INTRODUCCIÓ

Propòsit del blog "Banc de recursos del FM" 

Creiem que els problemes del FM poden ser un bon recurs pels professors de matemàtiques que vulguin treballar un tipus d’activitat competencial a les seves aules. De fet, ha sigut una demanda feta pels mateixos professors a l’ABEAM que històricament han demanat les solucions, resolucions, pautes i indicacions per treballar les problemes de l’activitat a les aules més enllà del concurs. A més de la solució, ens ha semblat interessant donar una sèrie d’orientacions relacionades amb el propòsit que pot abordar cada problema, els continguts, conceptes i processos que es juguen en treballar-lo, les competències que es veuen més implicades i propostes d'una avaluació competencial i valoracions del nivells mostrats pels alumnes a partir de respostes enviades en els treballs de la primera i segona fase del concurs. Per la riquesa dels problemes no volem parlar d’una única resolució i per això es mostren respostes diverses extretes dels informes dels alumnes participants al concurs, doncs pensem que així donem una visió de l’ampli ventall de respostes, estratègies i processos que l’alumnat d’aquest nivell pot donar, moltes vegades sorprenents i diferents al que la nostra visió d’adult donaria. Alhora, ens permet veure els diversos nivells de comprensió que mostren aquests alumne. També es proporcionen recursos TIC i materials per abordar el treball a l'aula i propostes d'ampliació que connecten e interrelacionen conceptes i processos matemàtics i que no surten en l'enunciat original dels problemes del concurs.

Història del concurs FEM MATEMÀTIQUES

El FEM Matemàtiques neix el 1995 amb l’objectiu de contribuir a desenvolupar la competència matemàtica en tot l'alumnat que en l’actualitat cursa sisè de Primària i primer cicle de l'ESO. També es va dissenyar per intercanviar experiències i compartir propostes per part del professorat.

Es tracta d'una activitat organitzada anualment per la FEEMCAT amb el suport del Departament d'Ensenyament i s'organitza en forma de concurs. Des del 1998 es desenvolupa en tres fases.

• Una primera fase que es realitza als centres.
• Una segona fase que es realitza de manera independent en cada una de les  associacions que formen part de la FEEMCAT: APMCM, ADEMGI, APaMMs, ABEAM i Lleimat)
• La tercera fase o fase final que s'estructura com una jornada matemàtica amb un component lúdic.

En les darreres edicions participen entre 8000 i 9000 alumnes en la primera fase de l’activitat, uns 2800 amb ABEAM.

Característiques dels problemes de la primera fase del concurs matemàtic FEM MATEMÀTIQUES

Tal com indiquen les orientacions de les Competències Bàsiques d’àmbit matemàtic [1, 2], les activitats problemes del FM s’adapten plenament a les característiques d’activitats riques competencialment parlant: són activitats que s’allarguen en el temps, que permeten reflexionar, prendre decisions i dissenyar estratègies. No es resolen en una sola classe. Proposen reptes i jocs que poden engrescar als alumnes. Afavoreixen l’intercanvi d’idees i la discussió de les propostes.

Són activitats competencialment riques [3] per a què l’alumne pugui demostrar tot el que sap i fer nous aprenentatges. Això vol dir que:

