PALETS I QUADRATS

Problema de la 2ª fase del Fem Matemàtiques 2016- 6è i 1r ESO

Etiquetes: Relació perímetre-àrea. Pràctica exhaustiva

Característiques dels problemes de la segona fase del concurs matemàtic FEM MATEMÀTIQUES

Els problemes de la segona fase del FM s’adapten igualment a les característiques d’activitats riques competencialment parlant. La diferència amb els problemes de la primera fase és que són problemes que al concurs es fan de manera individual juntament amb 3 problemes més i en un temps limitat d'una hora i un quart. Hi participen els alumnes que classificats de la primera fase. Proposen igualment reptes que engresquen als alumnes i afavoreixen el seu raonament matemàtic.  
Com a la primera fase, a l'avaluació donem molta importància a la justificació dels processos , el nivell d'estratègies emprades i l'exposició de solucions argumentades, raonables i comprovades. També a la representació i complexitat del llenguatge matemàtic utilitzat. Són activitats competencialment riques [3] per a què l’alumne pugui demostrar tot el que sap.
Al blog treballarem aquells problemes que considerem que han tingut respostes riques i variades per part de l'alumnat, que poden ser pràctics per introduïr, treballar o avaluar conceptes a l'aula, per establir connexions o per la utilització de recursos. Comentarem exemples de respostes d'alumnes per donar més riquesa a la preparació del professor.
I per últim, donarem uns criteris que poden servir per avaluar les competències, tot i que, de vegades, apareixen entrellaçades i es possible que algú hi vegi altres competències implicades o altres criteris per avaluar.

En definitiva, són activitats competencials més curtes que a l'aula es poden utilitzar com a recurs de treball d'equip, individual,  per introduir temes, relacionar-los i, esencialment, raonar matematicament.

Per què hem seleccionat aquest problema?

És un bon problema que ens pot ajudar a treballar i clarificar la relació entre el perímetre i àrea d’una figura poligonal. Inclús de cara al professor per poder discernir i avaluar fins a quin punt estan clars aquests conceptes en els seus alumnes. Alhora, també és una pràctica exhaustiva doncs cal comprovar si hi són totes les possibilitats que poden haver i, per tant, requereix d’una organització i una sistematització en treballar el problema. És un problema típic de múltiples respostes on es demana la solució màxima.

El problema ha de passar necessàriament per una representació més o menys abstracta (amb dibuixos, símbols o lletres) en funció del grau d’abstracció de l’alumne. També es poden utilitzar regletes o palets o tires de plàstic si es vol fer amb material manipulable. En aquest cas es treballaria de manera més explicita la competència 9 de representació.

També veiem un problema que treballa expressament la competència 2. Tal com diu: “la comunicació de les solucions ha de transmetre clarament el resultat en el seu context” i “els continguts més rellevants per el desenvolupament d’aquesta competència estan relacionats amb les operacions aritmètiques, la mesura, les figures geomètriques i les relacions espacials”.

Enunciat:

Teniu en total 24 palets molt prims, 10 estan pintats de color groc i els altres 14 de color blau. Els grocs fan 1 dm de llargada i els blaus fan 3 dm.

Es tracta de construir quadrats delimitats per aquests palets.

a) Quin és el quadrat d’àrea m’és gran que podeu fer? Quants palets de cada color heu fet servir? Expliqueu com heu construït el quadrat.

b) Ara voleu fer dos quadrats que siguin de la mateixa mida i fent servir el màxim nombre de palets possible. Quants palets haureu fet servir en total? Expliqueu com heu construït els quadrats.

Solució:

a) La longitud total dels palets és 10 + 3 . 14= 52 dm. Com que 52 és divisible per 4, anem a veure si es pot construir un quadrat de costat 13 dm. Efectivament, podem construir el quadrat amb tres costats BBBBG i un costat BBGGGGGGG.

b) Com a màxim el perímetre dels dos quadrats és 52:2=26 però, 26 no és divisible per 4. Provem si podem construir dos quadrats de perímetre 24:

- Potser un quadrat amb els costats BB (en total 8 palets) amb un altre quadrat amb 3 costats BB i l’altre costat GGGGGG (total 12 palets) que donarien 20 palets.

- El mateix primer quadrat de tots els costats BB amb un altre amb dos costats BB, un costat BGGG i l’altre GGGGGG (total 14 palets). Aquesta darrera construcció és la que demana l’enunciat.

ENUNCIAT PELS ALUMNES (pdf)

Comentari de les respostes dels alumnes: 

Sobre 48 alumnes, han tingut més de la meitat de la puntuació el 35% i d’aquests un 18% arribarien a la puntuació més alta. Per tant, hi ha un 65% d’alumnes a el concepte de perímetre i la seva relació entre àrees.

