divendres, 15 de maig de 2020

LOOP DE LOOPS (I) Cicle mitjà i superior de primària

Etiquetes: patrons, taules de multiplicar, representació, argumentació, aritmètica del rellotge, problema ric
Bloc de continguts: relacions i canvi,numeració i càlcul
Nivell: adaptable des de 3r de primària fins a 6è.


Aquesta és una bona activitat que combina el dibuix i les matemàtiques creant patrons que segurament no heu vist mai. És una activitat genial per aquesta etapa de confinament perquè per començar l’únic coneixement que han de tenir els alumnes són les taules de multiplicar i, després, es pot adaptar segons el que es demani i anar aprofundint a diversos nivells en funció de l’edat. 
En principi, no demana més que dibuixar una figura, LOOP (bucle), com el que fa l’avió donant unes instruccions tan simples com gira i avança.
El resultat obtingut és curiós i molt adequat per demanar als més petits que despertin el seu vessant artístic i el decorin al seu gust!
Més enllà del dibuix per decorar, és un problema ric que permet treballar diverses competències i aprofundir en continguts matemàtics potents per si es vol anar més enllà. No cal introduir coneixements nous però sí posa a prova les dimensions de raonament i representació per realitzar descobriments.
Per als de 6è d'un nivell avançat, podeu escollir preguntes de la propera entrada dedicada als loops però per 6è i ESO ja que el problema pertany al nivell de 6è de la fase 1 del concurs del Fem Matemàtiques 2020.

Enunciat per primària



Orientacions pel docent 
Us recomanem que feu vosaltres els diversos loops abans que els alumnes, per poder adonar-vos de les connexions que podeu establir i que poden sortir.
Activitat individual: Aquesta activitat la podeu enviar a cada alumne per a que la faci de manera individual, si la feu servir en aquesta etapa de confinament.
Podeu recomanar que uneixin 2 fulls de paper quadriculat, per què necessiten molta superfície per no tenir que esborrar ja que poden començar el loop per una banda però, com no saben on acabarà, pot ser que no calculin bé i els falti paper.
Activitat a l’aula: Si la porteu a l’aula, és una activitat molt rica per treballar les dimensions de representacions i poder fer bones connexions. En aquest cas, us proposem una sèrie d’orientacions i bones preguntes:
Es podria dividir els dibuixos dels loops per grups, de manera que en cada grup es fes, de manera individual, la representació d’una taula de multiplicar. O també d'una altra manera, cada grup s’encarrega de fer tots els loops i es fa l'anàlisi entre els membres del grup.
Sense posar títols als fulls, només amb el dibuix, demanar que els agrupin segons ells pensin que es poden agrupar.
. “De quina manera els podem agrupar?”
Un criteri fàcil per classificar-los seria la identitat, aquells que siguin iguals, que coincidiran amb les taules de multiplicar.
Però si busquen més semblances entre els dibuixos dels loops, podem anar una mica més enllà:
.  “Quines propietats hi veus per dir que són semblants?”
Poden veure característiques dels loops i propietats geomètriques que els ajudaran a fer diferents classificacions (per la forma, per la mesura de les longituds, per la forma dels pètals-loops, pels que tenen un espai en mig, per la simetria..).

La qüestió és que hem de donar peu a que siguin els alumnes que facin les seves connexions, no que les faci el mestre. Que siguin ells que facin les descobertes, però nosaltres hem de tenir clar, abans, tots els conceptes associats que pot tenir l’activitat i que volem que surtin a l’aula. Un bon exercici previ és fer l’activitat en modus alumne i posar etiquetes o paraules clau que seran, en definitiva, aquells conceptes que hauré de buscar que surtin a la conversa matemàtica.

Perquè hem seleccionat aquest problema?
Aquesta és una representació visual de les taules de multiplicar força original i que segurament els alumnes no han vist mai. Introdueix als nens al mon dels patrons numèrics i visuals relacionant els patrons numèrics de cada una de les taules amb el dibuix d’un loop (giravolta).
És un problema que es pot plantejar a tots els nivells, per als més petits centrant l’atenció en el dibuix dels loops de les diferents taules (incís per recordar que les taules de multiplicar no s’acaben amb la multiplicació per 10) i decorar els loops i, més endavant, per observar i connectar els patrons numèrics amb els loops dibuixats i les seves característiques geomètriques com les simetries, inclús per arribar a connectar amb l’aritmètica modular o del rellotge (que es detalla més endavant).


Aquest problema ajuda al raonament dels motius de perquè es crea un dibuix-figura i no una altra, a identificar els mòduls de repetició amb els bucles que es fan, fins a perquè surten els canvis de direcció o sentit de les figures i, a investigar quan les figures tanquen (és a dir, quan la figura arriba a l’origen) o no i perquè.


