UN CALENDARI ORIGINAL feat Núria Serra

FM22 FASE 2. ESO.

Etiquetes: patrons, divisibilitat (residu), aritmètica modular

Bloc de continguts: Relacions i canvi

Dimensions: Raonament i prova

Nivell: adaptable des de 6è de primària i tota l’ESO

Volem proposar-vos un repte per portar a l’aula aquests dies abans de Nadal!

Com cada any en aquestes dates, les xarxes s’omplen d’idees matemàtiques nadalenques.

La Núria Serra @Serra8Nuria és especialista en aquestes idees que treballa amb els seus alumnes de l’INS Dertosa (Tortosa). Podeu veure totes les activitats que publica la Núria Serra a twitter https://twitter.com/Serra8Nuria. 

Aquestes activitats van des de reptes matemàtics nadalencs o decoració amb formes i figures de nadal matemàtiques. Fixeu-vos en aquest recull: 

És que veu matemàtiques a tot arreu!

I aquest any ens presenta l’arbre de Nadal amb nombres triangulars: 

I ens comparteix amb Manel Martínez @mmar659 aquests nous reptes d'any nou que podeu fer amb els vostres alumnes!:

https://twitter.com/mmart659/status/1602788171355414530?s=20&t=I4zuVvYXXn40R6LzNnUDVQ

Del repte que us volem parlar és el que va sortir arrel de la idea de targeta nadalenca que la Núria va proposar als seus alumnes el nadal 2021: https://twitter.com/Serra8Nuria/status/1470784534052491268?s=20&t=6ykwhY-xoCb_Ad6tUhJT_w 

Al grup del Fem matemàtiques ens va agradar moltíssim la idea de la cerca del patró i li vam demanar permís a la Núria per a aprofitar-lo. Així, aprofitant que els alumnes de Tortosa participen a la segona fase a APMCM, es va proposar el problema per la segona fase pels alumnes d'ABEAM i de les altres associacions. Però com veureu és un problema que es pot adaptar a qualsevol nivell i també per aquest any 2023.

ENLLAÇ A L’ENUNCIAT

Per què hem seleccionat aquest problema?

És un problema original sobre la cerca del patró matemàtic en un calendari ordenat d’una manera un tant especial.

La idea és que els alumnes tractin de trobar regularitats i, amb elles, trobar i predir en quina columna i filera caurà el número 2022.

Com en tots els problemes de cerca de patrons, les preguntes ajuden a cercar-lo primer amb nombres més senzills, inclús nombres com el 50 que poden fer-ho fent un simple comptatge, per passar a la generalització del patró. 

Hi pot haver més d’una estratègia per arribar a les respostes. Nosaltres en fer la solució ho vam connectar de seguida amb la importància del residu i l’aritmètica modular. Però només un dels alumnes dels aproximadament 60 que es van presentar, ha connectat amb aquesta idea. Per tant, considerem que pot ser un bon problema per treballar aquesta idea matemàtica a l’aula.

Solucions del problema 

a) A quina columna estarà el número 50? I el 100? El 50 a la C2 i el 100 a la C4

b)Quins números hi ha a la fila 20? I a la 100? A la F 20: 77,78,79 i 80 ; A la F100: 397, 398, 399 i 400

c) A quina fila i columna està el número 2022? A la F 506 i C5

a) A quina columna estarà el número 50? I el 100?

Hi ha diverses maneres per les que els alumnes poden arribar a la resposta:

Opció A

Observant detingudament la taula, podem arribar a algunes conclusions immediates: 

El primer és adonar-se de l’ordre com es disposen els nombres consecutius:

. Els nombres estan agrupats de 4 en 4 en cada filera.

. Les columnes 3 i 4 sempre estan plenes i és on es situen els múltiples de 4. En C3 els múltiples de factor parell i en C4 els de factors senars.

. El números es troben a la filera següent al número que resulta del quocient entre 4. Així, el 17, com el quocient 17: 4 = 4 r1, estarà a la filera 5. 

Això ja dona la possibilitat de calcular la columna del 50, dividint el 50:4=12 r2.

Com no és múltiple del 4 només pot estar a la C1, C2, C5 o C6.

