Banc de recursos FM: de maig 2020

Etiquetes: patrons, aritmètica del rellotge o modular, representació, problema ric
Bloc de continguts: relacions i canvi, numeració i càlcul
Nivell: adaptable des de 6è de primària fins tota l’ESO

Aquesta és una bona activitat que combina el dibuix i les matemàtiques creant patrons que segurament no heu vist mai. És una activitat genial per aquesta etapa de confinament, per als més petits (a partir de 3r de primària) fins a l’alumnat de secundària, perquè per començar l’únic coneixement que han de tenir els alumnes són les taules de multiplicar i, després, es pot adaptar segons el que es demani i anar aprofundint a diversos nivells en funció de l’edat.

En principi, no demana més que dibuixar una figura, LOOP (bucle), com el que fa l’avió donant unes instruccions tan simples com gira i avança.

El resultat obtingut és curiós i molt adequat per demanar als més petits que despertin el seu vessant artístic i el decorin al seu gust!

Més enllà del dibuix per decorar, és un problema ric que permet treballar diverses competències i aprofundir en continguts matemàtics potents per si es vol anar més enllà. No cal introduir coneixements nous però si posa a prova les dimensions de raonament i representació per poder esbrinar les respostes a les preguntes. També us deixem la rúbrica per si voleu avaluar i fer un feed-back als vostres alumnes.

Enunciat per 6è i ESO

En Pere ha aconseguit connectar la calculadora a l’avió teledirigit amb sistema de senyals wifi. Encara està experimentant i, de moment ha vist que en algunes operacions l’avió fa giravoltes (en anglès loops) i al cap d’unes quantes voltes torna al punt inicial.
Comença jugant amb la taula del 3 i amb cada valor nou, l’avió gira 90º respecte el camí inicial i avança una certa distància.

(Observació: la taula del 3 no té perquè acabar en el 3x7. Posem punts suspensius per indicar que pot continuar fins que el dibuix del loop que fa l’avió torni al punt inicial)

Observa i fes la taula amb els moviments pel 3 i esbrina com es mou l’avió.

1. Observant la taula que acabes de construir, veus alguna relació entre els números de la taula? Segueixen algun patró́? Explica’l si n’hi ha algun.

2. Completa la taula del loop Completa la taula del loop del 4 i, després, dibuixa el loop. Tingues en compte que no hi pot haver cap línia del loop major de 9 quadrets.

3. Fixeu-vos bé en aquest loop i intenteu acabar-lo:

a. Pots deduir de quina taula és aquest loop i quin serà el patró? Raona el per què.

b. Tancarà el loop? És a dir, en algun moment tornarem al punt d’inici? Si és així, fins on ha d’arribar la taula
per a que tanqui el loop?

4. Investiga els loops dels números de l’1 al 9. Què descobriu? Explica les teves conclusions.

5. Quantes repeticions del patró calen per tancar els loops? Justifica la teva resposta.

6.Quin o quins números de 2 o 3 xifres faran el mateix loop que el loop del 4?

Busca una taula de multiplicar que doni el mateix loop que la del 4. Per què passa això?

7. Raona, sense representar-lo, si el loop de la taula del 27 i del 39 tindran el mateix patró que algún nombre de l’1 al 9.

Enllaç a l'enunciat

Perquè hem seleccionat aquest problema?

Aquesta és una representació visual de les taules de multiplicar força original i que segurament els alumnes no han vist mai. Introdueix als nens al mon dels patrons numèrics i visuals relacionant els patrons numèrics de cada una de les taules amb el dibuix d’un loop (giravolta).

És un problema que es pot plantejar a tots els nivells, per als més petits centrant l’atenció en el dibuix dels loops de les diferents taules (incís per recordar que les taules de multiplicar no s’acaben amb la multiplicació per 10) i decorar els loops i, més endavant, per observar i connectar els patrons numèrics amb els loops dibuixats i les seves característiques geomètriques com les simetries, fins a l’ESO per arribar a connectar amb l’aritmètica modular o del rellotge (que es detalla més endavant).

Aquest problema ajuda al raonament dels motius de perquè es crea un dibuix-figura i no una altra, a identificar els mòduls de repetició amb els bucles que es fan, fins a perquè surten els canvis de direcció o sentit de les figures i, a investigar quan les figures tanquen (és a dir, quan la figura arriba a l’origen) o no i perquè.