Els loops seran, per tant, representacions que expressen idees matemàtiques, competència 9, i les argumentacions del perquè tenen una forma i no altra, de perquè tanquen o no, de quins números donaran la mateixa figura, dels canvis de sentit,.. ens donarà una mostra del nivell d’adquisició de la competència 5 de raonament i prova. També serà, a partir de les diferents representacions i d’anar-les connectant, que establiran les relacions que exposaran en els seus raonaments i on mostraran el nivell d’abstracció dels conceptes que han aconseguit adquirir.


     Per una altra banda, pels més grans, podria ser interessant estirar el problema per ensenyar que certes semblances entre els patrons tenen una explicació matemàtica en el que s’anomena l’aritmètica del rellotge o modular i que, segurament, encara que ho utilitzen (es diu del rellotge per què és el funcionament modular el usem per anomenar les hores), no és un concepte que coneguem matemàticament en profunditat molts de nosaltres. Aquesta part, tan interessant i rica, l’expliquem més endavant perquè es pugui explotar a l’aula amb l’adequat guiatge del professorat.


La idea del problema, està treta a partir del llibre de Anna Weltman: …ESTE NO ES OTRO LIBRO DE MATEMÁTICAS.  Un llibre absolutament recomanable per treure idees d'activitats que relacionen dibuixos i patrons amb matemàtiques.


El que ha fet el grup de Resolució de problemes del FEM MATEMÀTIQUES, és una adaptació-creació diferent per als 3 nivells del concurs. És d’aquests problemes tan rics que permet un munt de preguntes a investigar, el que ha permès que a cada un dels nivells haguem plantejat una investigació diferent. En aquest cas, hem fet una adaptació per nivells de primària que alguns professors ja han fet amb els seus alumnes.

Solucions
A nivell de representacions

Descobriments a nivell de representacions:
Els loops de les xifres que sumen 9 estan relacionats. És a dir, els loops 1-8, 2-7, 3-6 i 4-5 estan relacionats:
Els dibuixos dels loops d’aquestes parelles són simètrics.
Els loops tornen a l'origen una vegada es fan 4 repeticions dels mòduls (pètals).
En la taula de dades també es pot veure aquesta relació ja que tenen són els mateixos números però s’inverteix l’ordre (ascendent – descendent).

Taules:
Taula 1: 1 2 3 4 5 6 7 8 9  mòdul de nºs consecutius ordre creixent
Taula 2: 2 4 6 8 1 3 5 7 9  mòdul de 4 nºs parells cons i 5 senars consec en ordre creixent
Taula 3: 3 6 9                    mòdul de 3 nºs múltiples de 3
Taula 4: 4 8 3 7 2 6 1 5 9  mòdul de consecutius alterns en ordre desc
Taula 5: 5 1 6 2 7 3 8 4 9  mòdul de consecutius alterns en ordre ascendent
Taula 6: 6 3 9      mòdul de 3 nºs múltiples de 3
Taula 7: 7 5 3 1 8 6 4 2 9  senars alterns consec descendent i parells alterns cons
Taula 8: 8 7 6 5 4 3 2 1 9   nºs  consecutius ordre decreixent
Taula 9: 9  

Descobriments que podrien fer a nivell numèric:
. Hi ha una seriació que es repeteix si es continua la taula. Aquesta seriació correspon a cada un dels bucles o canvis de direcció.
. La sèrie comença pel número de la taula i acaba en 9. 
. La longitud dels números del mòdul de repetició dels loops, no és la mateixa. En realitat, depèn dels factors en comú del nombre amb el 9.
. Els nombres primers amb el 9 tenen bucle de longitud 9 amb tots els nombres de l’1 al 9
. El 3 (factor del 9) té un bucle més reduït i només amb múltiples de 3
. El 9 té un bucle de només un valor, ell mateix.
. Tots els mòduls acaben en 9.  

 Explicació per al professorat
Aquesta explicació és per als professors, no esperem que sigui per explicar als alumnes, sinó per a que vosaltres entengueu el per què de les descobertes sobre els loops. A més, com veure-ho més endavant, també està connectat amb l'aritmètica del rellotge o modular, que encara que no és un contingut propi del curriculum de primària, si que és propia de l'ús quotidià.

