dimarts, 23 de juny de 2015

TRIANGLES I TRIANGLETS

FM14-2n ESO
Alumnes de l'Escola Guinardó fent l'activitat
Paraules clau
Patró de creixement; Recursivitat; Raonament geomètric, visual i numèric; Fractals; Floc de neu de Koch; Àrees; Fraccions; Potències; Decimals.
Nivell
2n i 3r ESO 
Enunciat
Segur que més d’una vegada has jugat a creuar figures geomètriques entre elles per a fer dibuixos i entretenir-te. Un polígon molt fàcil d’usar per a fer això és el triangle equilàter, que combinat amb un altre d’invertit genera el que s’anomena una estrella de 6 puntes, tal com pots veure a la imatge sota aquestes línies.
Això també es pot interpretar que s’ha fet dividint cadascun dels costats en tres parts iguals i substituint la part central per dos segments iguals a aquesta, formant un triangle equilàter més petit sobre cadascun dels costats del triangle inicial, com es mostra a la figura 2.
Si tornem a fer el procés per a cada segment del polígon anterior obtindrem la imatge de la figura 3. I si aquest procés el fem 3 vegades arribem a la figura 4.
Això ho podem fer tants cops com vulguem.

Si el triangle inicial té un àrea de 9 cm2

1. Calcula l’àrea de la figura 2.
2. Troba l’àrea del polígon resultant després de fer el procés 2 vegades (figura 3).
3. Quina serà l’àrea si apliquem aquest procés tres cops? (figura 4)
4. Sabries aproximar-te al valor de l’àrea que resultaria si apliquéssim el procés moltíssimes vegades?

Introducció
Aquest problema treballa el patró de creixement d’una figura. El patró treballa l’estratègia recursiva o seqüencial: necessitem saber el valor de la figura anterior per saber la segent﷽﷽﷽﷽﷽﷽﷽mateixa en l' en la Cla figura anterior per saber la segtinguts.  poden mostrar en respondre la mateixa en l' en la Clüent. També es pot anomenar iterativa o additiva. Alhora és una introducció al mon dels fractals a partir de la figura del Floc de neu de Koch que s’origina des del triangle equilàter creant figures autosemblants.
Floc de neu de Koch
Per què hem seleccionat aquest problema?
Inversió de fractals vegetals (F.Manonelles)
El problema permet relacionar molts conceptes i processos dels diferents blocs de continguts: àrees, decimals, fraccions, potències, relacions funcionals, patrons. El treball amb patrons desenvolupa l’agilitat, flexibilitat i connexió amb els nombres i el que representen així com les relacions entre ells. També ajuda a desenvolupar habilitats de raonament lògic i realització de conjectures. A més porta, d’una manera natural, a desenvolupar regles matemàtiques per descriure el patró, en aquest cas, de creixement d’una figura. Al començament d’una manera aritmètica fins a necessitar del llenguatge algebraic per generalitzar. Aquest patró és un bon exemple de creixement basat en la recursivitat tant visual-geomètrica com aritmètica.
Per una altra banda, és una aproximació molt senzilla al món dels fractals a partir de la figura del triangle equilàter que permet el dibuix i una ràpida comprensió del procés de creixement a partir de la reiteració de la figura inicial. També al sorprenent fet de trobar una figura de perímetre infinit i, alhora, d’àrea finita [R4: blog matemáticascercanas]. 
Tot plegat pot ser un bon motiu per obrir una altra via d’investigació i descobrir aquesta dimensió present al nostre entorn i que dóna meravelloses imatges i estructures de la naturalesa com el nostre sistema circulatori, el creixement de les branques d’un arbre, les línies de les costes i els sistemes muntanyosos. 
Les respostes que hem escollit com a exemples són respostes de 40 informes dels presentats pels alumnes en la primera fase del FM14. Hem escollit els 13 seleccionats per a la segona fase i els altres a l’atzar entre la resta.

Bloc de continguts
Canvii relacions, numeració i càlcul, espai i forma.

Competències implicades( [1], p.8)
PROBLEMA
COMPETÈNCIES SECUNDÀRIA

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
TRIANGLES I TRIANGLETS













Competència 2: Emprar conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre problemes. ([1], p.14).
Competència 7: Usar les relacions que hi ha entre les diverses parts de les matemàtiques per analitzar situacions i raonar. ([1], p.33)

Possibles estratègies de resolució de problemes ([2], [3])
Fer dibuixos i esquemes; Descomposar el problema original en subproblemes essent cada un d’ells similar al de l’origen; Organitzar la informació; Fer taules; Cerca del patró.

Cap comentari:

Publica un comentari a l'entrada