EL BELAR DE LES OVELLES. PART II. CONSTRUÏM FIGURES

La importància dels patrons: connexions entre geometria i numeració

Etiquetes: patrons, policubs, transformacions geomètriques, àrea i perímetre, Fibonacci

Bloc de continguts: Relacions i canvi, Numeració i càlcul, Espai i forma

Dimensions: Raonament i prova, Representació i Connexions

Nivell: adaptable des de 6è de primària i tota l’ESO

Continuem amb els patrons i connectem amb la Geometria i les transformacions geomètriques: girs, translacions, simetries. Aquest últim gran tema del bloc de Geometria que moltes vegades no sabem com ensenyar, sobretot, perquè en el seu dia, en ser aprenents, no apareixia al currículum. De fet, ens hem trobat que gran part dels alumnes desconeix el vocabulari propi de les transformacions. Dibuixen o fan fotografies del que fan amb les peces de policubs però no saben que fan. Aquest seria un bon problema per introduir o treballar aquestes idees centrals dins del bloc d’espai i forma.

Amb aquest problema tenim l’oportunitat de connectar d’una manera intuïtiva i experimental amb la primera part del Belar de les ovelles que només era una excusa per treballar el patró o sèrie de Fibonacci necessari per poder resoldre el problema.

Per què hem seleccionat aquest problema?

Com vam explicar a l’entrada anterior, la versió que donem al problema del FM21 ha estat un descobriment a partir d’una imatge d’una de les revistes de l’Associació anglesa de professors de matemàtiques (Association of Teachers of Mathematics) atm.org.uk sobre L’espiral de Fibonominos que, a la seva vegada, es va inspirar en el problema de nrich/6470: Building Gnomons.

Font: Paul Stephenson ATM 

Gnòmons s’entén com a peça que es necessita per completar una figura semblant. En aquest cas gnomons a un quadrat. I utilitzen el terme n-omino on n és un terme de Fibonacci.

En fer l’enunciat, el que preteníem era no haver d’anomenar el nom de Fibonacci perquè no portés l’alumnat directament a l’expressió algebraica del patró i, així també, permetre que haguessin d’investigar la segona part del problema i trobar la magnífica connexió de l’expressió numèrica del patró amb l’expressió geomètrica, feta amb policubs, que ens va inspirar la imatge de la revista de l’ATM.

Com veureu, podíem haver començat a plantejar el problema, des de la imatge de l’Espiral sencera feta amb policubs o bé, a partir de les peces que conformen l’Espiral o Fibonominos (aquest nom no apareix als enunciats per no donar pistes). Al final, ho vam fer de les dues maneres: per als més petits des de la construcció i per els grans des de l’Espiral sencera:

Enunciat

Ampliació de 1r d’ESO

A primer es va ampliar el problema de sisè amb les següents preguntes:

Enllaç als enunciats

Competències més implicades

Aquest és un problema ideal per treballar les 4 competències del bloc de Comunicació i representació:

Competència 9. Representar un concepte o relació matemàtica de diverses maneres i usar el canvi de representació com a estratègia de treball matemàtic.

• Competència 10. Expressar idees matemàtiques amb claredat i precisió i comprendre les dels altres

• Competència 11. Emprar la comunicació i el treball col·laboratiu per compartir i construir

coneixement a partir d’idees matemàtiques

• Competència 12. Seleccionar i usar tecnologies diverses per gestionar i mostrar informació, i visualitzar i estructurar idees o processos matemàtics.

Respecte la 10 volem dir que en un ambient d'aula s'hauria de treballar d'emprar el vocabulari matemàtic precís per descriure els moviments.

I respecte la 12 es podria comentar que l'ús de les noves tecnologies s'hauria de deixar que sorgís del propi alumnat

Orientacions per al docent 

 

Com sempre us recomanem que feu vosaltres els problema abans de proposar-lo a l’alumnat, per adonar-vos de les connexions que podeu establir i que poden sortir, i dels processos matemàtics que entraran en joc.