El procés de la suma iterada de les xifres d’un nombre correspon a trobar el residu de la divisió entera entre 9. És per això que com que els nombres provenen de les taules de multiplicar, en el cas dels nombres primers amb el 9 (1, 2, 4, 5, 7, 8) això no passarà fins al novè valor i, per això, el bucle tindrà longitud 9 (9 valors) i contindrà tots els possibles valors, però amb ordenacions relatives diferents. En el cas dels nombres amb factors comuns amb el 9 (3, 6 i el propi 9) això passarà quan trobem el primer múltiple de 9 (en el tercer valor en el cas de 3 i el primer valor en el cas de 9).
Per exemple en el cas de la taula del 4:
Múltiples de 4
4
8
12
16
20
Avança
4
8
3
7
2
Si fem les divisions enteres entre 9, fixeu-vos que els residus coincideixen amb l’avançament de la figura:
  4 entre 9: q= 0 i r=4     8 entre 9: q = 0 i r=8        12 entre 9: q= 1 i r=3     16 entre 9: q= 1 i r=7       
  20 entre 9: q=2 i r=2
Els loops de les xifres que sumen 9 estan relacionats. És a dir, els loops 1-8, 2-7,3-6 i 4-5 estan relacionats ie els dibuixos dels loops d’aquestes parelles són simètrics.
En la taula de dades també es pot veure aquesta relació ja que tenen són els mateixos números però s’inverteix l’ordre (ascendent – descendent). Això és degut a que 8 és igual a -1 (mod 9) i anàlogament en els altres caos, 7 és -2 (mod 9), ...   

Competències més implicades
Competència 9. Comunicació i representació.  Usar les diverses representacions dels conceptes i relacions per expressar matemàticament una situació.
Gradació atenent el grau d’abstracció i adequació de la representació a la situació.
La representació en una taula serà la manera de recollir i organitzar dades i informació i poder captar les relacions. Aquesta taula ens donarà els valors per poder realitzar la representació dels loops. Per tant, taules i loops estan relacionats i els alumnes han d’investigar i raonar sobre els descobriments que facin entre els dibuixos i, entre els dibuixos i els valors de les taules (per aprofundir)
Per tant, la competència 9 en el nivell bàsic serà traduir la representació dels números de la taula en un loop correctament i viceversa (preguntes 1, 2 i 3), però a partir d’aquí, el veure què vol dir el mòdul de repetició numèric en el dibuix, el fet de que la figura tanqui o no, els canvis de sentit ja mostrarien un nivell 2 igual que la representació ben feta i sistemàtica de tots els loops de les taules de multiplicar a la investigació de la pregunta 4.
Mostrarien un nivell 3 aquells alumnes que emprin amb solvència les diferents representacions realitzades (taula, representació del loop) per respondre a preguntes relacionant els girs amb la repetició del mòdul, similituds de loops en el cas del 1 i 8, 2 i 7, 3 i 6, 4 i 5 (relacionant el sentit invers en la seriació numèrica i la simetria en la representació) i expressin d'alguna manera la generalització del patró. 

Competència 5. Raonament i prova.  Argumenta les afirmacions i els processos matemàtics realitzats en contextos propers. 
Gradació atenent el grau de complexitat i abstracció de l’argumentació.
En la competència 5, el nivell 1, correspondria a donar les respostes o realitzar afirmacions en casos concrets.
El nivell 2, si s’expressen raonaments en preguntes més senzilles recolzant aquestes argumentacions amb l’ús d’exemples, contraexemples i raons lògiques.
Un nivell 3 correspondria al cas en què a partir dels diversos exemples de representacions (taules, loops), és capaç de copsar els aspectes comuns i generalitzar i treure conclusions matemàtiques de les seves investigacions. Argumentant-les correctament i utilitzant el llenguatge matemàtic adequat.


Relació de la suma de les xifres amb la divisió entre 9. L’aritmètica modular o l’aritmètica del rellotge.

Una de les relacions curioses que surten d’aquest problema i que és interessant per estirar el problema és que és el procés de suma iterada de les xifres d’un nombre és equivalent a  trobar el residu de la divisió entre 9. Només cal notar que amb el procés de la suma iterada de les xifres s’acaba trobant un nombre entre l’1 i el 9 i, en canvi, amb el procés del residu es troben nombres entre 0 i 8. Aquesta equivalència amb el residu de la divisió entera relaciona la situació amb l’aritmètica modular o per al nostre alumnat: l’aritmètica del rellotge.

Perquè la suma iterada és equivalent al residu de la divisió entera entre 9?
Aquesta relació es pot veure de diferents maneres. Per exemple, es podria observar que en el cas dels nombres de dues xifres, en el procés de sumar les xifres el que estem fent és “convertir” la xifra de les desenes en una xifra de les unitats. Si ens fixem en el cas del 15 (15= 1·10 + 5) el que fem és 15 -> 1 + 5 = 6 i per tant, en aquest cas l’1 que correspon a un 1·10 el “convertim” en 1 i, per tant, en el resultat de 15 li hem restat 9 unitats per trobar el 6. 

