Com potenciar el treball cooperatiu per compartir i construir coneixement matemàtic?

Propostes per potenciar la competència 11 (ESO) i les competències de Comunicació i representació (primària)

Paraules clau: Treball cooperatiu, Dimensió de Comunicació i Representació, Conversa matemàtica, Ambient d'aula.

Figura 1: Estrella digital, 2009, Iris Fernández Vega, CEIP Sant Jordi

Aquesta vegada fem una entrada diferent com a demanda per part del professorat sobre la competència 11 (ESO) de la dimensió de Comunicació i representació “Emprar la comunicació i el treball col·laboratiu per compartir i construir coneixement a partir d’idees matemàtiques” (Burgués i Sarramona, 2013b) i les corresponents competències de la mateixa dimensió a Primària (Burgués i Sarramona, 2013a).

Volem comentarles implicacions del treball d’aquesta competència en la metodologia d’aula, en el registre de dades per avaluar, en l’elaboració d’indicadors que ens ajudin a observar el grau d’assoliment en els nostres alumnes i, en definitiva, com podem potenciar-la i avaluar-la. 

Creiem que aquesta competència té suficients aspectes per investigar com per dedicar-li una entrada que dividirem en dues parts. En aquesta primera, abordaremla part de“com potenciar-la” i en la segona part, abordarem“com avaluar-la”.

Els problemes de la primera fase del FEM Matemàtiques estan pensats per a que, a partir del treball col·laboratiu,els alumnes emprin la comunicació per compartir i construir coneixement matemàtic, per tant, són una bona oportunitat per treballar la competència 11.

En aquesta entrada us fem un resum fruit de la recerca bibliogràfica i de recursos web i incorporant les nostres reflexions i conclusions. A la bibliografia, principalment anglosaxona, hi ha informació i recerca específica de la comunicació en matemàtiques (“mathtalks”) i la construcció del coneixement matemàtic. 

Esperem que, tot plegat, us inciti a potenciar el treball d’aquesta competència amb els vostres alumnes sota la creença que "és amb la cooperació, l’ajuda mútua i el treball en equip com s’arriba a cotes més altes en la construcció del coneixement” (Burgués i Sarramona, 2013b, p. 46)

Per què una competència de treball cooperatiu, expressament a Matemàtiques?

A Burgues i Sarramona (2013a i 2013b) podem trobar per a cada competència, orientacions metodològiques i per l’avaluació, amb nivells de gradació i indicadors per ajudar en aquesta tasca (2013a, p. 34-44; 2013b, p.47-49). Són dos molt bons documents de treball absolutament imprescindibles per introduir-te en el llenguatge i contingut competencial.

En la introducció de la dimensió de Comunicació i representació del document de Primària (Burgués i Sarramona, 2013a) ens parla que:  

Les matemàtiques aporten un llenguatge formal que, a més del propi coneixement matemàtic, ens procura eines per a la comprensió del nostre entorn ... és desitjable que aquest llenguatge esdevingui una forma natural d’expressió dins de la classe .... Una via per assolir aquest objectiu és potenciar la conversa sobre les matemàtiques. (p. 33)

La pràctica habitual de l’expressió d’idees matemàtiques entre companys, ... ajuda els estudiants a organitzar i refinar aquestes idees, i a ser clars, convincents i precisos en l’ús del vocabulari i símbols matemàtics. L’escolta atentadels arguments dels companys proporciona oportunitats de reflexió i millora del propi coneixement. (p. 33)

Figura 2: Alumnes de l’Escola Sadako fent el joc de les fitxes de la 1ª fase del Concurs Fem Matemàtiques 2018

Amb aquest fragments i en analitzar a fons la competència 11 de l’ESO ens van sorgir les següents preguntes i dubtes. Aquestes són les que ens van sortir a nosaltres. Segur, que n’hi ha més:

1) No és en realitat una competència transversal? Per què posar-la específicament a matemàtiques? 

El document de secundària ens raona que es vol “un treball en equip per arribar a l’estructuració del coneixement matemàtic” i a les Orientacions de Primària ens parla de que la conversa matemàtica “ajuda els estudiants a organitzar i refinar aquestes idees” i “l’escolta atenta dels arguments proporciona oportunitats de reflexió i millora del propi coneixement.”