Partim de la construcció de les peces: Construïm figures

Si es vol enfocar el problema d’aquesta manera, el que és ideal és que els alumnes puguin manipular, fer transformacions (girs, simetries,..), ajuntar i separar peces amb un material com els policubs o multilinks. 

El que és important és que els alumnes cerquin i puguin representar i explicar-ho com fan per a crear la següent figura de la successió de figures de l’enunciat. De fet, el que fan és trobar el patró geomètric de la successió que després es connectarà amb el patró de la sèrie de Fibonacci.

Aquesta seria una de les maneres de construir la figura següent

Ens hem trobat que gran part dels alumnes, no utilitzen el vocabulari adient a les transformacions i, per tant, no poden explicar “com ho fan”. Imaginem que no ho han fet a classe.

En aquest dibuix: QUI ÉS L’INTRÚS?

En l’enunciat dels alumnes de 6è se’ls demana que calculin els perímetres de les diferents figures. En principi només seria això i que expliquin com l’han calculat com un treball de diferenciar el perímetre de l’àrea que es demana després. 

En molts casos hem pogut comprovar que la idea de perímetre, no és una idea tan clara pels nostres alumnes d’aquesta edat com ens podem pensar. Algunes de les seves respostes ho demostren: 

Podria ser que algun trobés un patró com el que després es demana a 1r d’ESO i una possible generalització expressada en llenguatge verbal o semialgebraic. 

I, sobretot, potser, algun alumne podria observar que el perímetre de la figura mossegada és igual al de la figura sense mossegar: 

El perímetre de les figures hexagonals es pot veure que és el mateix que el perímetre del rectàngle que s’obté en completar la “mossegada”

En aquesta imatge podeu veure el raonament dels alumnes respecte al seu descobriment:

Aquesta podria ser una investigació apart, com la que proposa Puntmat: https://puntmat.blogspot.com/2015/01/perimetre-i-area-3.html 

En aquesta activitat s’estimula la competència relativa a les connexions dins de les matemàtiques, en la mida que es relacionen nombres i formes i alhora patrons.

En el cas de 1r d’ESO, abans de calcular el perímetre se’ls demana que investiguin si hi ha algun patró entre les llargades i amplades de les figures. Si recollim les dades en una taula com la següent:

on podrien visualitzar els nombres de Fibonacci. A la solució, podreu trobar la generalització del patró.

En aquesta resposta, podeu veure una bona explicació de la generalització del patró amb exemples numèrics concrets, ajudant-se de la representació dels valors en una taula: 

En aquest cas, els alumnes han trobat una diferència entre el patró de les figures senars i les parells i formalitzen la seva conjectura:

Veure el patró entre la llargada i l’amplada facilita veure que en el càlcul de perímetres es poden establir, també dues generalitzacions en funció de si la figura té una forma o altra (que es diferencien en la posició senar o parell).

En calcular els perímetres de les diferents figures s’obté una taula com la següent:

 

Cal tenir en compte que n és la posició de la sèrie de Fibonacci: on F(1)= 0; F(2)=1; F(3)=1 ; F(4)= 2; F(5)=3….

Així en la posició de la figura 3 (n=3), el seu perímetre correspondrà a 4·F(n+2)= 4· F(5) =4·3= 12

La generalització es troba fora de I’abast dels alumnes de 6è o 1r d’ESO. Seria una demanda a fer en cursos més grans.

Així aquests alumnes, fan una taula amb els càlculs dels perímetres i observen que hi ha un augment del perímetre a mesura que la figura es fa més gran. És interessant l’ús que fan de les taules per descobrir els patrons. Les connexions estan facilitades per l’ús d’una representació pròpiament matemàtica:

“Em trobat que en les 3 primeres figures el seu perímetre és dos números més gran que l’anterior. El mateix passa en les dos següents, però traient 6 a l’altre i en l'últim cas li treu 10”

I s’adonen que alguns perímetres es poden calcular aplicant una fórmula i que equivaldria a calcular el perímetre del rectangle equivalent.

