Etiquetes: Geogebra, algorisme, competència 12, competència 4, generar problemes, divisibilidad 3 dimensions.
Bloc de continguts: Espai i forma, Numeració i càlcul
Nivells: ESO (2n, 3r, 4t) i BATX
En @jfontgon ens ha fet arribar una
ampliació de l’última entrada del problema de la segona fase del Fem
Matemàtiques 18 d’ABEAM:
“EMPAQUETEM
CARAMELS” https://bancfm.blogspot.com/2018/04/aigg-les-3d-un-problema-de-geometria.html
basat en el problema “Dandy candies” de
Dan Meyer.
Ha creat un programa de GeoGebra que permet plantejar a l’alumnat una investigació més enllà de la
proposta del problema de la segona fase: https://www.geogebra.org/m/rJ2xtCrV
Si us en recordeu,
en el nostre problema preguntàvem per:
·
Les possibles dimensions de les
capses si han de tenir 24 caramels.
·
Quina sortiria més barata (a
nivell de cartró per empaquetar).
·
Les característiques que hauria de
tenir aquesta capsa, en tal cas (per tant, cerquem un patró d’optimització).
·
Aplicant aquestes característiques,
transferir la conclusió a una capsa amb més caramels: 40
·
El nombre de caramels que només
necessiten un sol tipus de capsa.
 |
| Enunciat del problema del concurs Fem Matemàtiques fase 2 ABEAM |
Observant el
programa de GeoGebra d’en Jordi, trobem tres finestres on es mostren diferents
aspectes del problema. En la finestra de l’esquerra es pot introduir el nombre
de Candies (caramels). Desplaçant el punt lliscant de la part superior es van
mostrant les diferents possibilitats. En el cas d’11 caramels es mostren les
tres possibilitats que hi ha {1,1,11}, {1,11,1} i {11,1,1}. Per cada una de les
possibilitats ens indica l’àrea de la capsa i la longitud de la cinta que
necessitaríem per empaquetar-la (segons la manera indicada en el problema). Per
visualitzar el problema, en la finestra central es van mostrant les capses
generades amb la cinta que l’empaquetaria. Clicant el botó “Genera taula” de la
finestra de l’esquerra es mostren tots els resultats en el full de càlcul que
es troba a la finestra de la dreta. Per cada possibilitat s’hi indica l’àrea de
la capsa i la longitud de la cinta utilitzada.
Observem que per la
manera de posar la cinta, capses amb les mateixes mides tenen longituds de
cintes diferents.
Cal tenir en compte
que a diferència del problema del concurs (en què es consideraven la mateixa
capsa si tenien les 3 mides iguals), en aquest cas es contemplen totes les
possibilitats numèriques del problema (i, per tant, es diferencia per longitud
x amplada x alçada). Així, en el cas de 24 caramels surten 30 casos enlloc dels
6 que és la resposta en la versió del problema del concurs.
Notem que és una
situació molt rica que ens permet potenciar la competència 4 en ESO: Generar
preguntes de caire matemàtic i
generar problemes:
"Per ajudar als alumnes a decidir sobre els aspectes
matematitzables d’una situació, aquells que poden ser objecte de la seva
curiositat i investigació, podem fer servir les següents preguntes:
- Es pot representar aquesta situació? Es pot esquematitzar?
- Recorda a alguna situació tractada amb anterioritat?
- Hi ha algun aspecte mesurable o quantificable?
- Hi ha alguna cosa que es pugui classificar? Té interès aquesta classificació?
- Què succeeix si modifiquem un element? Com canvien els altres?
- Hi ha algun tipus de funció que expliqui què està passant? Pot fer-se una gràfica d’aquesta funció?
- Es pot predir què passarà? (Burgués i Sarramona, 2013, p. 22)"
"Recordem que un cop l’alumnat hagi plantejat preguntes
entorn de la situació mostrada, també caldrà fer-lo reflexionar. Aquesta
reflexió també pot ser guiada amb preguntes com:
- Com connecta aquesta pregunta amb el problema de partida?
