Fraccions des d’una altra mirada (feat Tana Serra)
FM22 FASE 1. PRIMÀRIA
Idees Centrals (referència a la introducció): Relacions multiplicatives part/tot. Fraccions. Patró. Equivalència.
Etiquetes: Fraccions. Patrons. Equivalència.
Blocs de contingut: Numeració i càlcul. Relacions i canvi.
Dimensions: Comunicació i Representació,
Nivell: des de 5è fins a ESO.
Us presentem el treball d’anàlisi didàctic d’aquest problema que la Tana Serra, component del Grup de treball del Cercle de mestres ABEAM, ha fet a partir de l’observació i selecció de diferents respostes dels alumnes. S’ha centrat en les representacions que utilitzen els alumnes per comunicar la seva investigació del problema i els resultats. En ser un problema obert, poden oferir diferents tipus de respostes. I aquesta és una de les característiques més importants del tipus de problema que posem a la fase 1 del Fem matemàtiques: que podem observar un munt de diversitat de estratègies de resolució i representacions i que en totes elles podem trobar riquesa i saviesa.
El problema, a primer cop d’ull, sembla molt complicat per alumnes d’aquest nivell de 6è. De fet, si us poseu a resoldre’l abans de veure les solucions, us adonareu que:
A nivell d’adult, tampoc és fàcil.
Es necessita la representació per poder obtenir informació i és una representació que has de pensar ben bé per a què ajudi a la resolució.
Hi ha un treball significatiu del concepte de fracció i que surt de la necessitat de resoldre el problema.
És això el que li va cridar l’atenció a la Tana per fer l’anàlisi didàctic de les respostes dels alumnes, i també, posteriorment, la riquesa de les representacions que posa com exemple.
Veureu la facilitat que demostren en deixar-los investigar i treballar amb les seves eines i bagatge!
Moltes gràcies a la Tana i a tots els/les mestres que impulseu i oferiu a les vostres aules la possibilitat de desplegar aquest enorme potencial dels nens i nenes per gaudir de les matemàtiques!
ON EM TOCARÀ MÉS XOCOLATA? font: nrich.org
Us heu d’imaginar que tothom que participa en aquest repte li agrada la xocolata i en vol prendre la màxima quantitat possible.
Hi ha una classe en una escola amb dues taules i amb molt d’espai perquè les cadires puguin canviar de lloc. A la taula 1 hi ha una rajola de xocolata i a la taula 2 hi ha dues rajoles de xocolata.
Fora de la classe, quinze nens i nenes s’esperen en fila preparats per entrar i menjar xocolata.
Els infants entren d’un en un, amb la condició que ho poden fer si el que tenen davant ja està ben assegut. Quan un nen entra a la classe es fa aquesta pregunta:
Si a totes les taules la xocolata que hi ha es reparteix per igual entre tots els nens i nenes de taula, quina serà la millor taula per seure?"
La xocolata no es reparteix fins que tots els quinze nens i nenes han entrat i s’han assegut.
És bastant fàcil per als primers decidir on seure, però la pregunta és més difícil de respondre cada vegada. Per exemple: el nen o nena número 4 que quan entra veu
1 persones a la taula 1
2 persones a la taula 2
pot pensar:
• Si vaig a la taula 1, hi haurà 2 persones en total, així que una rajola de xocolata es repartirà entre dos i obtindré un mig.
• Si vaig a la taula 2, hi haurà 3 persones en total, de manera que dues rajoles de xocolata es repartirà entre tres i obtindré dos terços.
a) Seguiu endavant i esbrineu quina és la millor taula per a cada infant que va entrant. A mesura que l’aneu resolent: escriviu, dibuixeu, representeu de la manera més clara possible el que feu.
b) Si descobriu algun patró, expliqueu quin és.
c) Què passaria si en una taula hi hagués dues rajoles i a l’altra, tres rajoles? Feu la investigació de la mateixa manera que heu fet abans i si traieu alguna conclusió, expliqueu-la també.
Per què hem seleccionat aquest problema?
És un problema que posa en el centre de la resolució la representació matemàtica sobre idees vinculades a les fraccions: sobretot ordenació i equivalència. Aquestes idees sorgeixen com una necessitat a l’hora de cercar la resposta al repte, no com una exigència explícita, per tant emprar-les significa poder-les transferir en aquest context concret. Les representacions usades pels nois i noies són molt diverses tant pel que fa a la representació pròpia de les fraccions: amb material manipulable, gràficament, numèricament, com pel que fa a l’expressió de la tria que fa cada alumne que entra a la classe; i són les representacions les que porten a descobrir els patrons. El problema també s’endinsa en la cerca de patrons de iteratius o de repetició d’un mòdul.
