EL BELAR DE LES OVELLES. PART II. CONSTRUÏM FIGURES

La importància dels patrons: connexions entre geometria i numeració

Etiquetes: patrons, policubs, transformacions geomètriques, àrea i perímetre, Fibonacci

Bloc de continguts: Relacions i canvi, Numeració i càlcul, Espai i forma

Dimensions: Raonament i prova, Representació i Connexions

Nivell: adaptable des de 6è de primària i tota l’ESO

Continuem amb els patrons i connectem amb la Geometria i les transformacions geomètriques: girs, translacions, simetries. Aquest últim gran tema del bloc de Geometria que moltes vegades no sabem com ensenyar, sobretot, perquè en el seu dia, en ser aprenents, no apareixia al currículum. De fet, ens hem trobat que gran part dels alumnes desconeix el vocabulari propi de les transformacions. Dibuixen o fan fotografies del que fan amb les peces de policubs però no saben que fan. Aquest seria un bon problema per introduir o treballar aquestes idees centrals dins del bloc d’espai i forma.

Amb aquest problema tenim l’oportunitat de connectar d’una manera intuïtiva i experimental amb la primera part del Belar de les ovelles que només era una excusa per treballar el patró o sèrie de Fibonacci necessari per poder resoldre el problema.

Per què hem seleccionat aquest problema?

Com vam explicar a l’entrada anterior, la versió que donem al problema del FM21 ha estat un descobriment a partir d’una imatge d’una de les revistes de l’Associació anglesa de professors de matemàtiques (Association of Teachers of Mathematics) atm.org.uk sobre L’espiral de Fibonominos que, a la seva vegada, es va inspirar en el problema de nrich/6470: Building Gnomons.

Font: Paul Stephenson ATM 

Gnòmons s’entén com a peça que es necessita per completar una figura semblant. En aquest cas gnomons a un quadrat. I utilitzen el terme n-omino on n és un terme de Fibonacci.

En fer l’enunciat, el que preteníem era no haver d’anomenar el nom de Fibonacci perquè no portés l’alumnat directament a l’expressió algebraica del patró i, així també, permetre que haguessin d’investigar la segona part del problema i trobar la magnífica connexió de l’expressió numèrica del patró amb l’expressió geomètrica, feta amb policubs, que ens va inspirar la imatge de la revista de l’ATM.

Com veureu, podíem haver començat a plantejar el problema, des de la imatge de l’Espiral sencera feta amb policubs o bé, a partir de les peces que conformen l’Espiral o Fibonominos (aquest nom no apareix als enunciats per no donar pistes). Al final, ho vam fer de les dues maneres: per als més petits des de la construcció i per els grans des de l’Espiral sencera:

Enunciat

Ampliació de 1r d’ESO

A primer es va ampliar el problema de sisè amb les següents preguntes:

Enllaç als enunciats

Competències més implicades

Aquest és un problema ideal per treballar les 4 competències del bloc de Comunicació i representació:

Competència 9. Representar un concepte o relació matemàtica de diverses maneres i usar el canvi de representació com a estratègia de treball matemàtic.

• Competència 10. Expressar idees matemàtiques amb claredat i precisió i comprendre les dels altres

• Competència 11. Emprar la comunicació i el treball col·laboratiu per compartir i construir

coneixement a partir d’idees matemàtiques

• Competència 12. Seleccionar i usar tecnologies diverses per gestionar i mostrar informació, i visualitzar i estructurar idees o processos matemàtics.

Respecte la 10 volem dir que en un ambient d'aula s'hauria de treballar d'emprar el vocabulari matemàtic precís per descriure els moviments.

I respecte la 12 es podria comentar que l'ús de les noves tecnologies s'hauria de deixar que sorgís del propi alumnat

Orientacions per al docent 

 

Com sempre us recomanem que feu vosaltres els problema abans de proposar-lo a l’alumnat, per adonar-vos de les connexions que podeu establir i que poden sortir, i dels processos matemàtics que entraran en joc.

