dijous, 5 de juliol de 2018

Ampliació EMPAQUETEM CARAMELS feat Jordi Font

PROPOSTA D'INVESTIGACIÓ AMB GEOGEBRA



Etiquetes: Geogebra, algorisme, competència 12, competència 4, generar problemes, divisibilidad 3 dimensions.
Bloc de continguts: Espai i forma, Numeració i càlcul
Nivells: ESO (2n, 3r, 4t) i BATX

En @jfontgon ens ha fet arribar una ampliació de l’última entrada del problema de la segona fase del Fem Matemàtiques 18 d’ABEAM:
“EMPAQUETEM CARAMELS” https://bancfm.blogspot.com/2018/04/aigg-les-3d-un-problema-de-geometria.html  basat en el problema “Dandy candies” de Dan Meyer.

                                                                    
Ha creat un programa de GeoGebra que permet plantejar a l’alumnat una investigació més enllà de la proposta del problema de la segona fase:  https://www.geogebra.org/m/rJ2xtCrV

Si us en recordeu, en el nostre problema preguntàvem per:
·       Les possibles dimensions de les capses si han de tenir 24 caramels.
·       Quina sortiria més barata (a nivell de cartró per empaquetar).
·       Les característiques que hauria de tenir aquesta capsa, en tal cas (per tant, cerquem un patró d’optimització).
·       Aplicant aquestes característiques, transferir la conclusió a una capsa amb més caramels: 40
·       El nombre de caramels que només necessiten un sol tipus de capsa.

Enunciat del problema del concurs Fem Matemàtiques fase 2 ABEAM


Observant el programa de GeoGebra d’en Jordi, trobem tres finestres on es mostren diferents aspectes del problema. En la finestra de l’esquerra es pot introduir el nombre de Candies (caramels). Desplaçant el punt lliscant de la part superior es van mostrant les diferents possibilitats. En el cas d’11 caramels es mostren les tres possibilitats que hi ha {1,1,11}, {1,11,1} i {11,1,1}. Per cada una de les possibilitats ens indica l’àrea de la capsa i la longitud de la cinta que necessitaríem per empaquetar-la (segons la manera indicada en el problema). Per visualitzar el problema, en la finestra central es van mostrant les capses generades amb la cinta que l’empaquetaria. Clicant el botó “Genera taula” de la finestra de l’esquerra es mostren tots els resultats en el full de càlcul que es troba a la finestra de la dreta. Per cada possibilitat s’hi indica l’àrea de la capsa i la longitud de la cinta utilitzada.


Observem que per la manera de posar la cinta, capses amb les mateixes mides tenen longituds de cintes diferents.

Cal tenir en compte que a diferència del problema del concurs (en què es consideraven la mateixa capsa si tenien les 3 mides iguals), en aquest cas es contemplen totes les possibilitats numèriques del problema (i, per tant, es diferencia per longitud x amplada x alçada). Així, en el cas de 24 caramels surten 30 casos enlloc dels 6 que és la resposta en la versió del problema del concurs.




Notem que és una situació molt rica que ens permet potenciar la competència 4 en ESO: Generar preguntes de caire matemàtic i generar problemes:

"Per ajudar als alumnes a decidir sobre els aspectes matematitzables d’una situació, aquells que poden ser objecte de la seva curiositat i investigació, podem fer servir les següents preguntes:
  • Es pot representar aquesta situació? Es pot esquematitzar?
  •  Recorda a alguna situació tractada amb anterioritat?
  • Hi ha algun aspecte mesurable o quantificable?
  • Hi ha alguna cosa que es pugui classificar? Té interès aquesta classificació?
  • Què succeeix si modifiquem un element? Com canvien els altres?
  • Hi ha algun tipus de funció que expliqui què està passant? Pot fer-se una gràfica d’aquesta funció?
  • Es pot predir què passarà? (Burgués i Sarramona, 2013, p. 22)"
"Recordem que un cop l’alumnat hagi plantejat preguntes entorn de la situació mostrada, també caldrà fer-lo reflexionar. Aquesta reflexió també pot ser guiada amb preguntes com:
  • Com connecta aquesta pregunta amb el problema de partida?
  •  Com començaria una possible via de resolució?
  • S’han d’anar a buscar dades complementàries?
  •  Hi ha restriccions en les condicions?
  • La informació que s’obtindrà és rellevant? És interessant?"

Tal com es recomana en el document, és recomanable que siguin ells els generadors de preguntes per tal que s’acostumin a plantejar-se qüestions, i, cal deixar el temps necessari a la programació d’aula per a que hi surtin aquestes qüestions riques que posen el pes de la construcció del coneixement en l’alumnat.

    “El treball en grup, ja sigui petit o gran, és essencial per desenvolupar aquesta competènciaLa diversitat de punts de vista sobre una situació, compartits i debatuts amb criteris matemàtics, pot impulsar molt més la reflexió sobre els aspectes interessants i matematitzables d’una situació que no pas les pistes que pugui anar deixant el professor/a”


Sempre tenint en compte el que hem comentat en el parràgraf anterior, i com a guía pel docent, us passem alguns dels suggeriments d’en Jordi Font i nostres per investigar, ja que el problema plantejat per en Dan Meyer ens porta a poder plantejar una investigació d’ampli recorregut:

“El problema no és gens trivial. Primer, caldria determinar amb els alumnes què vol dir "casos diferents". A partir d'aquí...”  Intentem cercar un patró. Missió impossible! Per tant...

