Enunciat

Un loop és un terme anglès que significa volta o trajectòria circular. Aquests els podem veure per exemple en qualsevol muntanya russa. O quan un avió fa giravoltes (en anglès Loop).

Us proposem construir uns loops sobre paper. Per fer-ho cal que decidim un nombre, per exemple el 3. Tirem tres cops el dau cúbic i ens surten els valors 2, 5 i altre cop el 2.

Ara, amb aquests valors que ens han sortit, seguirem la següent rutina:

0.- Marca un punt sobre una quadrícula.

1.- Mou-te dues unitats en una direcció (2 és el primer nombre que ha sortit al dau). Marca el camí que t’has mogut.

2.- Gira 90º en sentit de les agulles del rellotge, i mou-te cinc quadrats en aquesta direcció (5 és el segon nombre que ha sortit al dau). Marca el camí que t’has mogut.

3.- Gira 90º en sentit de les agulles del rellotge, i mou-te dos quadrats (darrer nombre que ha sortit al dau) en aquesta direcció. Torna a marcar el camí que t’has mogut.

4.- Repeteix indefinidament altre cop des del punt 1.

Amb una iteració

Amb dues iteracions

Amb quatre iteracions

Si ens fixem, Després de fer dos cops aquest procés, ja hem aconseguit un Loop (segona imatge) i al cap de quatre iteracions s’ha tancat el cicle d’aquest camí aconseguint 4 Loops (si anéssim repetint indefinidament aquest procés no ens sortirem del camí marcat amb les quatre primeres iteracions).

a). Repeteix tu també el procés llançant també tres cops el dau. Quines diferències entre els camins hi veus?
b). Ara llances el dau 4 cops i t’han sortit els nombres 4, 1, 3, 2. Quin camí trobes? Donaria una cosa semblant si canviessin els nombres?
c). Investiga què passa si llances el dau 5 cops.

d). Ara fem el camí seguint la proposta de l’apartat a i la de l’apartat b si cada cop girem 60º en el sentit de les agulles del rellotge. Què pots explicar?

e). I si girem 120º en el sentit de les agulles del rellotge?
...

ENLLAÇ A LA SOLUCIÓ COMPLETA

Per què hem escollit aquest problema?

Aquest proposta ens presenta una altra forma d’abordar el tema dels loops. Aquestes representacions (LOOPS o giravoltes) donen peu a fer un munt d’investigacions matemàtiques plenes de connexions entre la geometria i els patrons numèrics.

Com veieu, aquest problema de LOOPS dona per a molt!

A diferència de les entrades de LOOP I i II que parteixen dels patrons numèrics de les taules de multiplicar i ens introdueixen en el món de l’aritmètica del rellotge o modular (molt interessant també pels alumnes de l’ESO), aquesta vegada juga amb els loops que es formen amb 3, 4 o 5 números a l’atzar i també juga amb la variable de l’angle de gir (90º, 60º, 120º). Per ajudar a la investigació, podeu optar per programes ja fets (mireu al final de l’entrada a “Recursos”) o podeu aprofitar per introduir programari amb eines com scratch o geogebra ja que els algorismes no són gens difícils.

El més interessant del problema és que fa que els alumnes hagin de treballar d’una manera sistemàtica (veure puntmat i nrich) per poder obtenir bones conclusions a partir de fer conjectures i proves per validar-les i poder argumentar matemàticament. Tot això per poder trobar les regles matemàtiques que els construeixen i fan que tinguin unes formes determinades.

El problema original està tret d’un llibre molt recomanable d’Anne Weltman:

“Crec que els Loop-de-Loops són objectes matemàtics rics, és a dir, que jugar amb ells pot conduir a un gran nombre de preguntes i investigacions interessants que us porten a vosaltres i els vostres estudiants al món de la geometria, la teoria de nombres, els patrons, les funcions i altres. Fins i tot només crear un propi Loop-de-Loops i jugar al Detective Loop-de-Loop, ofereix moltes oportunitats perquè els estudiants es preguntin sobre matemàtiques i utilitzin les seves preguntes per crear alguna cosa bonica” Anna Weltman https://recipesforpi.wordpress.com/2015/09/28/loop-de-loops-and-a-contest/

Gestió d’aula

El problema es va posar en la fase 1 del FM 2020 de 1r d’ESO però pot aplicar-se a qualsevol curs de l’ESO ja que el nivell depèn de les bones preguntes i del guiatge que faci el mestre per a que els alumnes vagin més enllà.

“Pensem que val més una bona investigació què que passin per sobre de les preguntes simplement constatant el que passa, sense dir el perquè deu ser així a partir d’una investigació sistemàtica”

Si són cursos dels més joves, millor fer només un parell d’investigacions. Tot depèn, també, del que demanin i puguin estirar els vostres alumnes. Pensem que val més una bona investigació què que passin per sobre de les preguntes simplement constatant el que passa, sense dir el perquè deu ser així a partir d’una investigació sistemàtica. Fer totes les investigacions és una opció que només està reservada per aquells que puguin “anar més enllà” ja que com veure-ho és un problema molt ric dels que la Jo Boaler anomenta “Low floor, high ceiling”. Tot depèn del vostre criteri ja que sinó el problema pot fer-se massa llarg.

En el primer apartat, com sempre, es demana que juguin fent dibuixos, per a continuació passar a observar:

a) Repeteix tu també el procés llançant també tres cops el dau. Quines diferències entre els camins hi veus?