Partim de la construcció de les peces: Construïm figures

Si es vol enfocar el problema d’aquesta manera, el que és ideal és que els alumnes puguin manipular, fer transformacions (girs, simetries,..), ajuntar i separar peces amb un material com els policubs o multilinks. 

El que és important és que els alumnes cerquin i puguin representar i explicar-ho com fan per a crear la següent figura de la successió de figures de l’enunciat. De fet, el que fan és trobar el patró geomètric de la successió que després es connectarà amb el patró de la sèrie de Fibonacci.

Aquesta seria una de les maneres de construir la figura següent

Ens hem trobat que gran part dels alumnes, no utilitzen el vocabulari adient a les transformacions i, per tant, no poden explicar “com ho fan”. Imaginem que no ho han fet a classe.

En aquest dibuix: QUI ÉS L’INTRÚS?

En l’enunciat dels alumnes de 6è se’ls demana que calculin els perímetres de les diferents figures. En principi només seria això i que expliquin com l’han calculat com un treball de diferenciar el perímetre de l’àrea que es demana després. 

En molts casos hem pogut comprovar que la idea de perímetre, no és una idea tan clara pels nostres alumnes d’aquesta edat com ens podem pensar. Algunes de les seves respostes ho demostren: 

Podria ser que algun trobés un patró com el que després es demana a 1r d’ESO i una possible generalització expressada en llenguatge verbal o semialgebraic. 

I, sobretot, potser, algun alumne podria observar que el perímetre de la figura mossegada és igual al de la figura sense mossegar: 

El perímetre de les figures hexagonals es pot veure que és el mateix que el perímetre del rectàngle que s’obté en completar la “mossegada”

En aquesta imatge podeu veure el raonament dels alumnes respecte al seu descobriment:

Aquesta podria ser una investigació apart, com la que proposa Puntmat: https://puntmat.blogspot.com/2015/01/perimetre-i-area-3.html 

En aquesta activitat s’estimula la competència relativa a les connexions dins de les matemàtiques, en la mida que es relacionen nombres i formes i alhora patrons.

En el cas de 1r d’ESO, abans de calcular el perímetre se’ls demana que investiguin si hi ha algun patró entre les llargades i amplades de les figures. Si recollim les dades en una taula com la següent:

on podrien visualitzar els nombres de Fibonacci. A la solució, podreu trobar la generalització del patró.

En aquesta resposta, podeu veure una bona explicació de la generalització del patró amb exemples numèrics concrets, ajudant-se de la representació dels valors en una taula: 

En aquest cas, els alumnes han trobat una diferència entre el patró de les figures senars i les parells i formalitzen la seva conjectura:

Veure el patró entre la llargada i l’amplada facilita veure que en el càlcul de perímetres es poden establir, també dues generalitzacions en funció de si la figura té una forma o altra (que es diferencien en la posició senar o parell).

En calcular els perímetres de les diferents figures s’obté una taula com la següent:

 

Cal tenir en compte que n és la posició de la sèrie de Fibonacci: on F(1)= 0; F(2)=1; F(3)=1 ; F(4)= 2; F(5)=3….

Així en la posició de la figura 3 (n=3), el seu perímetre correspondrà a 4·F(n+2)= 4· F(5) =4·3= 12

La generalització es troba fora de I’abast dels alumnes de 6è o 1r d’ESO. Seria una demanda a fer en cursos més grans.

Així aquests alumnes, fan una taula amb els càlculs dels perímetres i observen que hi ha un augment del perímetre a mesura que la figura es fa més gran. És interessant l’ús que fan de les taules per descobrir els patrons. Les connexions estan facilitades per l’ús d’una representació pròpiament matemàtica:

“Em trobat que en les 3 primeres figures el seu perímetre és dos números més gran que l’anterior. El mateix passa en les dos següents, però traient 6 a l’altre i en l'últim cas li treu 10”

I s’adonen que alguns perímetres es poden calcular aplicant una fórmula i que equivaldria a calcular el perímetre del rectangle equivalent.

