divendres, 27 d’abril de 2018

AIGG LES 3D! UN PROBLEMA DE GEOMETRIA

EMPAQUETEM CARAMELS


PROBLEMES DE LA SEGONA FASE DEL FEM MATEMÀTIQUES 2018 ABEAM. 1r ESO

Etiquetes: connexions, modelització, 3 dimensions, context proper, divisibilitat, volum, superfície, optimització, argumentació, experimentació.
Bloc de continguts: Espai i forma, Numeració i càlcul
Nivells: ESO

Enunciat (versió editable)



Amb aquest problema es treballa especialment el bloc d’espai i forma en 3D, que és un bloc sobre el que sempre hi ha una demanda de problemes rics i competencials. Generalment, és un bloc que les editorials deixen per a aquest últim trimestre, tot i que en l’actual currículum (Decret 187/2015) hi ha la proposta de fer rotatiu l’ordre d’aparició dels blocs de continguts. En concret, ens anima a començar segon d’ESO amb el bloc d’Espai i forma i permutant o simultaniejant amb el bloc de Mesura. Encara que en aquests moments la geometria de dimensió 3 està recomanada a 2n d’ESO hem considerat que el plantejament del problema era prou proper perquè els alumnes poguessin apropiar-se de la situació plantejada. A més, hem tingut en compte que segons el currículum de primària, en aquesta etapa ja hi ha d’haver un treball de manera bàsica dels conceptes: representació d’un prisma en 3D, càlcul de volums senzills primer de manera directa i després amb fórmula, mesura directa de superfícies i també amb fórmula en aquest cas de rectangles.

A l'aula es pot proposar des de 6è de primària i a 1r i 2n d’ESO com a problema d’investigació experimental amb material. Per què amb material? Doncs perquè creiem que d’aquesta manera es pot treballar el problema d’una manera més significativa i ajudar així a l’alumnat en el treball d’un bloc de continguts en què els resultats són més baixos que en d’altres com hem comprovat en els resultats d’aquesta segona fase del FM i que també s’ha evidenciat en els resultats de les darreres proves de competències bàsiques.

Aquest problema encaixa especialment per treballar la competència 8 de Connexions (identificar les matemàtiques implicades en situacions properes i acadèmiques i cercar situacions que es puguin relacionar amb idees matemàtiques concretes) en un context d’una situació quotidiana com podria ser l’empaquetament en capses de cartró i en dimensions 3D (en la primera fase del concurs van fer una investigació del bloc espai i forma en el pla).
Demana que l’alumne connecti conceptes de volum i les seves dimensions amb  divisors i factorització; el cost de l’empaquetament amb superfície total de la figura i l’opció més barata amb la de menor superfície total i amb la forma més regular i de dimensions més semblants.
També, i com en tots els problemes del Fem Matemàtiques, es demana una argumentació per justificar i validar les afirmacions que fan, és a dir, la competència 5 de raonament i prova  (construir, expressar i contrastar argumentacions per justificar i validar les afirmacions que es fan en matemàtiques).

Després de veure els resultats de les proves, continuem constatant que el bloc d’espai i forma és dels blocs que cal treballar més i potser de manera més manipulativa, directa i experiencial per a que sigui realment significativa per a ells. És possible, que molts dels alumnes hagin treballat la fórmula a·b·c del volum d’un paral·lelepípede a 6è, però sense que ho acabin de transferir, connectar i aplicar a un problema que presenta les dades en un context que el ciutadà corrent ha d’utilitzar de manera molt quotidiana (a les mesures de les maletes que es poden embarcar, armaris, capses, matalassos i mobles per posar uns quants exemples).


És per això, que el proposem com a recurs per l’aula amb material com els policubs i amb paper o cartolina per embolicar. 
Si en feu alguna investigació amb els vostres alumnes i ens voleu passar les fotografies o en feu alguna variació més, encantades de rebre les vostres propostes! Twitter: @CyndiCynti o @matesAbeam

Aquest problema és una adaptació del problema Dandy Candies de Dan Meyer (http://www.101qs.com/3038-dandy-candies). Pel format de la prova vam considerar que no era pràctic passar el vídeo introductori però sí que el recomanem per la versió d’aula. A més, en l’apartat d’ampliació també us proposem suggeriments tant de la versió del Dan Meyer com d’altres (veure apartat corresponent).