De fet, és aconseguir arribar a un alt nivell competencial desitjat en cada una de les dimensions per a cada un dels alumnes però amb la creença de que el treball cooperatiu ajuda i millora la construcció del coneixement matemàtic i l’adquisió d’aquests alts nivells competencials

2) Respecte als criteris de gradació de la competència, quina diferència hi ha entre compartir idees, construir-les i organitzar-les, i, construir-les i estructurar el coneixement?

En l’escrit de les orientacions, la gradació de la competència 11 respon als següents criteris:

• El rol que l’alumne assumeix en el treball col·laboratiu. 
• La complexitat de les relacions entre les idees matemàtiques construïdes. 
• La capacitat de construir coneixement matemàtic i de qualsevol altre àmbit a partir del pensament matemàtic.

És en els dos últims punts on es generen els dubtes ja que el primer criteri és un dels que estem habituats a utilitzar en qualsevol tipus de treball d’equip o projecte. Mirant la gradació dels nivells d’adquisició de la competència: 

Gradació
11.1. Emprar la comunicació i el treball en equip com una forma de compartir idees matemàtiques.
11.2. Emprar la comunicació i el treball col·laboratiu com una forma de compartir, construir i organitzar idees matemàtiques.
11.3. Emprar la comunicació i el treball col·laboratiu com una forma de compartir, construir i estructurar coneixementde qualsevol àmbit a partir d’idees matemàtiques.

La diferència és ben petita, o ben gran... En paraules de la Carme Burgués: “Construir vol dir conceptualitzar, organitzar vol dir relacionar i estructurar vol dir que es reconeix una certa jerarquització” per tant, se suposa que es va adquirint un nivell superior de profundització, significativitat i abstracció de les grans idees matemàtiques.

3) Com es pot fer per a guiar aquest tipus de treball a l’aula de manera que sigui el màxim de productiu? De manera, que la conversa no sigui superficial i estigui dirigida a la construcció del coneixement matemàtic?Trobarem respostes en els articles de Bruce(2007), Serra (2016) i King (1994) sobre “Math talks”(en anglès) dels que, a continuació, exposarem breus resums.

Converses matemàtiques per construir la comprensió, MATH TALKS

En aquest camp de construcció del coneixement matemàtic a partir del treball cooperatiu, hi ha investigacions molt interessants que ens poden aportar moltes idees. A Bruce (2007) parla específicament de “La interacció entre els estudiants a la classe de matemàtiques: robant idees o construint la comprensió”:

Tal com explica al document, es vol passar d’un pensament de “robar la idea” que indica, en el fons, un sentit de competitivitat i individualitat, de que “jo he dit la resposta primer” i “aquesta era la meva idea, me l’ha pres”, a un pensament de “compartint, comprenem i construïm” i de “comprendre l’increïble potencial del pensament matemàtic quan es comparteix i construeix col·lectivament.”

Les seves investigacions la porten a creure que:

· Les pràctiques docents que posen l'accent en la interacció dels estudiants milloren la solució de problemes i la comprensió conceptual.

· Els beneficis augmenten molt quan els alumnes comparteixen el seu raonament amb els altres.

· Les preguntes d’ordre superior es correlacionen amb un augment de la comprensió conceptual per part dels estudiants. Al següent apartat, donarem alguns exemples del què es vol dir amb “preguntes d’ordre superior”.

· Si els deixem al seu albir, els alumnes no s’enganxaran en una conversa matemàtica d’alta qualitat. El professor ha de jugar un paper important. També intentarem aclarir que vol dir això de “conversa matemàtica d’alta qualitat” i quin paper hi juga el professor.

El document inclou una guia per a les converses matemàtiques que poden ajudar als alumnes a que sigui una conversa de qualitat i que facin unes bones argumentacions i justificacions, i que poden ajudar, també als professors, per tenir un registre de les observacions i analitzar el tipus de pensament que els alumnes han anat desenvolupant durant la sessió o sessions. 