Per últim, al problema de 6è se’ls demana per les àrees de les figures i si podrien trobar l’àrea de la figura 10. En demanar això, el que volíem era que veiessin la relació de la successió de Fibonacci que havien vist en l’activitat anterior del belar de les ovelles i, així, l’àrea de la figura 10 serà la suma de les àrees de les figures 9 i la 8 per tal i com es construeix. Per tant, per trobar l’àrea d’una figura cal sumar les àrees de les dues figures anteriors.

figura	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
àrea	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233

En obtenir les àrees a partir de sumar els valors de les dues figures anteriors, i començant per l’àrea 3 es veu que es troben (tot i que desplaçats) els valors del patró del Belar de les ovelles.

A 1r, se’ls demana també que per què creuen que s’han pintat de color diferent. Ens agrada el raonament d’aquests alumnes en dir què:

I adonant-se de la semblança de les formes entre la figura sencera i la part mossegada.

Aquests altres expressen la relació amb l’activitat del belar de les ovelles una vegada han fet una taula comparativa per poder veure les relacions: 

En aquest cas els alumnes mostren clarament la forma de llegir la taula i establir la connexió per trobar el patró.

Solucions

Enllaç a la solució part II. 6è i 1r ESO

PALETS I QUADRATS

Problema de la 2ª fase del Fem Matemàtiques 2016- 6è i 1r ESO

Etiquetes: Relació perímetre-àrea. Pràctica exhaustiva

Característiques dels problemes de la segona fase del concurs matemàtic FEM MATEMÀTIQUES

Els problemes de la segona fase del FM s’adapten igualment a les característiques d’activitats riques competencialment parlant. La diferència amb els problemes de la primera fase és que són problemes que al concurs es fan de manera individual juntament amb 3 problemes més i en un temps limitat d'una hora i un quart. Hi participen els alumnes que classificats de la primera fase. Proposen igualment reptes que engresquen als alumnes i afavoreixen el seu raonament matemàtic.  
Com a la primera fase, a l'avaluació donem molta importància a la justificació dels processos , el nivell d'estratègies emprades i l'exposició de solucions argumentades, raonables i comprovades. També a la representació i complexitat del llenguatge matemàtic utilitzat. Són activitats competencialment riques [3] per a què l’alumne pugui demostrar tot el que sap.
Al blog treballarem aquells problemes que considerem que han tingut respostes riques i variades per part de l'alumnat, que poden ser pràctics per introduïr, treballar o avaluar conceptes a l'aula, per establir connexions o per la utilització de recursos. Comentarem exemples de respostes d'alumnes per donar més riquesa a la preparació del professor.
I per últim, donarem uns criteris que poden servir per avaluar les competències, tot i que, de vegades, apareixen entrellaçades i es possible que algú hi vegi altres competències implicades o altres criteris per avaluar.

En definitiva, són activitats competencials més curtes que a l'aula es poden utilitzar com a recurs de treball d'equip, individual,  per introduir temes, relacionar-los i, esencialment, raonar matematicament.

Per què hem seleccionat aquest problema?

És un bon problema que ens pot ajudar a treballar i clarificar la relació entre el perímetre i àrea d’una figura poligonal. Inclús de cara al professor per poder discernir i avaluar fins a quin punt estan clars aquests conceptes en els seus alumnes. Alhora, també és una pràctica exhaustiva doncs cal comprovar si hi són totes les possibilitats que poden haver i, per tant, requereix d’una organització i una sistematització en treballar el problema. És un problema típic de múltiples respostes on es demana la solució màxima.

El problema ha de passar necessàriament per una representació més o menys abstracta (amb dibuixos, símbols o lletres) en funció del grau d’abstracció de l’alumne. També es poden utilitzar regletes o palets o tires de plàstic si es vol fer amb material manipulable. En aquest cas es treballaria de manera més explicita la competència 9 de representació.

