dimarts, 24 d’abril de 2018

EL FILTRE DE L'ASSECADOR

PROBLEMES DE LA SEGONA FASE DEL FEM MATEMÀTIQUES 18 ABEAM. 1r i 2n ESO


Etiquetespatró visual, modelització, raonament i prova, fotografia matemàtica
Bloc de continguts: Canvis i relacions
Nivells: ESO

Enunciat










































L’equip del Fem Matemàtiques d'ABEAM vam escollir aquesta proposta ja que partia d’una imatge d’un objecte quotidià del que podrien treure un patró matemàtic. Aquesta és una de les competències que s’expressa en la Competència 1 de la dimensió de Resolució de problemes (RP) que es refereix a les primeres fases del procés de RP on el procés de traducció de la situació que el problema proposa (visual, context,..) ha de desembocar en l’obtenció d’un model matemàtic.

Per una altra banda, ens agrada proposar exemples d’ULL MATEMÀTIC. Aquella mirada matemàtica del que ens envolta que es pot contagiar per gaudir de la satisfacció del descobriment de formes, figures i patrons que estan arreu.
Tal com diu Sorando (2017) en la molt recomanable sisena monografia “Fotografia matemàtica” de SUMA: El matemático que mira el mundo con curiosidad y sin prisas ve aquello que es su objeto de estudio: cantidades, figuras, relaciones, pautas...”.
I també en la cerca de patrons es treballen processos de treure pautes (induir), conjecturar i provar, particularitzar i generalitzar, i justificar l’estratègia que permet donar resposta a les preguntes. Tots aquests processos estan recollits a la Competència 5 de la dimensió de Raonament i prova.

Aquest problema va ser proposat a 2n d’ESO i, amb una versió sense el darrer apartat a, 1r d’ESO.

Als alumnes se’ls hi proporcionava un full de respostes amb la imatge en gran (clikeu per tenir la imatge) per tal que poguessin assenyalar el patró demanat.

a) Diverses propostes de patrons (veure solucionari)
b) 24 forats
c) 81 forats
d) 3n + 6 o equivalents (veure propostes en el solucionari)
e) (3n^2 + 15n): 2 o equivalents (veure propostes en el solucionari)



Primer cal realitzar una anàlisis previa i profunda dels processos i connexions que l’alumne haurà de fer en resoldre el problema. A partir d’aquesta anàlisi determinem les competències més implicades (veure apartat “per què hem seleccionat el problema?”). Per últim, fixem els nivells d’assoliment competencials i adaptem els indicadors del document (Burgués i Sarramona, 2013) al problema en concret.


Competències implicades:
En aquest cas les competències que vam considerar més implicades van ser la 1 de la dimensió de Resolució de Problemes i la 5 de Raonament i prova (amb més pes en aquesta darrera).


PROBLEMA
COMPETÈNCIES SECUNDÀRIA

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

ASSECADOR                  











Competència 1: Traduir un problema a llenguatge matemàtic o a una representació matemàtica utilitzant variables, símbols, diagrames i models adequats 
Competència 5: Construir, expressar i contrastar argumentacions per justificar i validar les afirmacions que es fan en matemàtiques.

La rúbrica proposada té una puntuació per a la necessitat de seleccionar els alumnes de la fase 2 que participaran a la fase 3 de l’activitat. Però està feta per a ser instrument d’una avaluació competencial i formativa.

Rúbrica per a 1r ESO
Criteri d’avaluació
Nivell  no assolit
Nivell assoliment
Estàndard
Nivell assoliment
Alt
Nivell assoliment
Molt Alt
Punts
Competència 1. Resolució de problemes. Traduir un problema a llenguatge matemàtic o a una representació matemàtica utilitzant variables, símbols, diagrames i models adequats

Primeres passes en el procés de RP. El procés de traducció ha de desembocar en l’obtenció d’un model matemàtic.