La figura 1 mostra una solució correcta i molt completa. Ha utilitzat tots els palets. I li dóna un àrea de 16900 cm² o 169 dm². Ha fet un canvi d’unitats que potser no era necessari però utilitza un croquis amb colors per ajudar-se. La major dificultat que troben els alumnes, i que aquest ha resolt bé, és que els costats del quadrat han de tenir la mateixa longitud però no cal que tinguin la mateixa distribució de palets, tal com fa l’alumne de la fig 2. Aquest darrer, encara que arriba a una solució molt bona, no és el màxim demanat: el quadrat en tenir tots els costats idèntics no arriba a tenir el costat de 13 dm sinó de 11dm i l’àrea de 121dm². Molts alumnes s’han quedat amb aquest pensament de que els costats han de ser absolutament idèntics.

Fig 1

Fig 2

I aquest altre, ho fa amb colors i una llegenda aconseguint també el costat de 11 dm:

Fig 3

En l’apartat b) tenien també la mateixa dificultat doncs per fer servir el màxim nombre de palets als dos quadrats, aquests no poden tenir els costats exactament iguals. La solució la mostra l’alumne de la fig 4 és una de les correctes i és de 22 palets.

Fig 4

Observació: En la figura 4 veiem que l’alumne tot i que dibuixa un quadrat de costat 6 dm, per exemple, dos palets blaus de 3 dm cadascun, calcula com si fossin 9 dm i li dóna una àrea errònia de 81 dm², quan hauria de ser 36 dm^2. 

Aquest alumne (fig 5) en suposar que els costats dels dos quadrats han de ser iguals mostra una solució que no és la màxima com demanava l’enunciat. Li surten 20 palets. Utilitza el números com a representació.

Fig 5

 I la fig.6, l'alumne redueix la resposta a un sol palet per costat i els dos quadrats iguals:

Fig 6

En el següent exemple tenim el cas d’un alumne amb una resposta amb un raonament molt simplificat. En primer lloc cal tenir en compte que la seva resposta a l’apartat a) va ser que l’àrea màxima del quadrat era 81 dm², resposta que utilitza en el seu raonament per l’apartat b). Després fa una estimació de quina podria ser l’àrea dels dos quadrats però no respon a allò que es demana ja que no comprova que aquests dos quadrats es puguin construir amb els palets donats.

Fig 7 

Exemples d’errors conceptuals

A partir de les respostes dels alumnes també us adjuntem exemples d’errors que creiem que poden ser útils alhora de treballar el problema a l’aula:

 Errors entre la figura plana i la 3D formada per quadrats. Error entre els conceptes d’àrea i volum.

Fig 8

Aquest alumne suma les longituds totals dels palets, ho divideix entre 4 per aconseguir costats iguals i agafa aquesta mesura decimal com a costat (abans fa un canvi d’unitats). Ha considerat que els palets es poden trencar.

Fig 9 

·       Per últim veiem el cas d’aquest alumne que a la pregunta a) sobre l’àrea més gran, respon en termes de perímetre:

Fig 10

Avaluació competencial:

Com molts problemes, mai es treballa una sola competència i és difícil dir quina seria la més treballada. Aquí podem observar que el problema treballa la competència 1, en demanar la traducció del problema a una representació matemàtica (aquesta representació indica clarament quin concepte té l’alumne de perímetres i àrees en un quadrat) i emprar conceptes i estratègies matemàtiques per resoldre (també el tempteig és una estratègia). I per últim, veure si abans de donar per finalizat el problema, l’alumne explora l’existència o no de més solucions i si aquestes s’adeqüen a les limitacions que ens imposa el context, en el nostre cas els palets (competència 2).[1]

Per això, nosaltres vam fer una graduació en 3 nivells que serien més o menys:

Nivell 1: Aquells alumnes que mostren una solució satisfactòria amb els conceptes demanats però no investiga altres possibles solucions i utilitza el tempteig com a estratègia preferent. Exemple figura 6.

Nivell 2: Fan un pas més endavant, donen solucions més properes i raonen de manera més exhaustiva i, alguns, verbalitzen l’estratègia explicant el procés seguit, però en el cas concret d’aquest problema no s’adonen que els costats poden ser diferents. Exemple figures 2, 3 i 5.

Nivell 3: Planifiquen la resolució i arriben a la solució amb una bona justificació i representació emprant llenguatge matemàtic. Han explorat tots els casos. Exemple figures 1 i 4.

En aquest problema també podem veure com hi ha alumnes que han assolit diferents nivells segons la competència observada:

Exemple 1: En aquest cas l’alumne ha fet assolit un nivell 2 en la competència 1, ja que verbalitza l’estratègia utilitzada i explica el procés. Fins i tot s’entreveu una planificació en la resolució. Tot i que no representa la situació ni situa les dades en un esquema.