- Com començaria una possible via de resolució?
- S’han d’anar a buscar dades complementàries?
- Hi ha restriccions en les condicions?
- La informació que s’obtindrà és rellevant? És interessant?"
Tal com es recomana en el document, és recomanable que siguin ells els generadors de preguntes per tal que s’acostumin a plantejar-se qüestions, i, cal deixar el temps necessari a la programació d’aula per a que hi surtin aquestes qüestions riques que posen el pes de la construcció del coneixement en l’alumnat.
“El
treball en grup, ja sigui petit o gran, és essencial per desenvolupar aquesta
competència…La diversitat de punts de vista sobre una situació, compartits
i debatuts amb criteris matemàtics, pot impulsar molt més la reflexió sobre els aspectes
interessants i matematitzables d’una situació que no pas les pistes que
pugui anar deixant el professor/a”
Sempre tenint en compte el que hem comentat en el parràgraf anterior, i com a guía pel docent, us passem alguns dels suggeriments d’en Jordi Font i nostres per investigar, ja que el problema plantejat per en Dan Meyer ens porta a poder plantejar una investigació d’ampli recorregut:
“El problema no és gens trivial. Primer,
caldria determinar amb els alumnes què vol dir "casos diferents". A
partir d'aquí...” Intentem cercar un patró. Missió impossible! Per
tant...
·
Què passa amb un nombre primer de caramels?
·
Quants casos hi ha amb pn caramels
(on p és un nombre primer)?
·
Quants casos hi ha si el nombre de caramels fos
un producte de nombres primers com 6 o 15? (tipus p1. m1).
·
Quines característiques tenen les capses en què es gasta menys cinta?
·
Amb un nombre n de cubs, quina és la millor
configuració? Per què? (ho podem
lligar amb les bombolles de sabó de l'Anton Aubanell).
Els alumnes poden començar a investigar el nombre de casos (en aquest cas diferenciant segons les mides) segons les característiques del nombre de caramels.
Una primera aproximació podria ser estudiar si el nombre de caramels és un nombre primer i veure que, aleshores, sortirien 3 casos. En aquest cas, si n=11, serien les combinacions:
Una primera aproximació podria ser estudiar si el nombre de caramels és un nombre primer i veure que, aleshores, sortirien 3 casos. En aquest cas, si n=11, serien les combinacions:
1 · 1 · 11
1 · 11 · 1
11 · 1 · 1
A la pregunta: Quants casos hi ha amb pn
caramels (on p és un nombre primer)? estaria bé incitar als alumnes a fer una investigació sistemàtica a la
cerca d’una estratègia per trobar tots els casos possibles.
En aquest problema també es pot treballar propietats de la divisibilitat
com els que requadrem a continuació: [Aquests resultats també poden ser
treballats en l’entrada L’alçada de la
torre: https://bancfm.blogspot.com/2015/05/lalcada-de-la-torre.html ]
Donada la descomposició factorial d’un nombre en nombres primers:
n= p1n1⋅ p2n2⋅...... ⋅ pk nk
Aleshores, el nombre de
divisors de n és d(n)= (n1+1) · (n2 + 1) · ... · (nk+1).
És a dir, el producte resultant de sumar 1 a cada exponent de la
descomposició factorial del nombre en nombres primers.