Solucions
a) Factoritzem, 24 = 23·4
Trobem totes les maneres d’escriure 24 com a producte de 3 nombres, ja que el volum d’un prisma de base rectangular es calcula multiplicant les seves 3 longituds.
Hi ha 6 capses diferents: {1x1x24, 1x2x12, 1x3x8, 1x4x6, 2x2x6, 2x3x4}

b) Calculem la superfície de paper,
1x1x24 → S=2(24x1+24x1+1x1)=98
1x2x12 → S=2(12x2+12x1+2x1)=76
1x3x8→ S=2(8x3+8x1+3x1)=70
1x4x6 → S=2(4x6+4x1+6x1)=68
2x2x6→ S=2(6x2+6x2+2x2)=56
2x3x4→ S=2(4x3+4x2+3x2)=52
per tant, l’opció més barata seria la de 2x3x4 ja és la que necessita menor superfície per embolicar. La forma de la capsa que s’aproxima més a una forma regular i, per tant, que les seves dimensions són més semblants.

c) 40=23·5
La capsa més semblant a un cub és la que gasta menys paper. Per tant he de buscar una factorització on els 3 nombres siguin el més semblants possibles:
40=2x4x5  S=2(4x2+4x5+2x5)= 2·38= 76

d) 2,3,5,7, … els nombres primers, perquè només admeten una factorització: 1x1x p

Recurs d’aula
Com a recurs d’aula creiem que seria molt bo passar la pel·lícula que proposa el problema original  http://www.101qs.com/3038-dandy-candies i canviar la imatge de les dues capses per aquesta que es refereix a la projecció. D’aquesta manera es pot seguir la proposta original i canviar la pregunta a) per aquesta: Si els bombons que heu vist fossin 24, quines serien les dimensions de les 4 capses?
 

Aleshores la pregunta b) es faria primer referència a aquestes 4 capses i després es podria afegir la pregunta al cas general b2): Seria la manera més barata o potser hi ha alguna altra?

Ampliació:
Seguint la proposta original es pot preguntar per les longituds de les cintes dels empaquetaments i per l’opció més barata.
En la pregunta c) es pot canviar el nombre a preguntar, per exemple, per 80 caramels.
A la versió original hi podreu trobar altres preguntes a partir de la visualització del vídeo.

Competències implicades (Burgués i Sarramona, 2013)

                 
COMPETÈNCIES SECUNDARIA
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Competència 8 de ConnexionsIdentificar les matemàtiques implicades en situacions properes i acadèmiques i cercar situacions que es puguin relacionar amb idees matemàtiques concretes
Competència 5 de Raonament i prova: Construir, expressar i contrastar argumentacions per justificar i validar les afirmacions que es fan en matemàtiques.

Rúbrica d’avaluació:  (versió editable) 
Tal com fem sempre, primer fem una anàlisi prèvia i profunda dels processos i connexions que l’alumne haurà de fer en resoldre el problema i determinem les competències més implicades (veure apartat “per què hem seleccionat el problema?”). Per últim, fixem els nivells d’assoliment competencial i adaptem els indicadors del document (Burgués i Sarramona,2013) al problema en concret.
La rúbrica proposada té una puntuació per a la necessitat de l’avaluació de la fase 2 de seleccionar els alumnes que haurien de passar a la fase 3 del concurs. Però està feta per a ser instrument d’una avaluació competencial i formativa.

Avaluació competencial. Exemples
Respecte la competència 8, per a un alumne d’assoliment estàndard, els indicadors assenyalaríem un tipus d’alumne que detecta alguns conceptes però no reconeix l’estructura matemàtica implicada, només reconeix algunes de les relacions més evidents però no les expressa formalment, connecta en l’apartat a) la idea de la quantitat de caramels amb el volum i expressa de manera aritmètica les diverses dimensions que poden tenir les capses a partir de la factorització i les diverses combinacions que existeixen de 3 factors que donin 24 (pot deixar-se alguna). Això respecte a la competència 8. I respecte a la competència 5 de raonament i prova, seria un alumne que fa afirmacions matemàtiques utilitzant exemples concrets.
En aquest cas observem que respecte la competència 8 tindria un nivell estàndard on ha sabut donar les sis capses que compleixen l’enunciat. Però tindria un nivell no assolit respecte la competència 5 ja que no argumenta la seva resposta.