Guia per a la conversa matemàtica

Perquè els alumnes es facin preguntes que convidin a una conversa matemàtica de profunditat i que comportin construcció de coneixement, Bruce (2007) ens convida que els alumnes tinguin a l’abast una “Prompt card” (que podríem traduir com “guia ràpida”)(King, 1994): 

Figura 3

Els alumnes només han d’omplir de contingut les preguntes, per exemple: “En què s’assemblen els quadrats i els rectangles?”

Bruce combina aquesta estratègia afegint uns pòsters enllaç als pdf (Connell, 2014) per posar a l’aula per a que els alumnes els tinguin en compte a les converses matemàtiques:

Figura 4 Explica’m què penses. Explica’m els teus pensaments. Incita a compartir i explicar les conjectures, estratègies i raonaments amb els companys (sempre tendint a la utilització del llenguatge matemàtic).

Figura 5 Què et fa dir això? En aquest cas aquest pòster ens ajuda en la justificació d’una conjectura.

Figura 6 Què fa et fa pensar això? Què t’ho fa pensar? La justificació cal que tingui una base matemàtica connectant amb la resta de conceptes matemàtics.

Figura 7 Quina podria ser una altra manera de fer-ho? Ajuda a la cerca de més estratègies de resolució.

Al blog de Genia Connell trobareu el relat de la seva experiència en la introducció de les converses matemàtiques a la seva aula de primària https://www.scholastic.com/teachers/blog-posts/genia-connell/math-talk-101/  

Figura 8. Conell, G. Guia per una conversa matemàtica feta conjuntament amb els seus alumnes

I què diferencia una bona conversa matemàtica del que només és un treball en equip?

Per a West (2011) en una “Math talk” el que volem és un diàleg en què:

-      S’arribi a un comprensió comuna dels conceptes matemàtics

-      S’escoltin els uns als altres les seves idees

-      Es dona el pes de la conversació als alumnes, no al professor

Per a més informació sobre aquests últim aspecte, és molt interessant la creació d’unes pautes d’observació per fer una valoració qualitativa de les aportacions i de la manera de fer tant del professor com dels alumnes (Serra, 2016). D’aquesta valoració en parlarem més a la següent entrada.

Cal iniciar una cultura de diàleg a les nostres aules. Ambient d’aula i paper del professor

Quantes vegades ens passa que tenim converses unilaterals entre nosaltres i algun dels alumnes, mentre la resta “dorm” o no s’hi considera implicat? 

O hi ha una conversa guiada, però de vegades en excés, dirigida a que els alumnes et donin la resposta que tu vols?

Figura 9. Riquelme, C. (2018). Com és la dinàmica a les teves classes?

Per a West (2011) la discussió i el diàleg és el menys usual a les aules. Cal fer un canvi perquè els nostres alumnes col·laborin, argumentin, raonin i es qüestionin sobre els fets matemàtics. El paper del professor és esbrinar què pensa un estudiant per, a partir d’aquí, portar-ho al nivell d’assoliment més alt possible. 

Hauríem de pensar quin pes tenen les idees dels nostres alumnes a les nostres classes

Hauríem de pensar quin pes tenen les idees dels nostres alumnes a les nostres classes: és el professor qui té la saviesa matemàtica? O està en l’habilitat dels alumnes en argumentar el seu punt de vista? Justificar una resposta és una de les claus per a millorar la comprensió matemàtica i de la construcció del propi coneixement. Segons Serra (2016):

Les converses en les quals s’exploren les idees matemàtiques des de diferents perspectives ajuden els participants a compartir el que pensen i a establir connexions. Els alumnes que s’involucren en discussions per a justificar solucions,.., arriben a una millor comprensió matemàtica a mesura que intenten convèncer els seus companys dels seus punts de vista.

Per tant, per poder tenir una bona conversa matemàtica, hem de vetllar per a que els alumnes facin una escolta activa dels companys i deixar que conversin, dialoguin i facin debats, argumentant sempre el seu punt de vista. Cal donar temps als alumnes per a pensar i parlar. 

Quant temps deixem als nostres alumnes per a respondre les preguntes?