Aquí és on hem de buscar un altre patró: quins seran els nombres que aniran a aquestes columnes? Com ho podem saber?

Podem observar que en les C1 i C2 només s’omplen les fileres senars i que a les C5 i C6 només s’omplen les parells. A més els nombres de les columnes tenen, en ser dividits entre 4, un residu igual:

així,  a C1 es situen els de residu 1 

a C2 es situen els de residu 2

a C5 es situen els de residu 2

a C6 es situen els de residu 1

Els nombres que en ser dividits entre 4 es situen en les C3 i C4 i no són múltiples de 4, alternen el residu 3: a la C3 si la filera és parell i a la C4 si la filera és senar.

Com la filera del 50 és un nombre senar, F13 (sempre un número més que el número del quocient entre 4, en aquest cas, 12) i el residu és 2, estarà situat a la F13 i C2.

Fem el mateix procés amb el nº 100, 

100:4 =25     per tant, el 100 és un múltiple de 4.

El 100 estarà a la columna C4 (com el quocient és 25, els múltiples de 4 amb un factor senar van a la columna 4).

Opció B

A partir del calendari s’observa que la Núria va distribuint els nombres en sis columnes agrupant de 8 en 8. Dins dels grups de 8, els quatre primers els escriu d’esquerra a dreta en les columnes C1, C2, C3 i C4 i després els altres quatre els escriu a sota de dreta a esquerra en les columnes C6, C5, C4 i C3.

Per saber en quina columna va el nombre 50, ens cal saber quants grups de 8 ha hagut de fer. En aquesta cas 50 = 6· 8 + 2 i per tant com que després de fer 8 grups haurà d’escriure 2 nombres (el residu de la divisió entera anterior) aleshores el 50 quedarà escrit a la C2.

Amb el nombre 50 l’alumnat es pot atrevir a resoldre’l per tempteig. En aquest primer cas es pot considerar vàlid però s’ha de tenir en compte que se l’ha d’animar a trobar un mètode menys feixuc perquè sinó no podrà resoldre les següents preguntes.

Amb el mateix raonament, 100= 12 · 8 + 4 i per tant estarà a C4.

b) Quins números hi ha a la fila 20? I a la 100?

Els alumnes es poden adonar que tots els nombres de la mateixa fila al dividir per 4 donen el mateix quocient. Si l’alumne s’adona la segona fila al dividir-la per 4 el quocient serà 1, la tercera 2, quarta 3, etc. Per tant si multipliquem 4 per 1 i sumem (1,2,3 i 4) tenim (5,6,7 i 8). Si multipliquem 4 per 3 i sumem (1,2,3 i 4) tenim (9,10,11 i 12).

Poden arribar a trobar que per cada fila, els nombres que hi trobem corresponen a l’expressió 4(n-1)+k, amb n el nombre de la fila i amb k={1,2,3,4}. 

Amb aquests raonaments poden trobar que en la fila 20 hi ha els nombres:

19 · 4 i sumant {1,2,3,4}, és a dir: 77,78,79 i 80

I de la mateixa manera a la final 100 es tindran les nombres: 397, 398, 399 i 400

c) A quina fila i columna està el número 2022? 

Com 2022 no és múltiple de 4 el raonament serà identic als apartats a i b.

Aplicant el raonament de l’apartat a) 2022 = 252 · 8 + 6 i per tant estarà a la C5

Seguint el raonament de l’apartat b), per saber la fila hem de cercar les agrupacions de quatre en quatre. Com que 2022= 505 · 4 +2 tenim que estarà a la fila número 506.

Mostres d’alumnes

Les mostres que es presenten s’han ordenat d’acord amb diferents nivells de complexitat i abstracció de l’estratègia seguida en la cerca de la resposta:

La primera estratègia que presentem és de pur comptatge. Proporciona la solució immediata per a números petits i, potser, serveix per a l’observació d’algun dels patrons, però no ens permet arribar a deduir la pregunta sobre en quina columna i filera estarà, per exemple, l’any 2022.