Per últim, al problema de 6è se’ls demana per les àrees de les figures i si podrien trobar l’àrea de la figura 10. En demanar això, el que volíem era que veiessin la relació de la successió de Fibonacci que havien vist en l’activitat anterior del belar de les ovelles i, així, l’àrea de la figura 10 serà la suma de les àrees de les figures 9 i la 8 per tal i com es construeix. Per tant, per trobar l’àrea d’una figura cal sumar les àrees de les dues figures anteriors.

figura	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
àrea	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233

En obtenir les àrees a partir de sumar els valors de les dues figures anteriors, i començant per l’àrea 3 es veu que es troben (tot i que desplaçats) els valors del patró del Belar de les ovelles.

A 1r, se’ls demana també que per què creuen que s’han pintat de color diferent. Ens agrada el raonament d’aquests alumnes en dir què:

I adonant-se de la semblança de les formes entre la figura sencera i la part mossegada.

Aquests altres expressen la relació amb l’activitat del belar de les ovelles una vegada han fet una taula comparativa per poder veure les relacions: 

En aquest cas els alumnes mostren clarament la forma de llegir la taula i establir la connexió per trobar el patró.

Solucions

Enllaç a la solució part II. 6è i 1r ESO

EL BELAR DE LES OVELLES. FM21 fase 1. Part I

La importància dels patrons

Etiquetes: patrons, Fibonacci, problema ric

Bloc de continguts: Relacions i canvi

Dimensions: Raonament i prova, Representació i Comunicació. Connexions

Nivell: adaptable des de 6è de primària fins tota l’ESO

Com sabeu, en el Fem Matemàtiques ens agraden els patrons. És habitual que algun dels problemes d’investigació que proposem a la fase 1 tinguin l’objectiu de la cerca de patrons. Però això no és per casualitat, és que un dels objectius principals de les matemàtiques és precisament aquest: cercar patrons al nostre voltant que ens permetin predir comportaments, prendre decisions i actuar en conseqüència. Així, en aquest any de pandèmia s’han recollit un munt de dades que ens permeten veure tendències i regularitats i que descriuen patrons, sobretot, en forma de funció exponencial.

Encara i així, en el dia a dia de l’aula el treball de les relacions i dels patrons a primària i secundària és pobre, reduint-se, tot sovint, a la part de funcions a finals de 2n o 3r d’ESO.

És un tema que treballem molt a Educació Infantil i que després, desapareix del nostre temari!

I per què??

Tots els patrons impliquen una regularitat o repetició expressades de diferents maneres:

abbabba…

clap / / clap / /….

Podem trobar patrons a tot arreu i en diferents contextos: en els dissenys de la roba, mosaics, a la forma de les galàxies, en les formes de les flors, a les cel·les hexagonals de les abelles, en investigacions científiques, patrons numèrics, visuals, …

I l’objectiu principal de les matemàtiques és esbrinar quins són aquests patrons. Tal com diu en Ian Stewart: 

The beauty of numbers in nature. Ian Stewart “Les meves experiències primerenques amb les matemàtiques van ser molt prosaiques. Tot em semblava que anava de números; fins i tot l'àlgebra només és l'ús de símbols per representar números desconeguts… Molts nens troben els números fascinants en un principi, però per a molts aquesta fascinació desapareix amb anys gastats en fer càlculs que sovint semblen sense sentit… Poc a poc vaig descobrir dues coses:  que els números poden ser fascinants per dret propi, i que són només la petita part superior d’un gegant iceberg matemàtic, que inclou moltes més coses: formes, probabilitat, moviment, i, per sobre de tot, patrons. De fet, les matemàtiques sovint es descriuen com una teoria sistemàtica dels patrons".

Per què hem seleccionat aquest problema?

Perquè pretén introduir l’alumnat en un dels patrons més present en la natura i també més famós, la successió de Fibonacci, de manera que la trobin ells mateixos i no a partir de la descripció i explicació d’un llibre o del professor. 