Gradació atenent el resultat de la traducció de l’enunciat a llenguatge matemàtic.
Només identifica la informació que s’aporta més bàsica i el que es demana per l’apartat b).
Elabora textos, dibuixos, esquemes simples  que descriuen la situació que el problema planteja però no li permet acabar de respondre l’apartat a).
Identifica la informació que s’aporta i el que es demana en els diferents apartats.
Identifica els aspectes matemàtics implicats en el problema.
Escull un model adient per descriure, en llenguatge matemàtic i /o a través d’una representació matemàtica, el que el problema planteja.
Indica la resposta a) seguint algun model matemàtic o geomètric basat en la imatge.
El model escollit utilitza per descriure llenguatge semi algebraic o algebraic i representacions matemàtiques que ajuden, faciliten i agilitzen en la comprensió del procés explicat, tenint en compte el significat de les dades.

Competència 5. Raonament i prova.  Construir, expressar i contrastar argumentacions per justificar i validar les afirmacions que es fan en matemàtiques.

A la cerca del patró estan lligats processos de:  treure pautes (induir), conjecturar i provar, particularitzar i generalitzar i justificar l’estratègia que permet donar resposta a les preguntes.


En aquest cas la puntuació és acumulativa per als diferents apartats





Gradació atenent a la complexitat de l’argumentació i la prova.
Opera i calcula. No s’acaba de adonar de les relacions matemàtiques
Fa afirmacions matemàtiques utilitzant exemples concrets per a una millor comprensió.
Usa comprovacions diverses: numèriques, gràfiques,...

Empra generalitzacions/casos particulars en alguns moments del procés.
Empra conjectures per generalitzar-les o rebutjar-les. Empra exemples de forma sistemàtica per continuar l’argumentació. Usa contraexem-ples en el procés de raonament.
Busca, explicita i argumenta els diversos patrons que permeten donar resposta a les preguntes
Construeix argumentacions matemàtiques i les expressa amb precisió. Explica de forma entene-dora i empra recursos diversos per fer-les més entenedores.

Li permet trobar la resposta de l’apartat b) 24 forats [2 punts] seguint la sèrie numèrica.

Reconeix algun patró i justifica correctament l’apartat b) [2 punts]

Troba la resposta de l’apartat c) 81 forats  [0,5punt] seguint la sèrie numèrica
Troba la resposta de l’apartat c) 81 forats  [1punt] i justifica correctament (veure propostes). L’expressa amb llenguatge matemàtic de manera entenedora. [2 punt]
 [ATENCIÓ: En la pregunta a) es demana que expressin com trobar el nombre total de forats però no cal que els calculin.]
Usa un raonament inductiu per justificar el patró de la resposta a). [2 punts] 
Dona la resposta d)  a partir de trobar el patró de la successió de nombres o Explicita la relació d) a partir del terme general de la successió o expressió equivalent 3n + 6 [1 punt]

Puntuació    100 % del total
(0-2] punts
(2 -5] punts
(5-7] punts
(7-10] punts

TOTAL
















































Algunes consideracions respecte la rúbrica
En aquest problema es demana als alumnes dos patrons: el patró del nombre de forats per cercle (preguntes b), c) i d)) i el patró del nombre total de forats per tots els cercles (preguntes a) i e)). Està clar, a més, que aquests dos patrons estan relacionats. El patró del nombre de forats per cercle és una progressió aritmètica i, per tant, en demanar el nombre total de forats estem demanat la suma de termes d’una progressió aritmètica.

En aquest problema hem seguit un esquema diferent, l’ordre dels apartats no correspon directament al nivell de gradació. L’apartat a) no és el més assequible com en d’altres propostes.  Es va decidir començar l’apartat a) preguntant pel nombre total de forats perquè l’alumnat es plantegés aquest repte per si mateix obrint les possibilitats de resposta a propostes com la següent:

PROPOSTA 3 (solucionari)

Si ens fixem en aquestes zones ombrejades, que corresponen a les que estan alineades, permeten dividir l’assecador en 3 parts iguals, per tant només cal comptar una de les parts.