En la competència 2, assoliria en canvi un nivell 1 ja que no demostra que sàpiga que hi pot haver més d’una solució i que cal donar-ne la màxima de totes elles.

Exemple 2: En la competència 1 assoliria un nivell 1 ja que usa el tempteig com a estratègia principal. Tot i que situa les dades en un esquema, no explica cap estratègia ni el procés seguit.

En la competència 2 assoliria un nivell 2 ja que explora més d’una solució (en l’exemple es veu la solució anterior esborrada) i comprova que la solució compleix les condicions de l’enunciat.

---

[1] COMPETÈNCIES BÀSIQUES DE L’ÀMBIT MATEMÀTIC. EDUCACIÓ PRIMÀRIA. http://ensenyament.gencat.cat/web/.content/home/departament/publicacions/colleccions/competencies-basiques/primaria/prim-matematic.pdf

ESTRATÈGIA GUANYADORA

FM14-6è

Paraules clau
Joc matemàtic; Joc d’estratègia; Estratègia guanyadora

Nivell
6è, 1r, 2n ESO

Enunciat 

Ara et toca pensar. Tenim un taulell com aquest:

Per jugar a aquest joc només calen dos jugadors, el taulell i una sola fitxa. L’objectiu del joc és anar de la casella superior esquerra a la meta. Qui hi arribi, guanya.

Comença la partida el jugador 1. Un cop col·locada la fitxa a la casella de sortida, l’ha de moure tantes caselles com vulgui (com a mínim una) en una d’aquestes dues direccions:

- Horitzontal (cap a la dreta)

- Vertical (cap avall)

A continuació, tira el jugador 2. Agafa la fitxa des de la casella en què la deixat el jugador 1 i la mou, seguint les instruccions donades: tantes caselles com vulgui, i en una de les direccions indicades (cap a la dreta o cap avall).

Després de jugar-hi, responeu aquestes preguntes:

a. Quin és el nombre mínim de jugades d’una partida completa? I el màxim?

b. Es pot establir una estratègia que permeti guanyar sempre? Si és així, qui ho pot fer i com?

c. Si canviéssim el tauler per un de 8 x 8 (com els d’escacs), hi hauria alguna estratègia per a poder guanyar sempre? Qui seria ara el jugador que ho podria fer i com?

Introducció

En aquest problema es treballa el joc matemàtic i l’anàlisi d’estratègies guanyadores. Tal com diu Carlos d’Andrea ([1], p.1): “Per guanyar un joc és necessari recórrer a habilitats que tenen molt a veure amb les matemàtiques. S’han d’observar jugades, comptar, deduir, generalitzar resultats, planificar amb això futures jugades, investigar possibles nous mètodes o estratègies”.

Per què hem seleccionat aquest problema?

En molts dels conjunts de problemes del Fem Matemàtiques s’inclou un joc, tant dels clàssics com variants d’aquests. És per això, que volem treballar més a fons les respostes i estratègies utilitzades pels alumnes d’aquest nivell i donar recursos per obrir possibilitats a l’aula en aquest ampli món dels jocs d’estratègia.

Aquest problema permet treballar la cerca d’estratègies guanyadores en un joc senzill i en aparença ingenu però que en el fons pot amagar una situació d’avantatge per a un dels jugadors. No tots els jocs permeten estratègies guanyadores. Alguns es basen en l’atzar i d’altres simplement tenen estratègies per no perdre [1]. Aquest n’és un bon exemple bàsic d’un que sí. I també obre la investigació en canviar una de les condicions com les mesures del tauler de joc per veure si canvien o no, llavors, les  estratègies utilitzades. Les respostes que hem escollit com a exemples són respostes de 40 dels informes presentats pels alumnes en la primera fase del FM14.

Bloc de continguts

Canvis i relacions

Competències treballades ( [2], p.10)

PROBLEMA

COMPETÈNCIES PRIMÀRIA

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
ESTRATEGIA GUANYADORA

Competència 1: Traduir un problema a una representació matemàtica i emprar conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre’l ([2], p.10).

Estratègies treballades ([3]) (CREAMAT proposta 4-des 14: "El joc d'investigar el joc")

Estratègia d’abordatge: començar per fer unes primeres partides per una primera experimentació; Representació: fer dibuixos i esquemes (confecció de taules de posicions guanyadores i perdedores); Deducció; Aplicació d’analogies (amb jocs semblants); Planificar futures jugades; Començar des del final; Generalitzar resultats.

VEURE FITXA COMPLETA

ENUNCIAT PELS ALUMNES