Els loops seran, per tant, representacions que expressen idees matemàtiques (competència 9) i les argumentacions del perquè tenen una forma i no altra, de perquè tanquen o no, de quins números donaran la mateixa figura, dels canvis de sentit,.. ens donarà una mostra del nivell d’adquisició de la competència 5 de raonament i prova. També serà, a partir de les diferents representacions i d’anar-les connectant, que establiran les relacions que exposaran en els seus raonaments i on mostraran el nivell d’abstracció dels conceptes que han aconseguit adquirir.

Alumnes de 6è de l'Escola Guinardó

Per una altra banda, tot i que és difícil que els alumnes de primària ho trobin per si mateixos, és interessant estirar el problema per ensenyar que els patrons-solucions que troben tenen una explicació matemàtica en el que s’anomena l’aritmètica del rellotge o modular i que, segurament, encara que ho utilitzen des de ben petits (es diu del rellotge per què és el funcionament modular el usem per anomenar les hores), no és un concepte que coneguem matemàticament en profunditat molts de nosaltres. Aquesta part, tan interessant i rica, l’expliquem més endavant perquè es pugui explotar a l’aula amb l’adequat guiatge del professorat.

La idea del problema, està treta a partir del llibre de Anna Weltman: …ESTE NO ES OTRO LIBRO DE MATEMÁTICAS.

i el que ha fet el grup de Resolució de problemes del FEM MATEMÀTIQUES, és una adaptació-creació diferent per als 3 nivells del concurs. És d’aquests problemes tan rics que permet un munt de preguntes a investigar, el que ha permès que a cada un dels nivells haguem plantejat una investigació diferent. La propera entrada plantejarem el problema de 1r d’ESO que també és força curiós.

Solucions
1.a) Explicació raonada que en fer la taula del 3, els números que descriuen la quantitat a avançar surten del sumar les xifres de la taula del 3 de manera repetida fins a aconseguir un nombre entre l’1 i el 9.
b) Els resultats obtinguts donen una sèrie que es va repetint: 3, 6, 9 /3, 6, 9/ 3, 6, 9,...
Taula del 4:

Taula del 4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48	52
Direcció	D	P	E	B	D	P	E	B	D	P	E	B	D
Avança	4	8	3	7	2	6	1	5	9	4	8	3	7

3. Considerant els nombres d’un xifra, el loop demanat serà el del 8

a. Els números corresponen a la taula del 8 per alguna d’aquestes raons o les dues:
- La taula del 3 comença per 3 i la taula del 4 comença per 4, té sentit que cada taula comenci pel número de la taula (conjectura) perquè resulten de multiplicar el número n per 1 i, per tant, no canvia. La taula del 8 començarà per 8.
- Si fan directament la taula del 8 surt la mateixa seriació que el bucle del dibuix: 8 7 6 5 4 3 2 1 9/ 8 7 6 .... Són els números consecutius en ordre descendent acabant la sèrie en 9.

b1. El loop tancarà en el moment en què cada un dels mòduls de repetició que corresponen al bucle torni al punt inicial que seran 4 vegades.

b2. En el cas del loop del 8, com l’últim nº de la sèrie de valors a avançar és el 9 i correspon al 8·9=72, serà quan el producte doni 4·72=288. Per tant, necessitarem una taula amb 36 columnes.
4. Investigació de les taules de l’1 al 9:
Taula 1: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 mòdul de nºs consecutius ordre creixent
Taula 2: 2 4 6 8 1 3 5 7 9 mòdul de 4 nºs parells cons i 5 senars consec en ordre creixent
Taula 3: 3 6 9 mòdul de 3 nºs múltiples de 3
Taula 4: 4 8 3 7 2 6 1 5 9 mòdul de consecutius alterns en ordre desc
Taula 5: 5 1 6 2 7 3 8 4 9 mòdul de consecutius alterns en ordre ascendent
Taula 6: 6 3 9 mòdul de 3 nºs múltiples de 3
Taula 7: 7 5 3 1 8 6 4 2 9 senars alterns consec descendent i parells alterns cons
Taula 8: 8 7 6 5 4 3 2 1 9 nºs consecutius ordre decreixent
Taula 9: 9

Descobriments que podrien fer:

. Hi ha una seriació que es repeteix si es continua la taula. Aquesta seriació correspon a cada un dels bucles o canvis de direcció.
. La sèrie comença pel número de la taula i acaba en 9.
. La longitud dels loops depèn dels factors en comú del nombre amb el 9
. Els nombres primers amb el 9 tenen bucle de longitud 9 amb tots els nombres de l’1 al 9
. El 3 (factor del 9) té un bucle més reduït i només amb múltiples de 3
. El 9 té un bucle de només un valor, ell mateix.