La versió que donem amb el problema del FEM Matemàtiques 21 ha estat un descobriment a partir d’una imatge d’una de les revistes de l’Associació anglesa de professors de matemàtiques (Association of Teachers of Mathematics) atm.org.uk sobre L’espiral de Fibonominos que, a la seva vegada, es va inspirar en el problema de nrich/6470 Building Gnomons (es refereix a Gnomons com a peça que es necessita per completar una figura semblant. En aquest cas gnomons a un quadrat. I utilitzen el terme n-omino on n és un terme de Fibonacci):

Font: Paul Stephenson ATM 

I que ens ofereix una Espiral de Fibonacci diferent a la que estem acostumats:

Font: Wikipedia

i amb un munt de possibilitats que vam aprofitar per el problema i que es va ampliant des de 6è fins a 2n d’ESO però que és perfectament adaptable a altres cursos.

La primera part del problema, el belar de les ovelles, és una adaptació del problema de nrich/2683. El que preteníem és no haver d’anomenar el nom de Fibonacci perquè no portés l’alumnat directament a l’expressió algebraica del patró i, així també permetre que haguessin d’investigar la segona part del problema i trobar la magnífica connexió de l’expressió numèrica del patró amb l’expressió geomètrica del mateix feta amb policubs que ens va inspirar la imatge de la revista de l’ATM.

En fer aquesta investigació els alumnes s’adonen dels patrons i formulen i demostren conjectures. Fan un treball important del bloc de Canvi i relacions en general i de manera especial en la part d’àlgebra, i de les dimensions de Raonament i prova, de Representació i Comunicació i Connexions (entre part I i part II).

Enunciat més pautat

Orientacions pel docent 

 

Com sempre us recomanem que feu vosaltres els problema abans que els alumnes, per adonar-vos de les connexions que podeu establir i que poden sortir, i dels processos matemàtics que entraran en joc.

L’enunciat demana escriure les 8 primeres paraules en llenguatge de les ovelles. Això implica que els alumnes segueixin les condicions del llenguatge i demostrin la seva comprensió en escriure fins a la 8ena paraula: EBEBEEBEBEEBEEBEBEEBE. En aquesta primera part es demana que apliquin la competència 1: Traduir un problema a llenguatge matemàtic o a una representació matemàtica.

En l’apartat a) Compteu el nombre de lletres B, de lletres E i el nombre total de lletres en cada paraula de la seqüència. Què observeu? Podríeu predir, sense construir les paraules, quantes B, E i el total de lletres que tindrà la vintena paraula? Expliqueu com ho heu fet.

es busca la cerca de relacions entre el nombre de lletres E i B i el total de lletres per a veure si hi ha algun patró que m’ajudi a generalitzar i, per tant, predir, sense haver de construir tota la sèrie, com aquest apartat en el cas 20, quantes lletres tindrà la paraula.

Per tant, els processos implicats serien: l’observació de regularitats: conjecturar, provar, generalitzar i predir.

No es diu res, expressament, respecte a com organitzar aquest recompte ja que volem que surtin diferents opcions en forma de llistes personals, esquemes o taules que ens ajudi a establir aquestes relacions i a fer conjectures sobre el patró. Recordeu que sinó s’ha treballat la taula de dades com a representació fonamental, serà un bon moment per a que surti ja que és la manera més sistemàtica de fer la representació i que els alumnes no la saben fer de manera natural. Pensem que la millor manera d’introduir-la no és mitjançant una explicació sinó que entre ells mateixos, puguin veure les diferents opcions que han sortit per organitzar les dades i decidir quina és la més efectiva. Llavors la representació en taula sortirà a partir de la seva pròpia necessitat d’organitzar-se i visualitzar millor les dades.

Aquests alumnes organitzen el recompte en forma de llista seriada que no és la millor opció per descobrir totes les relacions. Descriuen el resultat ajudant-se d’exemples però no acaben de generalitzar. No donen raons matemàtiques del perquè és així.

Aquests si que fan una representació en taula de dades que els serveix per destacar el fet de que es repeteixen els nombres en diagonal però no intenten trobar cap justificació o raó matemàtica. Arriben al resultat amb l’ajuda d’exemples concrets.