• Treballen més d’un procés o dimensió alhora.
• Amb diverses solucions, ja que poden ser resoltes per diversos mètodes o possibilitats d’atac.
• Demanen el treball en grup on l’alumne dialogui, prengui decisions i apliqui connexions.
• Fomenten l’autonomia i iniciativa de l’alumnat.
• Demanen també un informe que demostri la seva capacitat de comunicar idees amb justificació dels processos emprats i solucions argumentades i comprovades.
• Són problemes contextualitzats amb propostes properes als alumnes i reptes que engresquen fàcilment.
• Una de les característiques més importants és que en cada problema hi ha activitats que poden començar a fer tots els alumnes. A partit d’aquí, hi haurà diferents maneres de resoldre l’activitat en funció de l’estadi de cada alumne, no per això, menys vàlides. Aquesta diversitat de respostes dóna riquesa al problema i mostra estratègies que, de vegades els professors, no podrien ni sospitar.
• Proposen en molts casos la utilització de recursos i materials per manipular que moltes vegades ajuda al pensament diversificat ja que proporciona noves i diferents visions a la del dibuix o del pensament abstracte.
• Per altra banda, promou la representació i l’ús progressiu del llenguatge matemàtic.
• El paper del mestre en aquest tipus de problemes seria el de dinamitzador del procés des de l’abordatge del problema, proposant fer les primeres proves, fins a la guia per mitjà de “bones preguntes” quan els alumnes estiguin bloquejats o estancats en alguna fase i per què puguin mostrar un nivell competencial més ric i tendint a l’excel·lència. És molt important que el mestre transmeti la importància d’una bona comunicació i de l’elaboració d’un informe amb respostes ben justificades i argumentades. I també pogui obrir noves línees d'investigació amb noves preguntes, enllaçant temes o fent possibles generalitzacions.
• Permeten atendre la diversitat de l'alumnat ja que quan portes un problema d'aquests a l'aula tots els alumnes en treuen profit, encara que no tots els alumnes arribin a la solució completa. Per una banda, sempre hi ha apartats que tots els alumnes poden fer i, per una altra, cal destacar la importància de la posada en comú on els alumnes poden mostrar diverses estratègies i respostes a un apartat, i és en l'aprenentatge entre iguals on es donen més pasos en la comprensió i en la incorporació de noves estratègies.
• També insistir en la comprovació de la raonabilitat (que la resposta sigui coherent amb la situació plantejada, que sigui possible encara que sigui aproximada) i correcció de la resposta o respostes en el cas de que es puguin buscar més d’una. És important que el mestre transmeti que el procés és tan important com la solució numèrica.

Cal tenir en compte que en aquests cursos (6è, 1è i 2n d’ESO) hi ha moltes diferències en els nivells de comprensió, expressió verbal, ús de vocabulari i organització de l’espai que dificulta que alguns alumnes, tot i tenir una bona estratègia i arribar bé a la solució, no sàpiguen expressar-la. Aquests problemes són especialment adequats per treballar aquesta competència de comunicació.

Esperem que les fitxes i els exemples mostrats serveixen al professorat per poder enriquir les posades en comú amb propostes més enllà de les trobades pels alumnes d’una determinada aula. Si el professor coneix per endavant una colla de solucions diverses pot preveure millor com fer una posada en comú profitosa en coneixement, no simplement informativa.

Característiques dels problemes de la segona fase del concurs matemàtic FEM MATEMÀTIQUES

Els problemes de la segona fase del FM s’adapten igualment a les característiques d’activitats riques competencialment parlant. La diferència amb els problemes de la primera fase és que són problemes que al concurs es fan de manera individual juntament amb 3 problemes més i en un temps limitat d'una hora i un quart. A més hi participen alumnes que ja han passat el filtre de la primera fase. Proposen igualment reptes que engresquen als alumnes i afavoreixen el seu raonament matemàtic.  
Com a la primera fase, a l'avaluació donem molta importància a la justificació dels processos , el nivell d'estratègies emprades i l'exposició de solucions argumentades, raonables i comprovades. També a la representació i complexitat del llenguatge matemàtic utilitzat. Són activitats competencialment riques [3] per a què l’alumne pugui demostrar tot el que sap.
Al blog treballarem aquells problemes que considerem que han tingut respostes riques i variades per part de l'alumnat, que poden ser pràctics per introduïr, treballar o avaluar conceptes a l'aula, per establir connexions o per la utilització de recursos. Comentarem exemples de respostes d'alumnes per donar més riquesa a la preparació del professor.
I per últim, donarem uns criteris que poden servir per avaluar les competències, dintre que, de vegades, apareixen entrellaçades i es possible que algú hi vegi altres o altres criteris per avaluar.
En definitiva, són activitats competencials més curtes que a l'aula es poden utilitzar com a recurs de treball d'equip, individual,  per introduir temes, relacionar-los i, esencialment, raonar matematicament.

Estructura de les guies d’orientació per al professor

Cada problema seleccionat consta d’una fitxa d’informació per al professor amb els següents apartats:

Nivell 

A cada problema posem el curs on originàriament es va proposar en l'activitat del concurs, però volem ressaltar que és el mestre qui decideix on el proposa. La característica que tenen en comú aquests problemes és que els conceptes bàsics que involucren la majoria són coneguts des de l'inici del cicle superior, però el que es fa més sofisticat en un curs respecte a l'altre és el tipus de processos que poden posar en joc els alumnes. 