La zona blava 1+1+1+1…. tants com anells ens facin considerar.
La zona no blava 2+3+4+...+ un més que el nombre d’anells que ens facin considerar

Per saber el nº total de  forats en els 8  primer cercles, haurem de fer : 
3 vegades el nº de cercles. 1+ 3·( 2+3+4+...+ un més que el nombre d’anells que ens facin considerar):
3 · [ 8 + ( 2+3+4+5+6+7+8+9)]= 3 ·[8 + 44] = 3 · 52 = 156


En la prova de 1r d’ESO no es demana l’apartat e) i per tant no es demana aprofundir en aquest patró i és per això que l’alumnat d’aquest nivell ha treballat sobretot només el patró del nombre de forats per cercle. A 2n d'ESO, les respostes que han assolit un nivell competencial més alt han trobat els dos patrons, la majoria ha seguit el camí de PA i suma dels termes d’un PA.

La riquesa d’aquest problema recau en les diverses aproximacions (aritmètica, visual, algebraica) que es poden fer als patrons i és per això que creiem que és una molt bona activitat per dur a l’aula on a partir de bones preguntes podem dirigir als alumnes en una ampliació posterior a la visió matemàtica del patró visual. Això donaria peu a intercanviar diverses perspectives i visions i, en modelitzar-les, a diverses expressions matemàtiques i algebraiques que tindrien tot el significat per a ells ja que sortirà de la seva interpretació.

Exemples d’avaluació amb la rúbrica
A diferència d’altres rúbriques, en aquest cas vam considerar els indicadors d’assoliment estaven molt relacionats entre les dues competències i per tant vam considerar una única forquilla de notes.
La major part dels exemples són respostes de alumnes de 1r d'ESO, excepte al final per als exemples de la resposta e):

En aquestes competències considerem un nivell de no assoliment per aquell alumne que només identifica la informació més bàsica que s’aporta que només li permet trobar la resposta de l’apartat b) 24 forats seguint la sèrie numèric. Opera i calcula però no s’acaba d’adonar de les relacions matemàtiques.
Com veiem aquest alumne respon correctament l’apartat b) a partir d’operar el patró. Es capaç de verbalitzar correctament el patró “cada vegada de li sumen 3 forats al total de forats del cercle anterior”, també troba de manera correcta que en l’apartat b) el que ha fet és “si hem de descobrir el cercle 6 hem de sumar 3 cinc vegades” però després no es capaç de calcular correctament l’apartat c). S’observa que s’oblida dels 9 forats del primer cercle i només fa 3·24 = 72, obtenint una resposta incorrecta.
No és capaç de de donar la resposta correcta en l’aparat a) on també s’equivoca en determinar quina és la quantitat que ha de multiplicar per obtenir el total de forats ((9+3)·8=96, que no és la resposta ni del forats del 8è cercle i del nombre total de forats).

En general, per a un alumne d’assoliment estàndard, els indicadors serien per aquell alumne que elabora esquemes simples que descriuen la situació plantejada però no li permet respondre l’apartat a). Identifica la informació que s’aporta i el que es demana en els diferents apartats (nombre de forats per cercle o nombre total de forats) respecte a la competència 1. I respecte a la competència 5 de raonament i prova, seria un alumne que fa afirmacions matemàtiques utilitzant exemples concrets en l’apartat b). En la banda alta d’aquest assoliment estaria aquell alumne que és capaç de trobar la resposta c) seguint la sèrie, però no és capaç de trobar-lo aplicant el patró a partir del número del cercle (assoliment alt).