Si recollim els
resultats dels nombre n= pn en
una taula, obtenim:
Número
|
Exemple
|
Nº de
divisors
|
Nº de
casos
|
p1
|
2
|
2
|
3
|
p2
|
22
|
3
|
6
|
p3
|
23
|
4
|
10
|
p4
|
24
|
5
|
15
|
p5
|
25
|
6
|
21
|
p6
|
26
|
7
|
28
|
pn
|
2n
|
n+1
|
(n+1)·(n+2)/2
|
En segon lloc es
podria estudiar
els casos en què hi ha dos nombres primers. Comencem pel cas de dos
nombres primers amb exponent 1. Si fem el cas del n = 6 = 2 ·3 , el nº de
divisors serà 4: {1,2,3,6}. Ara hem d’estudiar les ternes (a,b,c) el producte
de les quals dona 6:
a · b · c = 6
Així tenim la
combinació de 2 productes de 3 factors que donen 6: (1,1,3) i (1,2,3)
·
1·1·6 que dóna 3 casos possibles (2 nombres iguals
i 1 diferent)
·
1·2·3 que dóna 6 casos possibles (3 nombres
diferents)
Podem guiar als
alumnes per a que facin un diagrama en arbre per veure les possibilitats:
Quan els 3 factors són diferents, serien 6 possibilitats
Per tant, en fer l’empaquetament de 6 caramels, donaria 9 casos
possibles.
Si fem una taula en
la qual hi hagi els nombres tipus p1n.
p2m:
Observem que tots
els nombres són múltiples de 9. Però costa trobar un patró més enllà.
A partir d’aquests
estudis poden descobrir una estratègia per calcular tots els casos possibles.
Aquí, per exemple, mostrem l’estratègia emprada per a realitzar el GeoGebra que
il·lustra aquesta ampliació. Observem, per tant, que aquesta estratègia és un
algorisme que es pot fer sempre i que, a més, podem fer que realitzi un
programa, en aquest cas, el GeoGebra.
ESTRATÈGIA.
Donat el nombre n,
el que fem és el següent.
- Buscar els divisors del nombre: n= p1n1⋅ p2n2⋅...... ⋅ pk nk
- Calcular el nombre de divisors: (n1+1) · (n2 + 1) · ... · (nk+1)
- Repetir aquest procediment per cada un dels divisors. És a dir, per cada divisor del nombre, calcular els seus divisors i el nombre de divisors
- Per cada divisor, estudiar com a segon factor els divisors del nombre entre ell.
- Anar completant les ternes perquè el producte sigui n.
Exemple:
n=12,
D(12)={1,2,3,4,6,12} i card(D(12))= 6
Aleshores per cada divisor fem:
Divisor
|
Divisors del
divisor
|
Nombre de
divisors del divisor
|
1
|
{1}
|
1
|
2
|
{1,2}
|
2
|
3
|
{1,3}
|
2
|
4
|
{1,2,4}
|
3
|
6
|
{1,2,3,6}
|
4
|
12
|
{1,2,3,4,6,12}
|
6
|
I ara calculem les
ternes que donen producte 12, per exemple amb un diagrama en arbre o una taula
Primer factor
|
Segon factor
(divisors de n/primer factor)
|
Tercer factor
|
1
|
1
|
12
|
2
|
6
|
|
3
|
4
|
|
4
|
3
|
|
6
|
2
|
|
12
|
1
|
|
2
|
1
|
6
|
2
|
3
|
|
3
|
2
|
|
6
|
1
|
|
3
|
1
|
4
|
2
|
2
|
|
4
|
3
|
|
4
|
1
|
3
|
3
|
1
|
|
6
|
1
|
2
|
2
|
1
|
|
12
|
1
|
1
|
D’aquesta manera
trobem totes les ternes que buscàvem. Ara podem també calcular l’àrea de cada
capsa i la longitud de la cinta que necessitaria.
Les dues últimes
preguntes estan més o menys comentades a l’entrada del problema del concurs.
Finalment, us deixem un enllaç amb l’activitat sobre el concepte d’optimització i les bombolles de sabó de l’Anton Aubanell: http://www.xtec.cat/~aaubanel/Fitxes/F77.pdf
Finalment, us deixem un enllaç amb l’activitat sobre el concepte d’optimització i les bombolles de sabó de l’Anton Aubanell: http://www.xtec.cat/~aaubanel/Fitxes/F77.pdf
Cap comentari:
Publica un comentari a l'entrada