja que són ells que les han pensat així. Per tant, és una expressió absolutament significativa per a ells.

Vegem-ne alguns dels resultats que proposa en Manel Martínez en el fil de twitter que us hem mencionat i on trobareu encara més possibilitats: 
https://twitter.com/mmart659/status/1114958851781140481  

A.    Considerem una diagonal de 3 punts, afegim dos punts verds per obtenir dos triangles T_4 = 10, i traiem els dos punts verds.
3 + 2 x T_4 - 2 = 3 + 2 x 10 - 2 = 21

B.   Afegim 1 punt a cada vèrtex i obtenim un quadrat de 5 x 5. Finalment traiem aquests 4 punts.
            5 x 5 - 4 = 25 - 4 = 21
C.   Considerem dos rectangles de 3 punts i un altre de 3 x 5.
2 x 3 + 3 x 5 = 6 + 15 = 21

D.   Considerem una creu central de 2 x 5 - 1 punts, i ens queden 4 grups de 3 punts.
2 x 5 - 1 + 4 x 3 = 10 - 1 + 12 = 21

E.    Considerem 4 triangles de 4 punts i 5 punts que queden fomant les diagonals.
4 x 4 + 5 = 16 + 5 = 21

Per tot això creiem que és una bona activitat per treballar el llenguatge aritmètic i l'escriptura d'expressions equivalents i que també prepara perfectament el treball amb llenguatge algebraic:

A la pregunta c, volem que generalitzin, començant per alguna posició que puguin dibuixar i per a què seguint el patró poguessin trobar una expressió que permetés trobar el nombre de punts per a una determinada posició. És per això que demanem per les posicions anteriors (1 i 2) per facilitar la cerca del patró i així puguin intuir-lo millor

En aquest exemple si seguiu el seu raonament per fer la figura 4 de la sèrie, es pot traduir fàcilment les seves indicacions al llenguatge algebraic:
1r. “Agafa aquesta fila”: el número de punts de la fila seria n
2n. “Li suma els dos buits que hi ha als laterals”: n + 2
3r. “Tenim 6 punts, fem el quadrat, perquè és com si calculéssim l’àrea i fem costat · costat”:  (n + 2) · (n + 2) = (n + 2)2
4rt. “Restem 4 al total”: (n + 2)2 – 4

I aquest altre alumne, explica la seva obtenció de la fórmula que defineix el patró de la figura ja en un perfecte llenguatge algebraic, obtenint una fórmula equivalent a l’anterior 4n + n2:



Alhora, totes les expressions numèriques equivalents que s’obtenen en visualitzar la figura, seran expressions algebraiques diferents i equivalents ja que cada manera de comptar identifica un patró que et permet continuar una sèrie on la figura donada és, tal com enunciava el problema, el pas 3. D'aquesta manera pots generalitzar i saber com és i quants punts té la figura en la posició n. Amb aquest treball s’acaben obtenint un munt d’expressions algebraiques equivalents.


AMPLIACIÓ

Com ampliació sobre el mateix tema us suggerim que feu el problema de l’assecador on trobareu les preguntes i també la imatge per a que la feu servir amb els vostres  alumnes: Enllaç 




PER SABER-NE MÉS

     “Seeing As Understanding: The Importance of Visual Mathematics for Our Brain and Learning” de Jo Boaler (2018): PDF descarregable https://www.youcubed.org/downloadable/seeing-as-understanding/

     The border problem: http://www.marilynburnsmathblog.com/an-oldie-revisited-the-border-problem/
Solucions possibles al problema "The border problem"


Vídeo the border problem. Marilyn Burns