. Tots els mòduls acaben en 9.

5. Valorar de manera conjunta amb la pregunta 3.

6. Serien aquells números que la suma de les seves xifres de manera iterativa fins a obtenir una sola xifra, doni 4. Exemples:

2 xifres: 13, 22, 31, 40

3 xifres: 103, 112,121,130, 202, 211, 220, 301, 310, 400

Exemples amb suma iterativa: 94, 49, 85, 58, 76, 67

7. El loop de 27 serà igual que el de 9. El loop de 39 serà igual que el de 3. Valorar les respostes de manera conjunta amb la pregunta 6.

Explicació per al professorat

El procés de la suma iterada de les xifres d’un nombre correspon a trobar el residu de la divisió entera entre 9. És per això que com que els nombres provenen de les taules de multiplicar, en el cas dels nombres primers amb el 9 (1,2,4,5,7,8) això no passarà fins al novè valor i, per això, el bucle tindrà longitud 9 (9 valors) i contindrà tots els possibles valors però amb ordenacions relatives diferents. En el cas dels nombres amb factors comuns amb el 9 (3 i el propi 9) això passarà quan trobem el primer múltiple de 9 (en el tercer valor en el cas de 3 i el primer valor en el cas de 9).

Per exemple en el cas de la taula del 4:

Múltiples de 4	4	8	12	16	20
Avança	4	8	3	7	2

Si fem les divisions enteres entre 9, fixeu-vos que els residus coincideixen amb l’avançament de la figura:

4 entre 9: q= 0 i r=4 8 entre 9: q = 0 i r=8 12 entre 9: q= 1 i r=3 16 entre 9: q= 1 i r=7

20 entre 9: q=2 i r=2

Els loops de les xifres que sumen 9 estan relacionats. És a dir, els loops 1-8, 2-7,3-6 i 4-5 estan relacionats.
Els dibuixos dels loops d’aquestes parelles són simètrics.
En la taula de dades també es pot veure aquesta relació ja que tenen són els mateixos números però s’inverteix l’ordre (ascendent – descendent). Això és degut a que 8 és igual a -1 (mod 9) i anàlogament en els altres caos, 7 és -2 (mod 9), ...

Competències més implicades

Competència 9. Comunicació i representació. Usar les diverses representacions dels conceptes i relacions per expressar matemàticament una situació.

Gradació atenent el grau d’abstracció i adequació de la representació a la situació.

La representació en una taula serà la manera de recollir i organitzar dades i informació i poder captar les relacions. A partir del dibuix del loop, donat uns números, els alumnes han d’investigar i raonar sobre els diferents apartats.

Per tant, la competència 9 en el nivell bàsic serà traduir la representació dels números de la taula en un loop correctament i viceversa (preguntes 1, 2 i 3), però a partir d’aquí, el veure què vol dir el mòdul de repetició numèric en el dibuix, el fet de que la figura tanqui o no, els canvis de sentit ja mostrarien un nivell 2 igual que la representació ben feta i sistemàtica de tots els loops de les taules de multiplicar a la investigació de la pregunta 4.

Mostrarien un nivell 3 aquells alumnes que emprin amb solvència les diferents representacions realitzades (taula, representació del loop, residu de la divisió entre 9) per respondre a les preguntes finals relacionant els girs amb la repetició del mòdul, similituds de loops en el cas del 1 i 8, 2 i 7, 3 i 6, 4 i 5 (relacionant el sentit invers en la seriació numèrica i la simetria en la representació) i trobant i expressant la generalització del patró.

Competència 5. Raonament i prova. Argumenta les afirmacions i els processos matemàtics realitzats en contextos propers.

Gradació atenent el grau de complexitat i abstracció de l’argumentació.

En la competència 5, el nivell 1, correspondria a donar les respostes o realitzar afirmacions en casos concrets, per exemple a la pregunta 3b si només fa l’observació que el loop tancarà en el moment que faci 4 repeticions.

El nivell 2, si s’expressen raonaments en les preguntes més senzilles (preguntes 1 i 3) recolzant aquestes argumentacions amb l’ús d’exemples, contraexemples i raons lògiques.