Rellevància del procés de representació matemàtica
Emprar el llenguatge matemàtic com una eina per comprendre i expressar les pròpies idees matemàtiques és una finalitat d’aprenentatge dins de l’Educació Primària. És en aquesta etapa on als nens i nenes se’ls obre la porta a usar el llenguatge matemàtic. Aquest hauria d’esdevenir un camí plàcid on cada infant hi pugui accedir al seu ritme i de la seva manera amb l’ajuda guiada dels mestres.
Les representacions esdevenen els vehicles mitjançant els quals es mostren els patrons que l’alumnat va descobrint.
L’ús de diferents representacions d’una mateixa idea facilita les connexions, per exemple quan es dona forma geomètrica als nombres s’interrelacionen els mons dels nombres i de la geometria.
Experimentar, parlar, representar haurien de ser processos implicats en les activitats de resolució de problemes dins de les aules.
La representació que mostren els infants va prenent diferents cares i característiques. En un primer moment sempre remet a l’expressió de situacions concretes, a l’experimentació; per més endavant usar el llenguatge verbal i el dibuix; i continuar amb l’expressió mitjançant diagrames o representacions més pròpiament matemàtiques: taules, rectes numèriques...; i només al final pren cos amb el llenguatge simbòlic. En l’ús de totes aquestes representacions es fa palès l’aprofundiment en la comprensió de les idees matemàtiques. Un cop més el procés matemàtic i la pròpia conceptualització van lligats.
L’observació de les representacions de l’alumnat facilita l’aprofundiment en l’avaluació centrada en els processos matemàtics i dona una mida dels diferents nivells d’adquisició de la competència matemàtica dels infants.
Competències més implicades
Nota de les autores: el canvi actual de la LOMLOE afecta al nombre i a la numeració de les competències però no a la seva essència, deixant les dimensions de la LOMCE en blocs de competències, però mantenint l’agrupació al voltant dels processos matemàtics. En aquest document ens referim a les competències vigents en el moment en què es van avaluar els problemes.
Competències més implicades:
Competència 1 (primària i ESO): Resolució de problemes. Traduir un problema a una representació matemàtica i emprar conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre’l.
Competència 9 (primària i ESO): Comunicació i representació. Usar les diverses representacions dels conceptes i relacions per expressar matemàticament una relació.
Rúbrica. On em tocarà més xocolata? Enllaç
Solucions del problema
1a PART: 1 rajola a la taula 1 i 2 rajoles a la taula 2
Alumne/a que entra i seu
Observacions que es poden extreure a partir de la taula
Quan entra l’alumne número 3 se’n va a la taula B i li correspon una rajola sencera.
Amb el 3è, 6è, 9è, 12è, 15è alumne/a la fracció de xocolata a les dues taules és igual. Cada tres entrades hi ha coincidència en la fracció de xocolata que mengen els integrants de les dues taules.
Quan és el torn del 5è, 8è, 11è i 14è alumne/a, el nen o nena que entra pot anar indistintament a una taula o altra perquè obtindrà la mateixa fracció.
Cada tres alumnes que van a la taula 2, un va la taula 1. Si es vol treballar la idea dels diferents significats parcials aquí hi ha la idea de raó.
Les fraccions a la taula A amb una rajola de xocolata canvien més bruscament que a la taula B amb dues rajoles. És a dir, que les diferències o restes entre les quantitats menjades són més grans. Fins i tot, es poden calcular les restes explícitament.
1 RAJOLA 1 ½ 1/3 ¼ ⅕
2 RAJOLES 1 2/3 2/4 2/5 2/6 2/7 2/8 2/9 2/10
Observació final a la situació plantejada
Quan estiguin tots asseguts es menjaran 1/5 de rajola. Es podria raonar dient que hi ha 3 rajoles i 15 alumnes, per tant, 3/15 per a cadascú, és a dir, ⅕.
2a PART: 2 rajoles a la taula 1 i 3 rajoles a la taula 2
Alumne/a que entra i seu
Observacions que es poden extreure a partir de la taula
Quan entra l’alumne número 5 se’n va a la taula B i li correspon una rajola sencera.
Amb 5, 10, 15 alumnes la fracció de xocolata a les dues taules és igual. Cada cinc entrades hi ha coincidència en la fracció de xocolata.
Quan és el torn del 9è i 14è alumne/a, el nen o nena que entra pot anar indistintament a una taula o altra perquè obtindrà la mateixa fracció.