Enunciat

Mostra l’enunciat tal com es proposà als alumnes del concurs.

Introducció i per què hem seleccionat aquest problema

Els problemes mostrats no són tots els que s’han fet al llarg de totes les edicions del FM, sinó una selecció en funció de criteris d’interès bé sigui per la proposta del problema com a activitat, per la riquesa de solucions aportades pels alumnes o per la possibilitat que obren de treballar alguns continguts curriculars o estratègies de resolució de problemes o de una competència en concret.

En aquest apartat expliquem per què ens ha cridat l’atenció i què treballa fonamentalment.

També donem dades numèriques de la mostra dels treballs d’on hem tret les respostes dels alumnes. Normalment rondarà sobre els 40 informes que es van presentar a la primera fase del concurs tant d’aquells equips que van ser seleccionats per a la segona fase com els que no.

Bloc de continguts

A cada problema hem posat el bloc de continguts (numeració i càlcul, canvi i relació, espai i forma, mesura, estadística i atzar) que pensem que es treballa més tot i que a vegades s’hi estableixen connexions entre els diferents blocs.

Paraules clau

És un llistat de conceptes o processos que estan en joc en el problema escollit.

Competències implicades

En qualsevol d’aquests problemes podríem dir que es treballen totes o pràcticament totes les competències de les quatre dimensions: resolució de problemes, raonament i prova, connexions i comunicació-representació. Per tant, hem escollit aquelles activitats que per a nosaltres són més significatives, tant per les respostes donades com per les possibilitats de treball dels processos que es posen en lloc. Potser podien ser unes altres o incloure més, però volem donar una mostra amb la seva corresponent valoració i gradació (apartat d’orientació per a l’avaluació) amb exemples de respostes donades amb l’objectiu de posar exemples concrets, sempre fent servir com a guia el document d’Orientacions de la Competència Matemàtica [1, 2], que ajudin al professor en la feina de l’avaluació formativa.

Possibles estratègies de resolució de problemes

Aquí proposem les estratègies que veiem que es poden treballar en fer el problema. Ens hem basat en la proposta del CREAMAT [4], document molt aclaridor sobre les diferents estratègies de resolució de problemes amb exemples concrets i activitats d’aula. Pensem que cal donar als alumnes d’un bagatge suficientment ampli per a què pugui recórrer a ell en enfrontar-se als problemes nous.

És possible que alguns equips en treballin unes i no les altres. D’aquí, la importància de mostrar en posada en comú diverses maneres de procedir entre iguals i que ells puguin adonar-se de la diversitat i efectivitat d’unes i altres, com de la connexió entre elles.

El motiu de la selecció d’algun problema ha sigut alguna vegada mostrar diferents tipus d’estratègies que es poden utilitzar per resoldre el problema com, per exemple, en els casos concrets d’alguns jocs.

Solucions

Mostrem una taula amb la solució numèrica o en forma de possibles explicacions amb línies d’argumentació. És una taula de lectura ràpida. A la última columna indiquem el nivell d’aprofundiment en: fàcil, moderat i difícil que es correspon al nivell de demanda cognitiva de la pregunta per al nivell dels alumnes al que es proposa el problema.

Orientacions per al professor. Respostes dels alumnes

Aquest apartat pretén mostrar al professor un ampli ventall de possibles solucions donades pels equips del concurs a les activitats proposades per a que pugui veure exemples de la diversificació de respostes i estratègies que pot oferir el problema. Són exemples reals extrets dels informes presentats a concurs. S’han escollit les més representatives i majoritàries però també les que no són correctes i algunes més creatives o sorprenents ja que, de vegades, ens sorprenen per la seva visió intuïtiva o visual i són capaços d’establir connexions que nosaltres com a adults ja tenim oblidades o n’estem acostumats a utilitzar unes altres. Alhora, totes les respostes en conjunt intenten donar un visió amplia de com pensen i com aprenen els alumnes d’aquestes edats i dels diferents nivells competencials que es poden mostrar en respondre la mateixa pregunta.