Un nivell 3 correspondria al cas en què a partir dels diversos exemples de representacions (taules, loops), és capaç de copsar els aspectes comuns i generalitzar i treure conclusions matemàtiques de les seves investigacions. Per tant, arriba a pràcticament totes les conclusions de les preguntes 4, 5, 6 i 7 argumentant-les correctament i utilitzant el llenguatge matemàtic adequat. Un nivell d’excel·lència seria si arribés a copsar la relació amb residus de la divisió entre 9 (aritmètica modular).

Rúbrica d’avaluació (Enllaç a la rúbrica)

Criteri d’avaluació	Nivell no assolit	Nivell assoliment Estàndard	Nivell assoliment Alt	Nivell assoliment Molt Alt
Competència 9. Comunicació i representació. Usar les diverses representacions dels conceptes i relacions per expressar matemàticament una situació.
La cerca de les relacions entre les diferents tipus de representacions mostren diversos nivells d’abstracció dels conceptes. Gradació atenent a l’adequació de la representació a la situació i la cerca de relacions entre ambdues representacions (taula i gràfic)	No hi ha cap representació	Traduir correctament la representació dels números de la taula en un loop i viceversa (preguntes 1, 2 i 3).	Representació ben feta i sistemàtica de tots els loops de les taules de multiplicar a la investigació de la pregunta 4. Interpretar què vol dir en el dibuix el mòdul de repetició numèric; el fet de que la figura tanqui o no; els canvis de sentit Té la informació organitzada de manera sistemàtica.	Fa servir amb solvència les diferents representacions realitzades (taula, representació del loop, residu de la divisió entre 9) per respondre a les preguntes finals relacionant els girs amb la repetició del mòdul i trobant i expressant la generalització del patró. Organitza les representacions per poder donar resposta a les qüestions finals. Se n’adona de les relacions 1 i 8, 2 i 7, 3 i 6, 4 i 5. Relaciona el sentit invers en la seriació numèrica i la simetria en la representació
Competència 5. Raonament i prova. Argumentar les afirmacions i els processos matemàtics realitzats en contextos propers.
Donar raons lògiques i matemàtiques per fonamentar les seves conclusions, afirmacions o conjectures. Gradació atenent el grau de complexitat i abstracció de l’argumentació.	No justifica ni argumenta les afirmacions matemàtiques que realitza.	Dóna respostes concretes i breus. Justifica algunes situacions concretes posant exemples.	Raona usant el context. Estableix bones connexions. Expressen raonaments en les preguntes més senzilles (preguntes 1 i 3) recolzant aquestes argumentacions amb l’ús d’exemples,contraexemples i raons lògiques.	A partir dels diversos exemples de representacions (taules, loops), és capaç de copsar els aspectes comuns i generalitzar i treure conclusions matemàtiques de les seves investigacions. Per tant, arriba a pràcticament totes les conclusions de les preguntes 4, 5, 6 i 7, argumentant-les correctament i utilitzant el llenguatge matemàtic adequat. Un nivell d’excel·lència seria arribar a copsar la relació amb els residus de la divisió entre 9.

Relació de la suma de les xifres amb la divisió entre 9.

L’aritmètica modular o l’aritmètica del rellotge.

Una de les relacions curioses que surten d’aquest problema i que és interessant per estirar el problema és que és el procés de suma iterada de les xifres d’un nombre és equivalent a trobar el residu de la divisió entre 9. Només cal notar que amb el procés de la suma iterada de les xifres s’acaba trobant un nombre entre l’1 i el 9 i, en canvi, amb el procés del residu es troben nombres entre 0 i 8. Aquesta equivalència amb el residu de la divisió entera relaciona la situació amb l’aritmètica modular o per al nostre alumnat: l’aritmètica del rellotge.

Perquè la suma iterada és equivalent al residu de la divisió entera entre 9?

Aquesta relació es pot veure de diferents maneres. Per exemple, l’alumnat podria observar que en el cas dels nombres de dues xifres, en el procés de sumar les xifres el que estem fent és “convertir” la xifra de les desenes en una xifra de les unitats. Si ens fixem en el cas del 15 (15= 1·10 + 5) el que fem és 15 -> 1 + 5 = 6 i per tant, en aquest cas l’1 que correspon a un 1·10 el “convertim” en 1 i, per tant, en el resultat de 15 li hem restat 9 unitats per trobar el 6.