Molts alumnes veuen les seqüències additives que hi ha a les columnes:

Així a les C1, C2, C5 i C6 veuen la sèrie aritmètica que s’obté sumant 8 i a les C3 i C4 veuen una alternancia entre +3 i +5. Però això no els serveix per donar resposta a les preguntes amb nombres més elevats. De fet fa una sèrie de cada columna i així obté el 50, però no deixa de ser una estratègia una miqueta més elevada que el comptatge en haver de posar tots els números anteriors de la sèrie, a més de que esdevenen errors de càlcul: el 100 està a la C4 i a la sèrie no apareix. 

Aquesta imatge fa la mateixa observació representada de manera més esquemàtica. La visualització d’aquestes relacions verticals, ens portarà només a una resposta limitada, perquè per saber el número buscat necessito saber el número de l’anterior posició de la sèrie.

Com diu el mateix alumne, ha d’anar sumant un número darrera l’altre fins arribar al 50:

És per això, que hem de guiar cap a que busquin les relacions més funcionals o horitzontals que ens ajudin a predir nombres més elevats.

A la següent mostra, ja fa un càlcul en veure l’agrupació de 4 números:

Busca un nº de la taula del 4 que s’apropi al 50, el 52 i és el 13. Per tant, com és nombre senar, comença al C1 (ja ha vist que les fileres senars comencen al C1) i “com el passa de dos” tira dos cap enrere. 

Així calcula els nombres de la pregunta b): 

I l’any 2022:

Aquest altre alumne, treballa a partir del mòdul de 8 números:

I aquest altre dona un salt de complexitat en veure una relació funcional: veu que a cada columna i cada dos fileres se sumen 8 i, per tant, un número serà el resultat de la suma de 8n + nº de la columna, sent el nº de la columna el que correspon al residu del quocient entre 8:

Com a resposta a la pregunta b), aquest alumne aplica un criteri de proporcionalitat: primer busca el resultat dels nombres que hi ha a la fila 20: aplicant 4n, sent n el número de la fila buscada i com ha vist que els múltiples de 4 estan a la C4, situa el 80 a la columna 4. La resta de nombres anteriors abans.

I per buscar els números de la fila 100, aplica que com 100=20x5, el número que anirà a la C4 de la filera 100 serà el quíntuple de 80: 80x5 =400.

Una vegada fetes les preguntes a i b, la pregunta c) no té cap problema doncs s’aplica el patró. En la major part dels alumnes trobem un raonament semblant a aquests basats en el mòdul 8 el primer exemple, o mòdul 4 en el segon: 

 

ON EM TOCARÀ MÉS XOCOLATA?

Fraccions des d’una altra mirada (feat Tana Serra)

FM22 FASE 1. PRIMÀRIA

Idees Centrals (referència a la introducció): Relacions multiplicatives part/tot. Fraccions. Patró. Equivalència.

Etiquetes: Fraccions. Patrons. Equivalència.

Blocs de contingut: Numeració i càlcul. Relacions i canvi.

Dimensions: Comunicació i Representació,

Nivell: des de 5è fins a ESO.

Us presentem el treball d’anàlisi didàctic d’aquest problema que la Tana Serra, component del Grup de treball del Cercle de mestres ABEAM, ha fet a partir de l’observació i selecció de diferents respostes dels alumnes. S’ha centrat en les representacions que utilitzen els alumnes per comunicar la seva investigació del problema i els resultats. En ser un problema obert, poden oferir diferents tipus de respostes. I aquesta és una de les característiques més importants del tipus de problema que posem a la fase 1 del Fem matemàtiques: que podem observar un munt de diversitat de estratègies de resolució i representacions i que en totes elles podem trobar riquesa i saviesa. 

Respecte al vocabulari per la classificació del problema, la Tana i la Carme Burgués han fet una feina molt potent i profunda sobre les idees centrals matemàtiques. És per això, que hem respectat el vocabulari de l'autora. Trobareu tota la informació publicada pel Creamat a https://sites.google.com/xtec.cat/idees-centrals-matematiques-ip/inici .

El problema, a primer cop d’ull, sembla molt complicat per alumnes d’aquest nivell de 6è. De fet, si us poseu a resoldre’l abans de veure les solucions, us adonareu que:

• A nivell d’adult, tampoc és fàcil.

• Es necessita la representació per poder obtenir informació i és una representació que has de pensar ben bé per a què ajudi a la resolució.