Cal tenir en compte també que les mostres aportades pels informes dels equips del concurs FM en la seva primera fase són productes finals i no sabem quin pensament inicial els ha portat a donar la resposta final argumentada. És possible que hi hagi hagut reflexions i tria entre diverses estratègies i solucions aportades, havent desterrat solucions que podrien ser molt significatives alhora de observar la seva línia de pensament i estratègies inicials.

És important que el professor s’adoni de les possibilitats que es poden obrir depenent de les respostes donades pels alumnes i aprofiti l’oportunitat que es dóna per fer “bones preguntes” que encaminin als alumnes a una expressió més simbòlica i un nivell d’abstracció més elevat cada vegada. Nosaltres hem intentat destacar algunes possibilitats d’ampliació en apartat de recursos amb activitats d’aula i recursos web. Però la primera actuació hauria de ser en directe, per part del propi mestre i a l’aula que amb les seves preguntes o pistes inciti als alumnes a buscar i aprofundir més en la trobada d’una resposta d’un nivell més elevat dintre de la gradació de les competències.

Orientacions per a l’avaluació

Per la valoració de l’activitat, cal tenir en compte que hi hauran diferents nivells de resolució. Per això en aquest apartat, ens hem guiat en la gradació feta per a cada competència en el document d’Orientacions [1, 2] concretant amb exemples de les respostes presentades pels alumnes.

Aquesta valoració pot tenir, en ser un problema que es pot allargar en el temps, un sentit formatiu de perfilar i reconduir les respostes dels alumnes per a què els alumnes puguin arribar, al menys, a un nivell 2 de la competència observada en les activitats.

És important destacar el fet de que els alumnes no “estan” o “són” d’un nivell 1, 2 o 3, sinó que és el que fa l’alumne respecte a aquesta competència concreta, el que “mostra” en aquell moment i activitat que, de vegades, no és tot el que pot mostrar depenent del context o del tipus d’activitat que li proposem.

Com diuen les orientacions de les competències, globalment s’estableixen els criteris d’avaluació atenent a:

. la complexitat del llenguatge emprat

. les eines i estratègies utilitzades

. la complexitat en la justificació del procés

Recursos

Tal com hem explicat abans són possibilitats d’activitats d’aula per a l’ampliació de les activitats proposades que poden permetre connectar amb continguts curriculars i enllaçar-los.

Bibliografia i llocs web

Annexos

Possibles activitats d’ampliació en forma de noves fitxes o activitats. Possible informació teòrica addicional per al professor.

Bibliografia i llocs web

[1] Burgués, C. i Sarramona, J. (2013). Competències bàsiques de l'àmbit matemàtic. Identificació i desplegament a l’educació primària. Generalitat de Catalunya. Departament d'Ensenyament.

URL:http://ensenyament.gencat.cat/web/.content/home/departament/publicacions/colleccions/competencies-basiques/competencies_mates_primaria.pdf

[2] Burgués, C. i Sarramona, J. (2013). Competències bàsiques de l’àmbit matemàtic Identificació i desplegament a l’ESO. Generalitat de Catalunya Departament d’ensenyament.

URL:http://ensenyament.gencat.cat/web/.content/home/departament/publicacions/colleccions/competencies-basiques/competencies_mates_eso.pdf

[3] CESIRE CREAMAT. Preguntes que poden servir d’indicadors del nivell de riquesa competencial d’una activitat. URL:http://srvcnpbs.xtec.cat/creamat/joomla/images/stories/documents/indicadors_competencials.pdf

[4] CREAMAT (2015). Estratègies per a resoldre problemes. Generalitat de Catalunya. Departament d'Ensenyament.

URL: http://srvcnpbs.xtec.cat/creamat/joomla/file/estretegies_per_a_resoldre_problemes.pdf

Imatges utilitzades al blog

Destaquem que hem intentat que la major part de les imatges del blog siguin fotografies seleccionades del concurs de fotografia matemàtica de l’ABEAM. Així volem agraïr a la Clàudia Maravalle i Gil per la seva fotografia de l'any 2011 i que hem fet servir de fons del blog. També hem utilitzat algunes de les fotografies que ens envieu via twitter a l’enllaç del concurs mostrant grups d’alumnes treballant en problemes concrets del FM. Us agraïm sincerament la vostra aportació present i futura en aquest sentit.