·        Què passa amb un nombre primer de caramels?
·        Quants casos hi ha amb pn caramels (on p és un nombre primer)?
·        Quants casos hi ha si el nombre de caramels fos un producte de nombres primers com 6 o 15? (tipus p1. m1).
·        Quines característiques tenen les capses en què es gasta menys cinta?
·        Amb un nombre n de cubs, quina és la millor configuració? Per què? (ho podem lligar amb les bombolles de sabó de l'Anton Aubanell).


Els alumnes poden començar a investigar el nombre de casos (en aquest cas diferenciant segons les mides) segons les característiques del nombre de caramels.
Una primera aproximació podria ser estudiar si el nombre de caramels és un nombre primer i veure que, aleshores, sortirien 3 casos. En aquest cas, si n=11, serien les combinacions:
1 · 1 · 11
1 · 11 · 1
11 · 1 · 1

A la pregunta: Quants casos hi ha amb pn caramels (on p és un nombre primer)? estaria bé incitar als alumnes a fer una investigació sistemàtica a la cerca d’una estratègia per trobar tots els casos possibles.

En aquest problema també es pot treballar propietats de la divisibilitat com els que requadrem a continuació: [Aquests resultats també poden ser treballats en l’entrada L’alçada de la torre: https://bancfm.blogspot.com/2015/05/lalcada-de-la-torre.html  ]

Donada la descomposició factorial d’un nombre en nombres primers:
n= p1n1 p2n2...... pk nk
Aleshores, el nombre de divisors de n és d(n)= (n1+1) · (n2 + 1) · ... · (nk+1). 
És a dir, el producte resultant de sumar 1 a cada exponent de la descomposició factorial del nombre en nombres primers. 
Si recollim els resultats dels nombre n= pn en una taula, obtenim:

Número
Exemple
Nº de divisors
Nº de casos
p1
2
2
3
p2
22
3
6
p3
23
4
10
p4
24
5
15
p5
25
6
21
p6
26
7
28
pn
2n
n+1
(n+1)·(n+2)/2


En segon lloc es podria estudiar els casos en què hi ha dos nombres primers. Comencem pel cas de dos nombres primers amb exponent 1. Si fem el cas del n = 6 = 2 ·3 , el nº de divisors serà 4: {1,2,3,6}. Ara hem d’estudiar les ternes (a,b,c) el producte de les quals dona 6:
a · b · c = 6

Així tenim la combinació de 2 productes de 3 factors que donen 6: (1,1,3) i (1,2,3)
·       1·1·6  que dóna 3 casos possibles (2 nombres iguals i 1 diferent)
·       1·2·3  que dóna 6 casos possibles (3 nombres diferents)

Podem guiar als alumnes per a que facin un diagrama en arbre per veure les possibilitats:
Quan els 3 factors són diferents, serien 6 possibilitats

Per tant, en fer l’empaquetament de 6 caramels, donaria 9 casos possibles.

Si fem una taula en la qual hi hagi els nombres tipus p1n. p2m:
Observem que tots els nombres són múltiples de 9. Però costa trobar un patró més enllà.

A partir d’aquests estudis poden descobrir una estratègia per calcular tots els casos possibles. Aquí, per exemple, mostrem l’estratègia emprada per a realitzar el GeoGebra que il·lustra aquesta ampliació. Observem, per tant, que aquesta estratègia és un algorisme que es pot fer sempre i que, a més, podem fer que realitzi un programa, en aquest cas, el GeoGebra.

ESTRATÈGIA.
Donat el nombre n, el que fem és el següent.
  •  Buscar els divisors del nombre: n= p1n1 p2n2...... pk nk 
  • Calcular el nombre de divisors: (n1+1) · (n2 + 1) · ... · (nk+1)
  • Repetir aquest procediment per cada un dels divisors. És a dir, per cada divisor del nombre, calcular els seus divisors i el nombre de divisors
  • Per cada divisor, estudiar com a segon factor els divisors del nombre entre ell.
  • Anar completant les ternes perquè el producte sigui n.
Exemple:
n=12, D(12)={1,2,3,4,6,12} i card(D(12))= 6

Aleshores per cada divisor fem:

Divisor
Divisors del divisor
Nombre de divisors del divisor
1
{1}
1
2
{1,2}
2
3
{1,3}
2
4
{1,2,4}
3
6
{1,2,3,6}
4
12
{1,2,3,4,6,12}
6

I ara calculem les ternes que donen producte 12, per exemple amb un diagrama en arbre o una taula

Primer factor
Segon factor
(divisors de n/primer factor)
Tercer factor
1
1
12
2
6
3
4
4
3
6
2
12
1
2
1
6
2
3
3
2
6
1
3
1
4
2
2
4
3
4
1
3
3
1
6
1
2
2
1
12
1
1

D’aquesta manera trobem totes les ternes que buscàvem. Ara podem també calcular l’àrea de cada capsa i la longitud de la cinta que necessitaria.

Les dues últimes preguntes estan més o menys comentades a l’entrada del problema del concurs.

Finalment, us deixem un enllaç amb l’activitat sobre el concepte d’optimització i les bombolles de sabó de l’Anton Aubanell: http://www.xtec.cat/~aaubanel/Fitxes/F77.pdf



Cap comentari:

Publica un comentari a l'entrada