• Hi ha un treball significatiu del concepte de fracció i que surt de la necessitat de resoldre el problema.

És això el que li va cridar l’atenció a la Tana per fer l’anàlisi didàctic de les respostes dels alumnes, i també, posteriorment, la riquesa de les representacions que posa com exemple.

Veureu la facilitat que demostren en deixar-los investigar i treballar amb les seves eines i bagatge!  

Moltes gràcies a la Tana i a tots els/les mestres que impulseu i oferiu a les vostres aules la possibilitat de desplegar aquest enorme potencial dels nens i nenes per gaudir de les matemàtiques!

ON EM TOCARÀ MÉS XOCOLATA?   font: nrich.org

Us heu d’imaginar que tothom que participa en aquest repte li agrada la xocolata i en vol prendre la màxima quantitat possible.

Hi ha una classe en una escola amb dues taules i amb molt d’espai perquè les cadires puguin canviar de lloc. A la taula 1 hi ha una rajola de xocolata i a la taula 2 hi ha dues rajoles de xocolata.

Fora de la classe, quinze nens i nenes s’esperen en fila preparats per entrar i menjar xocolata. 

Els infants entren d’un en un, amb la condició que ho poden fer si el que tenen davant ja està ben assegut. Quan un nen entra a la classe es fa aquesta pregunta:

Si a totes les taules la xocolata que hi ha es reparteix per igual entre tots els nens i nenes de taula, quina serà la millor taula per seure?"

La xocolata no es reparteix fins que tots els quinze nens i nenes han entrat i s’han assegut.

És bastant fàcil per als primers decidir on seure, però la pregunta és més difícil de respondre cada vegada. Per exemple: el nen o nena número 4 que quan entra veu

1 persones a la taula 1

2 persones a la taula 2

pot pensar:

• Si vaig a la taula 1, hi haurà 2 persones en total, així que una rajola de xocolata es repartirà entre dos i obtindré un mig.

• Si vaig a la taula 2, hi haurà 3 persones en total, de manera que dues rajoles de xocolata es repartirà entre tres i obtindré dos terços.

a) Seguiu endavant i esbrineu quina és la millor taula per a cada infant que va entrant. A mesura que l’aneu resolent: escriviu, dibuixeu, representeu de la manera més clara possible el que feu.

b) Si descobriu algun patró, expliqueu quin és.

c) Què passaria si en una taula hi hagués dues rajoles i a l’altra, tres rajoles? Feu la investigació de la mateixa manera que heu fet abans i si traieu alguna conclusió, expliqueu-la també.

Enllaç a l'enunciat 

Per què hem seleccionat aquest problema?

És un problema que posa en el centre de la resolució la representació matemàtica sobre idees vinculades a les fraccions: sobretot ordenació i equivalència. Aquestes idees sorgeixen com una necessitat a l’hora de cercar la resposta al repte, no com una exigència explícita, per tant emprar-les significa poder-les transferir en aquest context concret. Les representacions usades pels nois i noies són molt diverses tant pel que fa a la representació pròpia de les fraccions: amb material manipulable, gràficament, numèricament, com pel que fa a l’expressió de la tria que fa cada alumne que entra a la classe; i són les representacions les que porten a descobrir els patrons. El problema també s’endinsa en la cerca de patrons de iteratius o de repetició d’un mòdul.

Rellevància del procés de representació matemàtica

Emprar el llenguatge matemàtic com una eina per comprendre i expressar les pròpies idees matemàtiques és una finalitat d’aprenentatge dins de l’Educació Primària. És en aquesta etapa on als nens i nenes se’ls obre la porta a usar el llenguatge matemàtic. Aquest hauria d’esdevenir un camí plàcid on cada infant hi pugui accedir al seu ritme i de la seva manera amb l’ajuda guiada dels mestres.

Les representacions esdevenen els vehicles mitjançant els quals es mostren els patrons que l’alumnat va descobrint.

L’ús de diferents representacions d’una mateixa idea facilita les connexions, per exemple quan es dona forma geomètrica als nombres s’interrelacionen els mons dels nombres i de la geometria.

Experimentar, parlar, representar haurien de ser processos implicats en les activitats de resolució de problemes dins de les aules.