  
Respecte la competència 8, aquest alumne té un nivell estàndard: troba només 5 de les 6 possibles capses, però en b) es veu que no connecta correctament el fet de tenir diferents dimensions amb tenir diferents superfícies i, per tant, diferent quantitat de cartró: “serien igual de barates ja que estan fetes per 24 caramels.. necessitarien el mateix cartró però de diferentes formes” i justifica: “si multipliques en totes la base x alçada x profunditat dona 24 cm3”.
En canvi respecte la competència 5 la resposta és més completa, connecta la quantitat de caramels amb el concepte de volum, relaciona la factorització amb el volum a aconseguir.  Fins i tot té alguns elements del nivell alt ja que és capaç de donar la resposta d) i justificar-la.


Un alumne demostraria un nivell d’assoliment alt  respecte a la competència 8 si reconeix l’estructura matemàtica implicada però no és del tot eficient. Pot respondre a l’apartat b) relacionant l’opció més barata amb la que té la menor superfície total. Per això, cerca la superfície total d’alguna capsa o totes de manera més sistemàtica.
Per a la competència 5, per exemple en les respostes a i b: argumenta emprant generalitzacions/casos particulars en alguns moments del procés, i, respon correctament a d) argumentant que els nombres primers no admeten més que una factorització. Recordem que no s’han de complir tots i que, en el cas d’una avaluació qualificadora, hem posat una forquilla per poder matisar més la nota.
 
El cas d’aquest alumne seria per a nosaltres d’un nivell alt en la competència 8 i també nivell alt però en la forquilla baixa en quant l’argumentació, doncs reconeix les estructures matemàtiques implicades però en el cas a i b no les argumenta i, en canvi, si argumenta molt bé en c i d.


I finalment, un alumne demostraria un nivell d’assoliment molt alt  respecte a la competència 8 si reconeix l’estructura matemàtica implicada i en fa ús per analitzar la situació. Per exemple, a més de tots els indicadors respon a c), relacionant l’opció més barata amb la de menor superfície total i a la forma més regular i per tant, de dimensions més semblants i troba que la millor opció és 2x3x4 amb 76 uq. I per a la competència 5, si construeix argumentacions matemàtiques i les expressa amb precisió i de manera clara i entenedora, i utilitza amb facilitat el llenguatge matemàtic (taules, expressions algebraiques,..) per a la seva argumentació.
Aquí l’alumne reconeix l’estructura de la divisibilitat i factorització que en donarà totes les possibles dimensions de les capses que donen 24 i ho argumenta recolzant-se en els conceptes i procediments matemàtics.


El mateix alumne respon a la pregunta b), posant exemples i contraexemples que reafirmen la seva conjectura. A més, treu una conclusió molt bona, la capsa amb les dimensions amb nombres més semblants serà la més barata i ho relaciona amb aquella que la suma de les seves dimensions sigui la més petita.


Per últim, també volem fer un recull de diverses respostes que hem trobat. En primer lloc volem mencionar una aproximació a partir del 2D que s’ha repetit força. Per exemple, en aquest cas fixa una de les dimensions a 1 i, per tant, només troba 4 de les 6 possibles capses.

I aquest exemple, molt comú, que mostra la confusió entre 2D i 3D:


També volem mencionar la tasca que comporta que els alumnes argumentin les seves respostes. Mostrem la resposta del següent alumne on hi ha molt poca argumentació.

Finalment,  volem mostrar un darrer exemple de les dificultats que tenen els alumnes per donar resposta a l’apartat b) sobre la capsa que necessitaria menys cartró per fabricar-la. En aquest cas trobem una curiosa argumentació en b), és intuïtiva  (com el que respondrien els nens més petits) ja que li sembla que la més allargada és més primeta i no necessita tant de cartró:


Bibliografia

Aubanell, A. (2015). Orientacions pràctiques per a la millora de la geometria. QUADERNS D’AVALUACIÓ 31. Generalitat de Catalunya Departament d’ensenyament.

Burgués, C. i Sarramona, J. (2013). Competències bàsiques de l’àmbit matemàtic Identificació i desplegament a l’ESO. Generalitat de Catalunya Departament d’ensenyament.

Decret 187/2015, de 25 d’agost, d'ordenació dels ensenyaments de l'educació secundària obligatòria, DOGC 6945 (2015).


Cap comentari:

Publica un comentari a l'entrada