En el següent exemple l’alumne respon de manera numèrica i correcta però amb exemples concrets: a c) no és capaç de desprendre’s de posar tota la sèrie fins al cercle 25:   

Un alumne demostraria un nivell d’assoliment alt  respecte a la competència 1 si identifica els aspectes matemàtics implicats en el problema, escull un model adient per descriure’l, en llenguatge matemàtic i, per exemple, en a) visualitzen el patró de creixement i indiquen com trobar el nombre total de forats (molts alumnes el calculen). I per la C5 si empra exemples de forma sistemàtica per continuar l’argumentació,
reconeix de forma intuïtiva el patró i però només sap justificar les respostes numèriques en b) i c) però no el patró en d).
En aquest cas notem que l’alumne sap trobar el patró i a més li permet trobar la resposta de l’apartat a). Troba els resultat de l’apartat b). Però en el cas c) i d) no se s’adona que el nombre de +3 que ha d’afegir és n-1 vegades i, per tant, comet aquest error en les dues respostes.
Les respostes són explicatives però no justifica el procés per això no se n’adona que l’expressió donada no és correcta.

I finalment, un alumne demostraria un nivell d’assoliment molt alt  respecte a la competència 1 si el model escollit utilitza per descriure llenguatge semi algebraic o algebraic tenint en compte el significat de les dades. I respecte a la C5 si usa un raonament inductiu per justificar el patró demanat a a) i tenint en compte el significat de les expressions. Dona la resposta d) a partir de trobar el patró de la successió de nombres o amb una puntuació màxima en el cas de que faci explicita la relació d) i e) a partir del terme general de la successió o expressió equivalent 3n + 6.
En aquest cas l’alumne dona les respostes correctes dels apartats b) i c). Les justifica a partir del patró que “a cada cercle s’afegeixen tres forats”. Troba l’expressió de l’apartat d) i la justifica correctament. Respecte a l’apartat a) expressa en el dibuix el patró de la proposta 5 del solucionari i expressa  a partir d’un raonament inductiu com trobar el total “9 · 8 + 3 · (1+2+...+7)” recordem que no se’ls hi demanava de manera explicita que el calculessin.

Per a la pregunta e) que vam afegir a 2n d’ESO, el nivell d’assoliment molt alt estaria si l’alumne explicita el patró. En el nivell més alt els alumnes han estat capaços de connectar amb el model de la imatge i fins i tot procurar relacionar amb els nombres consecutius (veure solucionari).
En aquest cas hem posat les respostes a) i e) d’aquest alumne. Aquí es veu com l’alumne comença mirant el patró cercle a cercle, però ho ratlla i després completa amb la visió del patró del total de cercles. Marca el patró en la imatge on diferencia tres zones, una nova proposta que no està en el solucionari i ens mostra la riquesa de diferents aproximacions que té aquest patró. En l’apartat e) dona la suma dels termes.

I per últim, tenim el cas d’un alumne de 2n que ja utilitza significativament i amb certa facilitat, tot i que amb un parell d’errades, el llenguatge algebraic:
En aquest cas l’alumen manipula algebraicament l’expressió tot i que hi ha dos errors:
3· 1+2) + 3·(2+2)+ 3·(3+2) + 3 ·(4+2) .... + 3· (n+2) = 3 · (3+4+5+6...+ n + (n+1) + (n+2))
Se n’ha adonat que no tenia 1+2 però no que la seva suma acabava en n+2 i no en n.
Aplicant la fórmula tindria: 3· ((n+2)·(n+3)/2 – 3). Notem que aquí també ha comès l’error de posar el -3 fora del parèntesi. Notem per això que solucionant aquests dos aspectes trobaria la resposta (3n^2 + 15n)/2

Bibliografia

Burgués, C. i Sarramona, J. (2013b). Competències bàsiques de l’àmbit matemàtic Identificació i desplegament a l’ESO. Generalitat de Catalunya Departament d’ensenyament.

Sorando, J.M. (2017). Fotografiar matemáticas. Dins A. Albertí i I. Guevara (eds.), Fotografía matemática (p. 13-40). Badalona: FESPM.

Concurs de fotografia matemàtica ABEAM http://fotografiamatematica.cat/blg 



Cap comentari:

Publica un comentari a l'entrada