La representació que mostren els infants va prenent diferents cares i característiques. En un primer moment sempre remet a l’expressió de situacions concretes, a l’experimentació; per més endavant usar el llenguatge verbal i el dibuix; i continuar amb l’expressió mitjançant diagrames o representacions més pròpiament matemàtiques: taules, rectes numèriques...; i només al final pren cos amb el llenguatge simbòlic. En l’ús de totes aquestes representacions es fa palès l’aprofundiment en la comprensió de les idees matemàtiques. Un cop més el procés matemàtic i la pròpia conceptualització van lligats.

L’observació de les representacions de l’alumnat facilita l’aprofundiment en l’avaluació centrada en els processos matemàtics i dona una mida dels diferents nivells d’adquisició de la competència matemàtica dels infants.

Competències més implicades

Nota de les autores: el canvi actual de la LOMLOE afecta al nombre i a la numeració de les competències però no a la seva essència, deixant les dimensions de la LOMCE en blocs de competències, però mantenint l’agrupació al voltant dels processos matemàtics. En aquest document ens referim a les competències vigents en el moment en què es van avaluar els problemes.

 

Competències més implicades:

• Competència 1 (primària i ESO): Resolució de problemes. Traduir un problema a una representació matemàtica i emprar conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre’l.

• Competència 9 (primària i ESO): Comunicació i representació. Usar les diverses representacions dels conceptes i relacions per expressar matemàticament una relació. 

 

Rúbrica. On em tocarà més xocolata?   Enllaç

Criteri d’avaluació	Indicadors de no assoliment	Indicadors d’assoliment  Estàndard	Indicadors d’assoliment  Alt	Indicadors d'assoliment  Molt Alt
Competència 1. Resolució de problemes. Traduir un problema a una representació matemàtica i emprar conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre’l.
Traduir un problema a una representació matemàtica i emprar conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre’l. Gradació atenent al grau de complexitat de la resolució	No traduir adequadament el problema	Explica el problema en llenguatge propi, usant materials.  Empra estratègies personals i eines matemàtiques elementals, que serveixin per resoldre’l. Ordena les fraccions amb l’ús de material.(1 punt per a cada apartat) Explica per escrit la situació de cada alumne. (0,5punts per a cada apartat)	Tradueix el problema al llenguatge matemàtic bàsic. Utilitza l’equivalència com a recurs de resolució. Verbalitza el procés seguit. Ordena les fraccions emprant representacions de superfície.(1,5 punts per a cada apartat) Combina l’explicació escrita amb l’ús de taules per descriure la situació de cada alumne. (1punt per a cada apartat)	Usa taules per interpretar el problema Tria l’estratègia més eficaç Identifica patrons i idees: equivalència de fraccions. Justifica el procés seguit. Utilitza l’equivalència de fraccions per ordenar-les correctament i la justifica (2punts per a cada apartat) Expressa de forma clara, ús de taules,  la situació de cada alumne que entra. (2 punts) Expressa la relació entre la primera part del problema, 3/15 = 1/5 i la segona 5/15 = 1/3(2punts)
Competència 9. Comunicació i representació.  Usar les diverses representacions dels conceptes i relacions per expressar matemàticament una situació
Usar les diverses representacions dels conceptes i relacions per expressar matemàticament una situació. Gradació atenent a l’adequació de la representació a la situació i la cerca de relacions entre les representacions	No usar representacions matemàtiques	Usa llistes en lloc de taules. Enumera la situació de cada alumne que entra a la classe en forma de llista.(0,5p per a cada apartat)	Usa una de les diverses representacions d’un concepte o d’una relació, que sigui rellevant en l’expressió matemàtica d’una determinada situació.  Incorpora taules per expressar la situació de cada alumne. (1 punt per a cada apartat) Descriu algun patró de repetició (cada quants nens es produeix la situació d’igualtat a les dues taules). (1 punt per a cada apartat)	Usa el llenguatge matemàtic per expressar una situació. Explica representacions pròpies. Incorpora per iniciativa pròpia l’ús de les TIC. Incorpora taules ben definides per expressar la situació de cada alumne. (2p per a cada apartat) Utilitza el llenguatge matemàtic relatiu:  a les fraccions(1p) a la igualtat i a la desigualtat (1p) Empra taules per concloure patrons: . de repetició (cada quants nens es produeix la situació d’igualtat a les dues taules)(2p per a cada apartat) . de decreixement de les fraccions.(2p per a cada apartat) Usa les TIC per resoldre el problema (2 p per a cada apartat)