Si ho féssim amb el nombre 26= 2·10 + 6, el que faríem és “convertir” el 20 en 2 i per tant, restaríem 18, 2 vegades 9. En sumar 2+6 obtenim 8 (que ens adonem que equival a fer 26-18). Observant la resta de casos, observem que sempre estem restant 9 tantes vegades com la quantitat de desenes. Aquesta idea de quantes vegades li hem de treure 9, es relaciona amb la divisió entera. Així

26 ͢͢͢!__9__
-18 2

Pels nombres de tres xifres, passa el mateix. Si ara sumem 123 = 1·100 + 2·10 + 3 en aquest cas en passar a 1+2+3 = 6 el que hem fet és que el 100 l’hem convertit en 1, per tant, hem restat 99 = 9· 11 i el 20 en 2, restant 18 =2 ·9. Si fem la divisió entera de 123 entre 9, obtenim 123 = 13 · 9 + 6 i per tant, sabem que un cop “eliminats” tots els 9 (en aquest cas 13 = 11 + 2) ens queda un residu de 6, què és el mateix que hem obtingut sumant les xifres.

Treballar amb els residus de la divisió entera per saber quina quantitat ens queda un cop hem eliminat tots els grups de 9, correspon a l’aritmètica modular. Aquest concepte, que amb aquest nom no el trobem en els continguts de primària ni en els de secundària, és un concepte que tots tenim ben proper i que emprem cada dia, ja que l’aritmètica modular l’usem en l’aritmètica del rellotge, tot i que en aquest cas amb el 12 enlloc del 9.

És a dir, cada vegada que diem que les 19 hores són les 7 de la tarda estem fent aquest procés de restar 12 o de trobar el residu de la divisió entre 12. Per tant, és un concepte que en aquesta versió més intuïtiva i propera, tot l’alumnat de primària ha treballat. Cal també fer notar que la matemàtica fonamental que hi ha darrera és la divisió entera que és un altre concepte que sí que es treballa a primària.

Imatge de rellotge a les 19 hores o 7 de la tarda:

Sinó fos així, hauríem de tenir rellotges que marquessin 24 hores!

En el cas del problema dels loops, tenim rellotges de 9 hores i, per tant, pot ser senzill veure que en aquest rellotge, afegir 10 és el mateix que afegir 1 (fent una volta completa i tornant a l’1).

Per alumnat més gran es pot fer notar que, de manera general, totes les potències de 10 tenen residu 1 quan les dividim entre 9 (ja que hem de restar 9·11, 9·111, ...), i aleshores només cal veure que el que fem en sumar les xifres correspon a “convertir” les potències de 10 en uns i per tant, correspon a aplicar l’aritmètica del rellotge.

Donat un nombre el podrem expressar a partir de les seves xifres com:

an·10n + an-1·10n-1 + an-2·10n-2 + ... + a2·102 + a1·101 + a0·100

I per tant, la suma de les seves xifres seria

an·1 + an-1·1 + an-2·1 + ... + a2·1 + a1·1 + a0·1 = an + an-1 + an-2 + ... + a2 + a1 + a0

La matemàtica que hi ha al darrera també és la emprada per la prova del 9 i, per això, ens diu si ens hem equivocat però no ens pot garantir que l’hàgim fet bé. Podeu trobar alguns detalls més al

respecte i alguna recreació matemàtica relacionada a: https://www.icmat.es/divulgacion/revoluciones-matematicas/RM_Cap-2_actividades.pdf

Aprofundim en l’aritmètica modular o l’aritmètica del rellotge del problema.

Les taules de multiplicar les podem veure sobre la recta numèrica de la següent manera:

Taula del 3

Taula del 4

Si ara les mirem amb l’aritmètica del rellotge tenim que:

Taula del 3

Taula del 4

Amb l’aritmètica del rellotge notem que l’alumnat podria també trobar les taules per construir el loop. En el cas de la taula del 4 en el gràfic tenim 4,8,2 i la podríem acabar seguint el procés de comptar salts de 4 en el rellotge.

Observem també que amb l’aritmètica del rellotge és senzill veure que és el mateix fer salts de 4 endavant que fer salts de 5 enrere:

I per tant, la taula del 5 serà la mateixa que la taula del 4 amb l’ordre invers.

Per anar més enllà en l'Aritmètica Modular teniu la proposta de http://splashscuola.altervista.org/geogebra_primaria/quinta19_20/08aritmetica_modulare.shtml amb un programa de geogebra fantàstic i interactiu (la pàgina és pot traduir):