Cada dos alumnes que van a la taula 2, un va a la taula 1. Torna a incidir en la idea de raó que ens permet comparar aquest cas amb l’anterior.
Les fraccions a la taula amb dues rajoles decreixen més bruscament que a la taula amb tres rajoles.
2 RAJOLES 1 2/3 2/4 2/5 2/6
3 RAJOLES 1 ¾ 3/5 3/6 3/7 3/8 3/9
Observació final a la situació plantejada
Quan estiguin tots asseguts es menjaran 1/3 de rajola. Es podria raonar dient:
5 rajoles 15 alumnes 5/15 = 1/3
Si quan hi havia tres rajoles en menjaven 1/5, si n’hi ha 5 en menjaran 1/3, perquè hi continua havent 15 alumnes.
Mostres d’alumnes
Les mostres que es presenten s’han ordenat d’acord amb diferents nivells de complexitat i abstracció:
Representació 1
Representació manipulativa: utilitza els materials que tenen l’abast per representar de manera més concreta la situació. Tria els policubs per indicar els alumnes i la plastilina per a la porció de xocolata. Amb les cartolines escriu les fraccions. Segurament, han començat a fer proves amb material i posteriorment han passat a representacions sobre paper.
Representació 2
Utilitza una representació visual: Expressa a quina taula va cada alumne/a. Mostra quan és indiferent la taula on anar.
Han dibuixat les rajoles de xocolata/taules. Han fet una columna amb una i una altra columna amb dues segons la primera situació.
En vertical han anat seqüenciant on s'anirà situant cada alumne (quan no ha tingut més espai ho ha posat al costat).
Representació 3
Representació visual mitjançant un diagrama: Expressa a quina taula va cada alumne/a. Mostra el patró de repetició en cada cas.
Representació 4
Representació verbal i simbòlica: Expressa el resultat final amb un càlcul directe i la raó en cada situació. Utilitza la simbologia matemàtica per escriure igualtats. Mostra el patró de repetició en cada cas.
Indiquen els motius amb justificació matemàtica que els porten a seure a cada taula:
A l’apartat a) fan un càlcul global dels quinze nens i nenes i directament obtenen la solució idònia.
A l’apartat b) expressen la raó de la situació de 3 xocolatines i 2 taules: “per cada nen que s’asseu a la taula d’una xocolatina, n’hi ha 2 que s’asseuen a la taula de dues xocolatines.. Hi haurà el doble de nens en una taula que l’altra.” que servirà per poder comparar amb els resultats de la situació de l’apartat c) de la situació de 5 xocolatines i 2 taules.
A l’apartat c) també fan un càlcul global per obtenir directament la solució en el cas de les 5 xocolatines i expressen la raó: “per cada dos nens que s’asseuen a la taula on hi ha 2 xocolatines, 3 s’asseuen a la taula on hi ha 3 xocolatines..” i aquí expressen la raó d’una altra manera: “Per cada xocolatina hi hauran 3 nens a la taula”.
Representació 5
Representació visual mitjançant un diagrama: Expressa a quina taula va cada alumne/a. Mostra el patró de repetició. Empra recursos TIC.
Les dues imatges són dues representacions del mateix equip:
A la primera imatge expliquen verbalment el patró que observen en fer el diagrama.
A la segona imatge utilitzen únicament el diagrama emprant recursos TIC (canva): expressen a quina taula va cada alumne/a (a sota de cada taula van posant en petit el número d’alumnes que hi ha a cada taula). Els camins es bifurquen en dos quan l’opció d’anar a una taula o altra és indiferent ja que, com han dit abans, aconseguiran la mateixa porció de xocolata. En aquest diagrama es visualitza perfectament el dibuix o rastre d’aquest patró.
Representació 6
Representació simbòlica mitjançant una taula: Expressa a quina taula va cada alumne/a. Mostra el patró de repetició en cada cas.
Representació 7
Representació simbòlica mitjançant taules i frases matemàtiques: Expressa a quina taula va cada alumne/a. Justifica l’elecció en cada cas. Mostra el patró de repetició en cada cas. Expressa observacions relatives a les fraccions de la primera taula i la segona, malgrat empra incorrectament el terme denominador per referir-se al numerador.
Representació 8
Representació simbòlica mitjançant una taula completa: Expressa a quina taula va cada alumne/a. Les entrades de la taula que utilitzen donen molta informació sobre el problema. Mostra el patró de repetició en cada cas.
Cap comentari:
Publica un comentari a l'entrada