 

Solucions del problema 

1a PART: 1 rajola a la taula 1 i 2 rajoles a la taula 2

NOMBRE TOTAL D’ALUMNES	TAULA A  1 RAJOLA		TAULA B    2 RAJOLES
	Alumnes	Fracció xocolata	Alumnes	Fracció xocolata
3	1	1	2	1
4	1	1	3	2/3
5 opció a	1 2	1	4 3	2/4
5 opció b		1/2		2/3
6	2	1/2	4	2/4
7	2	1/2	5	2/5
8 opció a	2 3	1/2	6 5	2/6
8 opció b		1/3		2/5
9	3	1/3	6	2/6
10	3	1/3	7	2/7
11 opció a	3 4	1/3	8 7	2/8
11 opció b		1/4		2/7
12	4	1/4	8	2/8
13	4	1/4	9	2/9
14 opció a	4 5	1/4	10 9	2/10
14 opció b		1/5		2/9
15	5	1/5	10	2/10

• Alumne/a que entra i seu

Observacions que es poden extreure a partir de la taula

• Quan entra l’alumne número 3 se’n va a la taula B i li correspon una rajola sencera. 

• Amb el 3è, 6è, 9è, 12è, 15è alumne/a la fracció de xocolata a les dues taules és igual. Cada tres entrades hi ha coincidència en la fracció de xocolata que mengen els integrants de les dues taules.

• Quan és el torn del 5è, 8è, 11è i 14è alumne/a, el nen o nena que entra pot anar indistintament a una taula o altra perquè obtindrà la mateixa fracció.

• Cada tres alumnes que van a la taula 2, un va la taula 1. Si es vol treballar la idea dels diferents significats parcials aquí hi ha la idea de raó.

• Les fraccions a la taula A amb una rajola de xocolata canvien més bruscament que a la taula B amb dues rajoles. És a dir, que les diferències o restes entre les quantitats menjades són més grans. Fins i tot, es poden calcular les restes explícitament.

1 RAJOLA    1         ½         1/3        ¼         ⅕

2 RAJOLES    1    2/3    2/4    2/5    2/6    2/7    2/8    2/9    2/10

Observació final a la situació plantejada

Quan estiguin tots asseguts es menjaran 1/5 de rajola. Es podria raonar dient que hi ha 3 rajoles i 15 alumnes, per tant, 3/15 per a cadascú, és a dir, ⅕.

2a PART: 2 rajoles a la taula 1 i 3 rajoles a la taula 2

NOMBRE TOTAL D’ALUMNES	TAULA 1  2 RAJOLES		TAULA 2 3 RAJOLES
	Alumnes	Fracció xocolata	Alumnes	Fracció xocolata
5	2	1	3	1
6	2	1	4	3/4
7	3	2/3	4	3/4
8	3	2/3	5	3/5
9 opció A	3 4	2/3	6  5	3/6
9 opció B		2/4		3/5
10	4	2/4	6	3/6
11	4	2/4	7	3/7
12	5	2/5	7	3/7
13	5	2/5	8	3/8
14 opció A	5 6	2/5	9  8	3/9
14 opció B		2/6		3/8
15	6	2/6	9	3/9

• Alumne/a que entra i seu

Observacions que es poden extreure a partir de la taula

• Quan entra l’alumne número 5 se’n va a la taula B i li correspon una rajola sencera. 

• Amb 5, 10, 15  alumnes la fracció de xocolata a les dues taules és igual. Cada cinc entrades hi ha coincidència en la fracció de xocolata.

• Quan és el torn del  9è i 14è alumne/a, el nen o nena que entra pot anar indistintament a una taula o altra perquè obtindrà la mateixa fracció.

• Cada dos alumnes que van a la taula 2, un va a la taula 1. Torna a incidir en la idea de raó que ens permet comparar aquest cas amb l’anterior.

• Les fraccions a la taula amb dues rajoles decreixen més bruscament que a la taula amb tres rajoles.