Cal deixar espai i temps per a la reflexió i construcció d’argumentacions

D’un model d’aula directiu a un model col·laboratiu

També, l’autora parla de mirar la classe de matemàtiques com “una comunitat d’aprenentatge, on tots els alumnes i també el professor aprenen a mesura que interactuen”. I mostra els quatre nivells de complexitat de Huffered-Ackels, Fuson i Sherin (2004) per arribar-hi: des d’una classe tradicional, directiva on l’alumnat dóna respostes breus i amb concepcions centrades en la transmissió del coneixement a una concepció socioconstructivista en què és l’alumne qui construeix, descobreix i crea models de resolució.

Model directiu (nivell 0)	Model col·laboratiu (Nivell 3)
Grup d’alumnes	Comunitat d’aprenentatge
Centrat en el professor	Alumnes i professor interactuen i aprenen
Aprenentatge centrat en la transmissió del coneixement	Aprenentatge sociocontructivista

          Per fer un ambient d’aula que faciliti la participació, el concepte d’error ha de canviar

Respecte a l’ambient de l’aula, els alumnes són encoratjats a participar, pensar, parlar, estar d’acord o en desacord.Per això, el concepte d’error a les aules de matemàtiques ha de canviari, per descomptat, en nosaltres mateixos. Hem de treballar per la tolerància enfront les errades. Aquestes han de ser considerades un mecanisme per a la millora enlloc d’un obstacle o una penalització. Els errors hi han de ser per a que l’alumne sàpiga com i on corregir-lo per a millorar el seu aprenentatge. Tot en conjunt ajudarà a que els alumnes puguin opinar, conjecturar i argumentar sense por i facilitarà i potenciarà aquesta competència.

El paper del professor 

“Una papallona que completa la seva metamorfosis ha de lluitar fort per sortir 

de la seva crisalida...Si algú la intenta ajudar a sortir, treure-la del seu difícil 

però necessari esforç, les seves ales seran toves i dèbils i mai volarà”

Figura 9. Zacker, J. (2012). Be less helpful.

El rol del professor, per tant, ha de ser de guia de les converses, d’intervenció mesurada i per tal de recalcar algunes de les explicacions que pugui fer algun alumne, ha de saber quan intervenir i quan deixar que la conversa continuï encara que aquesta sigui errada. Com diu el text de la imatge: “els professors volem ajudar als alumnes, però de vegades, ser massa necessaris és el que més mal els fa”

El professar hauria de vetllar perquè: 

• La presentació sigui clara i contextualitzada (què s’ha fet? i en quines condicions?). Per això caldrà articular les idees amb eficàcia, utilitzar les habilitats de comunicació: oral, escrita, visual, digital, etc.; emprar diferents mitjans i tecnologies: presentacions interactives, cossos geomètrics, maquetes, fotografies, applets o qualsevol altre element que faciliti la comprensió d’allò que es vol comunicar. 

• Les explicacions siguin argumentades (com s’ha fet?). Atès que la resolució d’un problema no és única o que la demostració d’una propietat es pot fer de diverses maneres, caldrà justificar l’opció escollida i explicar i raonar el procés seguit. 

• Els resultats s’interpretin en el context de la situació o del problema (té sentit el que s’ha fet?). Cal ser crític amb les solucions, un resultat pot ser vàlid en un context i no ser-ho en un altre. 

• Es facin propostes d’aplicació, d’ampliació i de millora (a què dóna resposta? Es pot generalitzar?). A més a més de donar respostes, és molt important plantejar preguntes perquè aquest és un camí que mena a la construcció de coneixement.  (Burgués i Sarramona, 2013b, p 47)

Quin tipus d’activitats són les més adequades per desenvolupar la competència?

1. Les activitats/problemes/investigacions que són ideals per aquest tipus de treball són aquelles que són obertes i permeten donar diferents estratègies d’atac i plantejament, i, les de múltiple solució. I aquelles en què hi ha argumentació i justificació de conjectures, manipulació i experimentació. 

Els problemes de la primera fase del Fem Matemàtiques estan proposats en aquest sentit. En el Banc de recursos del Fem Matemàtiques podreu trobar exemples per dur a l’aula.