També veiem un problema que treballa expressament la competència 2. Tal com diu: “la comunicació de les solucions ha de transmetre clarament el resultat en el seu context” i “els continguts més rellevants per el desenvolupament d’aquesta competència estan relacionats amb les operacions aritmètiques, la mesura, les figures geomètriques i les relacions espacials”.

Enunciat:

Teniu en total 24 palets molt prims, 10 estan pintats de color groc i els altres 14 de color blau. Els grocs fan 1 dm de llargada i els blaus fan 3 dm.

Es tracta de construir quadrats delimitats per aquests palets.

a) Quin és el quadrat d’àrea m’és gran que podeu fer? Quants palets de cada color heu fet servir? Expliqueu com heu construït el quadrat.

b) Ara voleu fer dos quadrats que siguin de la mateixa mida i fent servir el màxim nombre de palets possible. Quants palets haureu fet servir en total? Expliqueu com heu construït els quadrats.

Solució:

a) La longitud total dels palets és 10 + 3 . 14= 52 dm. Com que 52 és divisible per 4, anem a veure si es pot construir un quadrat de costat 13 dm. Efectivament, podem construir el quadrat amb tres costats BBBBG i un costat BBGGGGGGG.

b) Com a màxim el perímetre dels dos quadrats és 52:2=26 però, 26 no és divisible per 4. Provem si podem construir dos quadrats de perímetre 24:

- Potser un quadrat amb els costats BB (en total 8 palets) amb un altre quadrat amb 3 costats BB i l’altre costat GGGGGG (total 12 palets) que donarien 20 palets.

- El mateix primer quadrat de tots els costats BB amb un altre amb dos costats BB, un costat BGGG i l’altre GGGGGG (total 14 palets). Aquesta darrera construcció és la que demana l’enunciat.

ENUNCIAT PELS ALUMNES (pdf)

Comentari de les respostes dels alumnes: 

Sobre 48 alumnes, han tingut més de la meitat de la puntuació el 35% i d’aquests un 18% arribarien a la puntuació més alta. Per tant, hi ha un 65% d’alumnes a el concepte de perímetre i la seva relació entre àrees.

La figura 1 mostra una solució correcta i molt completa. Ha utilitzat tots els palets. I li dóna un àrea de 16900 cm² o 169 dm². Ha fet un canvi d’unitats que potser no era necessari però utilitza un croquis amb colors per ajudar-se. La major dificultat que troben els alumnes, i que aquest ha resolt bé, és que els costats del quadrat han de tenir la mateixa longitud però no cal que tinguin la mateixa distribució de palets, tal com fa l’alumne de la fig 2. Aquest darrer, encara que arriba a una solució molt bona, no és el màxim demanat: el quadrat en tenir tots els costats idèntics no arriba a tenir el costat de 13 dm sinó de 11dm i l’àrea de 121dm². Molts alumnes s’han quedat amb aquest pensament de que els costats han de ser absolutament idèntics.

Fig 1

Fig 2

I aquest altre, ho fa amb colors i una llegenda aconseguint també el costat de 11 dm:

Fig 3

En l’apartat b) tenien també la mateixa dificultat doncs per fer servir el màxim nombre de palets als dos quadrats, aquests no poden tenir els costats exactament iguals. La solució la mostra l’alumne de la fig 4 és una de les correctes i és de 22 palets.

Fig 4

Observació: En la figura 4 veiem que l’alumne tot i que dibuixa un quadrat de costat 6 dm, per exemple, dos palets blaus de 3 dm cadascun, calcula com si fossin 9 dm i li dóna una àrea errònia de 81 dm², quan hauria de ser 36 dm^2. 

Aquest alumne (fig 5) en suposar que els costats dels dos quadrats han de ser iguals mostra una solució que no és la màxima com demanava l’enunciat. Li surten 20 palets. Utilitza el números com a representació.