2 RAJOLES    1        2/3        2/4        2/5        2/6

3 RAJOLES    1    ¾              3/5        3/6                  3/7       3/8     3/9    

Observació final a la situació plantejada

Quan estiguin tots asseguts es menjaran 1/3 de rajola. Es podria raonar dient:

5 rajoles     15 alumnes        5/15 = 1/3

Si quan hi havia tres rajoles en menjaven 1/5, si n’hi ha 5 en menjaran 1/3, perquè hi continua havent 15 alumnes.

Mostres d’alumnes

Les mostres que es presenten s’han ordenat d’acord amb diferents nivells de complexitat i abstracció:

Representació 1

Representació manipulativa: utilitza els materials que tenen l’abast per representar de manera més concreta la situació. Tria els policubs per indicar els alumnes i la plastilina per a la porció de xocolata. Amb les cartolines escriu les fraccions. Segurament, han començat a fer proves amb material i posteriorment han passat a representacions sobre paper.

Representació 2

Utilitza una representació visual: Expressa a quina taula va cada alumne/a. Mostra quan és indiferent la taula on anar.

Han dibuixat les rajoles de xocolata/taules. Han fet una columna amb una i una altra columna amb dues segons la primera situació.

En vertical han anat seqüenciant on s'anirà situant cada alumne (quan no ha tingut més espai ho ha posat al costat).

Representació 3

Representació visual mitjançant un diagrama: Expressa a quina taula va cada alumne/a. Mostra el patró de repetició en cada cas.

Representació 4

Representació verbal i simbòlica: Expressa el resultat final amb un càlcul directe i la raó en cada situació. Utilitza la simbologia matemàtica per escriure igualtats. Mostra el patró de repetició en cada cas.

Indiquen els motius amb justificació matemàtica que els porten a seure a cada taula: 

• A l’apartat a) fan un càlcul global dels quinze nens i nenes i directament obtenen la solució idònia.

• A l’apartat b) expressen la raó de la situació de 3 xocolatines i 2 taules: “per cada nen que s’asseu a la taula d’una xocolatina, n’hi ha 2 que s’asseuen a la taula de dues xocolatines.. Hi haurà el doble de nens en una taula que l’altra.” que servirà per poder comparar amb els resultats de la situació de l’apartat c) de la situació de 5 xocolatines i 2 taules.

• A l’apartat c) també fan un càlcul global per obtenir directament la solució en el cas de les 5 xocolatines i expressen la raó: “per cada dos nens que s’asseuen a la taula on hi ha 2 xocolatines, 3 s’asseuen a la taula on hi ha 3 xocolatines..” i aquí expressen la raó d’una altra manera: “Per cada xocolatina hi hauran 3 nens a la taula”.

Representació 5

Representació visual mitjançant un diagrama: Expressa a quina taula va cada alumne/a. Mostra el patró de repetició. Empra recursos TIC.

Les dues imatges són dues representacions del mateix equip: 

• A la primera imatge expliquen verbalment el patró que observen en fer el diagrama.

• A la segona imatge utilitzen únicament el diagrama emprant recursos TIC (canva): expressen a quina taula va cada alumne/a (a sota de cada taula van posant en petit el número d’alumnes que hi ha a cada taula). Els camins es bifurquen en dos quan l’opció d’anar a una taula o altra és indiferent ja que, com han dit abans, aconseguiran la mateixa porció de xocolata. En aquest diagrama es visualitza perfectament el dibuix o rastre d’aquest patró.

Representació 6

Representació simbòlica mitjançant una taula: Expressa a quina taula va cada alumne/a. Mostra el patró de repetició en cada cas. 

Representació 7

Representació simbòlica mitjançant taules i frases matemàtiques: Expressa a quina taula va cada alumne/a. Justifica l’elecció en cada cas. Mostra el patró de repetició en cada cas. Expressa observacions relatives a les fraccions de la primera taula i la segona, malgrat empra incorrectament el terme denominador per referir-se al numerador.

Representació 8

Representació simbòlica mitjançant una taula completa: Expressa a quina taula va cada alumne/a. Les entrades de la taula que utilitzen donen molta informació sobre el problema. Mostra el patró de repetició en cada cas.