Si ho féssim amb el nombre 26= 2·10 + 6, el que faríem és “convertir” el 20 en 2 i per tant, restaríem 18, 2 vegades 9. En sumar 2+6 obtenim 8 (que ens adonem que equival a fer 26-18). Observant la resta de casos, observem que sempre estem restant 9 tantes vegades com la quantitat de desenes. Aquesta idea de quantes vegades li hem de treure 9, es relaciona amb la divisió entera. Així 
           26 !9__
- 18       2
            8

Amb els nombres de tres xifres, passa el mateix. Si ara sumem 123 = 1·100 + 2·10 + 3 en aquest cas en passar a 1+2+3 = 6 el que hem fet és que el 100 l’hem convertit en 1, per tant, hem restat 99 = 9· 11 i el 20 en 2, restant 18 =2 ·9. Si fem la divisió entera de 123 entre 9, obtenim 123 = 13 · 9 + 6 i per tant, sabem que un cop “eliminats” tots els 9 (en aquest cas 13 = 11 + 2) ens queda un residu de 6, què és el mateix que hem obtingut sumant les xifres.

Treballar amb els residus de la divisió entera per saber quina quantitat ens queda un cop hem eliminat tots els grups de 9, correspon a l’aritmètica modular. Aquest concepte, que amb aquest nom no el trobem en els continguts de primària ni en els de secundària, és un concepte que tots tenim ben proper i que emprem cada dia, ja que l’aritmètica modular l’usem en l’aritmètica del rellotge, tot i que en aquest cas amb el 12 enlloc del 9. 
És a dir, cada vegada que diem que les 17 hores són les 7 de la tarda estem fent aquest procés de restar 12 o de trobar el residu de la divisió entre 12. Per tant, és un concepte que en aquesta versió més intuïtiva i propera, tot l’alumnat de primària ha treballat. Cal també fer notar que la matemàtica fonamental que hi ha darrera és la divisió entera que és un altre concepte que sí que es treballa a primària.
Imatge de rellotge a les 19 hores o 7 de la tarda

Sinó fos així, hauríem de tenir rellotges que marquessin 24 hores!

En el cas del problema dels loops, tenim rellotges de 9 hores i, per tant, pot ser senzill veure que en aquest rellotge, afegir 10 és el mateix que afegir 1 (fent una volta completa i tornant a l’1). 
Per alumnat més gran es pot fer notar que, de manera general, totes les potències de 10 tenen residu 1 quan les dividim entre 9 (ja que hem de restar 9·11, 9·111, ...), i aleshores només cal veure que el que fem en sumar les xifres correspon a “convertir” les potències de 10 en uns i per tant, correspon a aplicar l’aritmètica del rellotge.

La matemàtica que hi ha al darrera també és la emprada per la prova del 9 i, per això, ens diu si ens hem equivocat però no ens pot garantir que l’hàgim fet bé. Podeu trobar alguns detalls més al respecte i alguna recreació matemàtica relacionada a: https://www.icmat.es/divulgacion/revoluciones-matematicas/RM_Cap-2_actividades.pdf

Aprofundim en l’aritmètica modular o l’aritmètica del rellotge del problema.

Les taules de multiplicar les podem veure sobre la recta numèrica de la següent manera:

Taula del 3
Taula del 4
Si ara les mirem amb l’aritmètica del rellotge tenim que:
Taula del 3
Taula del 4



Amb l’aritmètica del rellotge notem que l’alumnat podria també trobar les taules per construir el loop. En el cas de la taula del 4 en el gràfic tenim 4, 8, 3 i la podríem acabar seguint el procés de comptar salts de 4 en el rellotge.

Observem també que amb l’aritmètica del rellotge és senzill veure que és el mateix fer salts de 4 endavant que fer salts de 5 enrere:
I per tant, la taula del 5 serà la mateixa que la taula del 4 amb l’ordre invers.

En aquest sentit teniu la proposta de Fer estrelles a partir de les taules busca la cerca dels patrons també a partir dels dibuixos que es donen en unir els punts saltan de 2 en 2, de 3 en 3, … que proposen a Puntmat: http://puntmat.blogspot.com/search/label/Taules%20de%20multiplicar i que, en definitiva, es basa també en l’aritmètica del rellotge.


Aquests alumnes de 2n de primària conversen sobre les descobertes que han fer a partir del dibuix de les estrelles. Fixeu-vos bé, per què fan uns bons raonaments a partir de la seva experiència!





Cap comentari:

Publica un comentari a l'entrada