A la solució veureu el número de lletres de la sèrie fins a la posició 20. En demanar per la posició 20, el que intentem és que no posin tota la seqüència completa de la posició: EBEBE…. sinó que calculin el número de lletres totals encara que en realitat només caldria que diguessin, expressant-ho en llenguatge verbal, semialgebraic o algebraic que:

   

Si considerem TLn el nombre Total de Lletres de la paraula de la posició n, aleshores es té que:

TLn = TLn-1 + TLn-2

És important valorar en la part del raonament i la comunicació les argumentacions del patró i de la descripció i justificació del procés de resolució. Molts alumnes es limiten a respondre de manera curta o descriptiva les preguntes parcials. Per això, ens agraden més les preguntes obertes amb la indicació de que ens expliquin “Com has obtingut aquests resultats? Perquè surt aquest patró?” que cal potenciar en el treball d’aula i que cal encoratjar a que incorporin en els informes.

En la pregunta b) Si haguéssiu aconseguit escriure en una llista totes les paraules fins la que fa 100, sabríeu explicar com calcularíeu la quantitat de lletres que té la que fa 101? Quines són les 5 primeres lletres d’aquesta nova paraula? I les 10 últimes? Com ho sabeu?

lògicament no es demana per la resposta exacta (no volem que ens diguin la resposta exacta ni que continuïn la sèrie fins a la paraula 99 o 100) sinó per la formulació de la generalització del patró. El que interessa també és que parin atenció en el fet que les 5 primeres lletres de les paraules sempre seran les mateixes i les 10 últimes també:

A partir de la cinquena paraula, les cinc primeres lletres depenen de si la posició és parell o és senar: 

• En les posicions senars, les cinc primeres lletres són: BEEBE

• En les posicions parells, les cinc primeres lletres són: EBEBE

I partir de la setena paraula totes acaben amb la seqüència de BEEBEBEEBE.

I el més important, com sempre, no és la descripció del fet sinó del perquè és així fent un raonament lògic-matemàtic (podeu veure’l al solucionari).

De dues maneres diferents ens mostren com es va repetint un mòdul dins el patró (mòdul de repetició o conjunt que es repeteix) a l’inici i final de les paraules. Els ha ajudat el posar-les unes just a sota de les altres per donar un raonament al fet. En aquest problema, la representació juga un paper fonamental.

Dimensions i processos més implicats

 

Us deixem un quadre adjunt amb els processos matemàtics que podem observar i, per tant, també avaluar, en la resolució del problema. La dimensió de connexió està molt més implicada en la part 2 del problema que editarem a la propera entrada. 

Com veieu és un problema molt ric en totes les dimensions. De vegades, estem molt limitats pels continguts curriculars i pensem que fent aquest tipus de problema no estem treballant el currículum. Dos preguntes per fer pensar sobre aquest fet:

El nostre currículum només parla de continguts matemàtics?

Quin espai temporal dediquem a les nostres classes al treball de processos matemàtics?

Ah… i la tercera:

Si ens parem a pensar, “Què voldríem transmetre als nostres alumnes per a què fossin exitosos en Matemàtiques?" Què respondríem?

Utilitzar les eines TIC vol dir, recollint la idea nucli de la competència, si es dona però sempre que hi hagi iniciativa per part de l’alumne (és a dir, que surti d’ells per si sols) En el 1r grau de la competència la iniciativa és molt baixa, i en el 3r seria alta.

Rúbriques d’avaluació: 

Enllaç per 6è

Enllaç per ESO

Exemple de la rúbrica per a 6è. Com veureu, a la dimensió de Raonament i prova a primària, se li dóna especial importància a la conjectura que surt expressament en la competència 4. A ESO no apareix com a competència exclusiva sinó que ja estaria dins de les competència 5 de Raonament i prova.

En les parts en negre es troben els indicadors per als diferents nivells competencials a observar. En blau es troben els apartats on es poden observar aquests indicadors en el problema.

Solucions

Enllaç a la solució part I