2. També són adients les activitats en què l’elaboració d’un projecte matemàtic fa que es posin en marxa les connexions, creativitat i col·laboració dels alumnes. En el següent vídeo es pot observar com en proposar reptes oberts als alumnes, aquests responen amb plantejaments d’una gran creativitat. Aquesta creativitat i raonaments no es poden aconseguir sense plantejar activitats riques, obertes i participatives.

Vídeo: Projecte de la maqueta d’un molí fariner CEIP Sant Lluís de Menorca https://youtu.be/5MiUqjK6_EI

3. Un altre exemple serien les activitats del tipus WODB (Which One Doesn’t Belong?  O Qui és l’intrús http://wodb.ca)

figura 10: WODB

figura 11: Avui a #eso2sdk hem començat la classe amb aquests dos exemples de "Qui és l'intrús?"Han sortit arguments molt variats i molt interessants des del punt de vista geomètric #queli= #wodb= #geoplà+ #tangram”@CcBcnMvd (Cecilia Calvo Pesce)

De fet, cap de 4 figures o opcions és ben bé certa. El que es busca és l’argumentació a favor d’una o altra per a què els alumnes debatin i raonin utilitzant llenguatge matemàtic. 

5. També hi trobareu a Serra (2016) un llistat del tipus d’activitat recomanades per parlar de matemàtiques.

6. Per últim, i  atacant el darrer aspecte de la competència és molt important que els incitem a fer propostes d’ampliació i millora des de la seva visió i, sobretot, que donem un temps dins de les sessions perquè els alumnes puguin, amb la seva creativitat, fer aquest tipus de propostes. Si realment tenim la creença de que tots els alumnes són capaços d’assolir altes cotes de coneixement matemàtic (Boaler i Dweck, 2016), la motivació i l’ambient d’aula que afavoreixi la participació dels alumnes amb les seves propostes i raonaments és bàsica en aquest camí.

Bibliografia i videos

Boaler, J., i Dweck, C. S. (2016). Mathematical mindsets: Unleashing students' potential through creative math, inspiring messages and innovative teaching. San Francisco: Wiley Brand.

Bruce, C. (2007). Student interaction in the math classroom: Stealing ideas or building Understanding? Research into Practice: Ontario Association of Deans of Education. Research Monograph # 1 (premier edition), 1-4
URL: http://www.edu.gov.on.ca/eng/literacynumeracy/inspire/research/Bruce.pdf 

Burgués, C., i Sarramona, J. (2013a). Competències bàsiques de l'àmbit matemàtic. Identificació i desplegament a l’educació primària.Generalitat de Catalunya. Departament d'Ensenyament.
URL:http://ensenyament.gencat.cat/web/.content/home/departament/publicacions/colleccions/competencies-basiques/primaria/prim-matematic.pdf

Burgués, C., i Sarramona, J. (2013b). Competències bàsiques de l’àmbit matemàtic Identificació i desplegament a l’ESO. Generalitat de Catalunya Departament d’ensenyament.
URL:http://ensenyament.gencat.cat/web/.content/home/departament/publicacions/colleccions/competencies-basiques/competencies_mates_eso.pdf

Connell, G. (2014). Math Talk 101. Recuperat el 19 de setembre de 2018 de https://www.scholastic.com/teachers/blog-posts/genia-connell/math-talk-101/

Hufferd-Ackles, K., Fuson, K., Sherin, M. (2004). Describing Levels and Components of MathTalk Learning Community. Journal for Research in Mathematics Education, 35, 81-116.

King, A. (1994). Guiding knowledge con­ struction in the classroom: Effects of teaching children how to question and how to explain. American Educational Research Journal, 31(2), 338–368. 

Serra, S. (2016). Parlar de matemàtiques per aprendre’n.Noubiaix, 39, 77-97. URL: https://publicacions.iec.cat/repository/pdf/00000251/00000050.pdf

West, L. (octubre 2011). Insights Into Effective Practice. Types of talk [Vídeo]. Recuperat de https://www.youtube.com/watch?v=YfeMzMm4pCk#action=share

Zacker, J. (2012). Be less hepful. Recuperat el 19 de setembre de 2018 de:

https://www.mathteacherscircle.org/assets/toolkits/beginning/mathematics/BeLessHelpful_MTCircularAutumn2012.pdf

---