Fig 5

 I la fig.6, l'alumne redueix la resposta a un sol palet per costat i els dos quadrats iguals:

Fig 6

En el següent exemple tenim el cas d’un alumne amb una resposta amb un raonament molt simplificat. En primer lloc cal tenir en compte que la seva resposta a l’apartat a) va ser que l’àrea màxima del quadrat era 81 dm², resposta que utilitza en el seu raonament per l’apartat b). Després fa una estimació de quina podria ser l’àrea dels dos quadrats però no respon a allò que es demana ja que no comprova que aquests dos quadrats es puguin construir amb els palets donats.

Fig 7 

Exemples d’errors conceptuals

A partir de les respostes dels alumnes també us adjuntem exemples d’errors que creiem que poden ser útils alhora de treballar el problema a l’aula:

 Errors entre la figura plana i la 3D formada per quadrats. Error entre els conceptes d’àrea i volum.

Fig 8

Aquest alumne suma les longituds totals dels palets, ho divideix entre 4 per aconseguir costats iguals i agafa aquesta mesura decimal com a costat (abans fa un canvi d’unitats). Ha considerat que els palets es poden trencar.

Fig 9 

·       Per últim veiem el cas d’aquest alumne que a la pregunta a) sobre l’àrea més gran, respon en termes de perímetre:

Fig 10

Avaluació competencial:

Com molts problemes, mai es treballa una sola competència i és difícil dir quina seria la més treballada. Aquí podem observar que el problema treballa la competència 1, en demanar la traducció del problema a una representació matemàtica (aquesta representació indica clarament quin concepte té l’alumne de perímetres i àrees en un quadrat) i emprar conceptes i estratègies matemàtiques per resoldre (també el tempteig és una estratègia). I per últim, veure si abans de donar per finalizat el problema, l’alumne explora l’existència o no de més solucions i si aquestes s’adeqüen a les limitacions que ens imposa el context, en el nostre cas els palets (competència 2).[1]

Per això, nosaltres vam fer una graduació en 3 nivells que serien més o menys:

Nivell 1: Aquells alumnes que mostren una solució satisfactòria amb els conceptes demanats però no investiga altres possibles solucions i utilitza el tempteig com a estratègia preferent. Exemple figura 6.

Nivell 2: Fan un pas més endavant, donen solucions més properes i raonen de manera més exhaustiva i, alguns, verbalitzen l’estratègia explicant el procés seguit, però en el cas concret d’aquest problema no s’adonen que els costats poden ser diferents. Exemple figures 2, 3 i 5.

Nivell 3: Planifiquen la resolució i arriben a la solució amb una bona justificació i representació emprant llenguatge matemàtic. Han explorat tots els casos. Exemple figures 1 i 4.

En aquest problema també podem veure com hi ha alumnes que han assolit diferents nivells segons la competència observada:

Exemple 1: En aquest cas l’alumne ha fet assolit un nivell 2 en la competència 1, ja que verbalitza l’estratègia utilitzada i explica el procés. Fins i tot s’entreveu una planificació en la resolució. Tot i que no representa la situació ni situa les dades en un esquema.

En la competència 2, assoliria en canvi un nivell 1 ja que no demostra que sàpiga que hi pot haver més d’una solució i que cal donar-ne la màxima de totes elles.

Exemple 2: En la competència 1 assoliria un nivell 1 ja que usa el tempteig com a estratègia principal. Tot i que situa les dades en un esquema, no explica cap estratègia ni el procés seguit.

En la competència 2 assoliria un nivell 2 ja que explora més d’una solució (en l’exemple es veu la solució anterior esborrada) i comprova que la solució compleix les condicions de l’enunciat.

---

[1] COMPETÈNCIES BÀSIQUES DE L’ÀMBIT MATEMÀTIC. EDUCACIÓ PRIMÀRIA. http://ensenyament.gencat.cat/web/.content/home/departament/publicacions/colleccions/competencies-basiques/primaria/prim-matematic.pdf