dimarts, 7 de març de 2017

UN DECIMAL PERIÒDIC

Problema de la 2ª fase del Fem Matemàtiques 2016- 6è 

Etiquetes: Divisió entera. Residu. Decimals. Patró numèric. Avaluació competencial.

Bloc de continguts: Numeració i càlcul. Canvis i relacions
Nivells: 6è i 1r d'ESO (2n ESO)
DIVISIÓ DOLÇA
Autor: Clara de Pouplana Xarrié/Concurs fotografia matemàtica 08
DIVISIÓ NATURAL
Autor: Laura Balagué/Concurs fotografia matemàtica10

Per què hem seleccionat aquest problema?
És un bon problema per treballar la importància del residu en la divisió i la cerca de relacions i patrons amb números. Per tant, serà un treball d’investigació de les relacions numèriques i de generalització posterior. Són tipus d’exercicis que treballem poc a l’aula i que, en canvi, donen una visió més amplia del concepte i fa que treballin la cerca dels patrons.
El tema de la divisibilitat, plantejat d’una manera més amplia, “donant un esquema conceptual ric i no centrat només en un entrenament dels algoritmes”, està molt ben explicat al llibre (Calvo, Delofeu. Jareño, Morera.(2016). Aprender a enseñar matemáticas en la ed. secundària obligatòria. Ed. Síntesis, 65-67) i també treballat i ampliat pel PUNTMAT a la seva entrada: “El residu si importa(1ªpart) i (2ªpart)”. Nosaltres en vam fer referència a la nostra entrada anterior del JOC DE LA RESTA. Ambdues entrades són magnífiques situacions dissenyades perquè es puguin fer connexions i ampliar el concepte i aplicacions de la divisibilitat. En el cas del JOC DE LA RESTA, introdueix la divisió a partir de fer grups iguals i relacionant-la amb la resta reiterada i, a més, profunditza en el concepte del mcd (no de cap algoritme). I en aquesta entrada, s'amplien els significats dels elements d’una divisió no exacta. Es centra en l’obtenció d’un decimal periòdic, on a partir de plantejar una divisió entera adequada, el quocient ens dóna informació del contingut del cicle i el residu del lloc ocupat en el cicle incomplet. Aquest cicle forma una sèrie o patró que ens ajuda a trobar o predir el valor d’una xifra en un lloc determinat.
No és un problema de fàcil resolució per als alumnes de 6è en quant es passa a la predicció i trobar la norma sense recompte. Per tant, és un bon problema per iniciar-se en la generalització a partir d’una sèrie numèrica i en un tema central com el de la divisibilitat, i dintre d’aquest, del paper que juga el residu en la divisió entera.
Tal com ho veiem és un problema que treballa fonamentalment la competència 6 de primària (que té continuació amb la competència 7 de secundària) sobre connexions, que diu que cal que l’alumne pugui “establir relacions entre els diversos significats d’un concepte”, en aquest cas de la divisió decimal i divisió entera i el significat del període i del residu.[1]

Possibles estratègies de resolució de problemes ([1])
Recompte; Reduïr el problema -provar amb casos més senzills- ; Cerca del patró.
Enunciat: 

Si calculeu, amb la calculadora, el quocient amb decimals de la divisió 9 : 37, la pantalla us mostrarà, com a molt, tretze xifres decimals. Amb aquestes xifres podreu deduir la resposta a les preguntes següents:
a) Quant sumen les 14 primeres xifres decimals del quocient?

b) Quant sumen les 100 primeres xifres decimals del mateix quocient?




Solució:
9/37 = 0, 243 periòdic pur, la longitud del període és 3.
a) 14 = 3 · 4 + 2 per tant, la suma és 4(2+4+3)+2+4 = 4·9+2+4 = 42.
b) 100 = 3 · 33 +1, la suma és 33(2+4+3)+2 = 33·9 + 2 = 297+2 = 299.

Comentari de les respostes dels alumnes:
Cal comentar que d’entre un total de 48 alumnes, només 10 van respondre més o menys correctament les dos activitats del problema i 17 més que només van respondre a la qüestió a).  Per a nosaltres, és un indicatiu de la falta de significativitat del valor del residu dintre de l’operació més enllà del “que queda”, a més de que no acaben de generalitzar el patró cíclic en el decimal periòdic pur. El primer exercici ho poden resoldre per la tècnica de comptar i sumar número per número ja que es poden escriure perfectament 14 xifres i, en canvi, al segon exercici tenen la dificultat de no poder escriure les 100 xifres i, per tant, necessiten utilitzar el patró i la divisió i entendre el significat del quocient i el residu en aquesta situació.

Tal com ha resolt aquests alumnes l’activitat a), és com ho fan la majoria en aquest nivell de 6è:


Només en algun cas trobem una argumentació fonamentada en el valor del quocient i el residu com en la següent:

  
Aquí posem un exemple de resolució de l’activitat b), que és on la majoria dels alumnes han trobat major dificultat.  En ell exposa que la suma de les 100 xifres dóna 299 i fa les operacions sense fer una explicació o raonament, encara que en el seu esquema es pot interpretar quin ha sigut:


En aquest cas no hi ha cap explicació del procés seguit. És aquí on el professor ha d’insistir en la verbalització, primer oral i després per escrit, per consolidar el concepte i, a més de treballar i progressar en la competència de comunicació.


El següent és el cas del mateix alumne que feia una molt bona argumentació de l’activitat a) i que torna a aplicar el patró per a un número més gran sense dificultat dotant de sentit al quocient i al residu:


Exemples d’errors conceptuals
A partir de les respostes dels alumnes també us adjuntem exemples d’errors que creiem que poden ser útils per el professorat a l’hora de treballar el problema a l’aula.

En el següent exemple veiem que l’alumne confon 2+3+4 amb el nombre 243 i per tant que hi ha un problema en entendre el diferent valor que assoleix una xifra en el sistema decimal posicional:
 
L’error d’aquest alumne és que no sap emprar la divisió entera quan la necessita i tampoc entén el concepte del residu i com surt:


Avaluació competencial:
Com molts problemes, mai es treballa una sola competència i és difícil dir quina seria la més treballada. Nosaltres pensem que el problema treballa la competència 6 de primària (que té continuació amb la competència 7 de secundària) sobre connexions, que diu que cal que l’alumne pugui “establir relacions entre els diversos significats d’un concepte”, en aquest cas de la divisió decimal i divisió entera i el significat del període i del residu.[1]

Tal com indica la graduació en 3 nivells, en funció del grau de consciència:

Nivell 1: Aquells alumnes que mostren que identifiquen el concepte bàsic en situacions on tenen diversos significats.
Seria el cas de l’alumne, encara que li manca la verbalització del procés per avançar cap a un llenguatge matemàtic:

Nivell 2: Fan un pas més endavant i descriuen la connexió feta, tot i que no implica que donin raons. Per exemple:


Nivell 3: Planifiquen la resolució i arriben a la solució amb una bona justificació de les relacions. Com el cas de l’alumne que fa una bona argumentació:


Més sobre decimals periòdics

Si voleu més activitats interessants relacionades amb els decimals periòdics us recomenem l'entrada del blog de PUNTMAT:http://puntmat.blogspot.com.es/2013/01/decimals-periodics.html



[1] COMPETÈNCIES BÀSIQUES DE L’ÀMBIT MATEMÀTIC. EDUCACIÓ PRIMÀRIA. http://ensenyament.gencat.cat/web/.content/home/departament/publicacions/colleccions/competencies-basiques/primaria/prim-matematic.pdf

Cap comentari:

Publica un comentari a l'entrada