És bo que comencin fent proves sense cap directriu, llançant els daus a l’atzar i anant dibuixant els loops. Una vegada tinguin dibuixos variats, cal instigar-los a veure si poden descobrir algunes semblances i diferències i algun patró que guiï els dibuixos a partir dels números que van sortint.

Podeu mirar el vídeo de Mathfamily (en anglès) on els fills es pregunten coses a partir de haver fet un munt de proves (mireu a partir del min 2:30)

A partir d’aquestes observacions, porteu-los a que facin alguna conjectura que després hauran de comprovar. El que és interessant és que s’adonin que amb un sol exemple no podem donar per vàlida una conjectura.

Només cal un de sol exemple per refutar una conjectura

Fig 1: En aquesta resposta els alumnes fan una conjectura, però no es pot provar donant només un exemple.

Per justificar una conjectura cal argumentar-la per tots els casos possibles. Aquesta és la dificultat i la bellesa de les matemàtiques, ser capaços de provar que quelcom és vàlid per qualsevol cas, fins i tot per a infinits casos. En no poder comprovar-los tots, per ser infinits, ens calen els raonaments matemàtics per poder provar-ne la seva validesa.

Per tant, i per poder fer un bon treball d’investigació, cal fer una bona anàlisi de la situació, un treball de classificació dels casos (d’exploració) i per això, cal ser molt sistemàtic.

Explores → Analitzes →Classifiques → Busques patrons per fer conjectures → Generalitzes

És un bon treball de processos matemàtics:

“Per esbrinar com es va fer un Loop-de-Loop cal buscar patrons, pensar enrere i revisar les intuïcions amb un esquema: totes les habilitats importants per a l'escola primària i secundària.(Anna Weltman)”

Per avançar en l’exploració i poder realitzar conjectures, una bona estratègia és estudiar el problema invers, és a dir, saber deduir la seqüència de números que han creat un patró donat:

“Una cosa és crear la vostra pròpia seqüència de números (com 2, 3, 4) i crear un Loop-de-Loop. I una altra cosa completament diferent, és mirar un Loop-de-Loop i esbrinar quina seqüència de números s’ha utilitzat per crear-lo. (Anna Weltman)”

Les altres preguntes:

b) Ara llances el dau 4 cops i t’han sortit els nombres 4, 1, 3, 2. Quin camí trobes? Donaria una cosa semblant si canviessin els nombres?

c) Investiga què passa si llances el dau 5 cops.

d) Ara fem el camí seguint la proposta de l’apartat a i la de l’apartat b si cada cop girem 60º en el sentit de les agulles del rellotge. Què pots explicar? I si girem 120º en el sentit de les agulles del rellotge?

e) ...

Són diferents opcions de preguntes d’investigació que podeu fer. Poden ser aquestes o aquestes altres, com ens mostra la Cecilia Calvo:

Font: Cecilia Calvo

La investigació és interminable i aquí ha de ser el mestre qui en funció del seu grup condueixi el problema cap a on interessi. També, i com diu la competència 4, volem que ells mateixos facin les seves pròpies preguntes d’investigació a partir de les seves conjectures. Això indicaria un màxim nivell competencial ja que no és gens fàcil fer “bones preguntes”. Tampoc podem pretendre que arribin a fer “bones preguntes” si mai han treballat amb problemes que els donin l’oportunitat de fer-les i els problemes d’investigació són bàsics en aquest sentit.

Preguntes interessants que suggereix l’autora:

Aquí teniu un bucle 3-2-5 de Loop. Com creieu que seria un Loop-de-Loop 2-5-3? En què s’assemblaria? Podem esbrinar quina seqüència hauria de tenir un Loop-de-Loop que tingui el mateix dibuix que 3-2-5 però que l'hàgim dibuixat en el sentit contrari?

Quines seqüències de nombres diferents fan Loops idèntics? Què tenen en comú aquestes seqüències?

Quins tipus de seqüències numèriques fan Loops amb braços llargs com aquests?

I quins fan Loops que estan ben agrupats, com el Loop de sota ?

Totes aquestes preguntes, i les que hem posat a l’enunciat, fan que siguem detectius a la cerca de les regles que ens permetin dibuixar els loops més originals, pintant-los i decorant-los deixant volant la imaginació i amb creativitat!

Aquesta proposta de treball amb els Loops té la virtut de poder explorar en molts sentits, tal i com s’ha vist amb l’ampli ventall de preguntes que s’han mostrat. Cal, per això, ser conscients d’aquesta riquesa i guiar a l’alumne cap a alguna de les diferents possibilitats per evitar que l’alumnat es frustri en pretendre abordar una proposta massa ambiciosa o excessiva. La seva riquesa permet deixar que l’alumne comenci explorant amb total llibertat per després guiar-lo, segons les seves primeres troballes, en la investigació final. En aquest problema el guiatge del professor és clau per al seu èxit.

Competències més implicades

Com veureu, és una activitat competencialment molt rica ja que es treballen diferents processos matemàtics, de les dimensions de Resolució de problemes (C2 i C4), Raonament i prova (C5) i Comunicació i Representació (C9-C12).

Els apartats a) b) i c) demanen una investigació oberta ja que no guia amb més preguntes. En aquests tres casos sense modificar l’angle de gir que està fixat a 90º.

Això suposa que els alumnes han de fer-se ells mateixos, a partir del tempteig inicial, amb les eines i estratègies personals o matemàtiques i també d’un treball sistemàtic per poder realitzar correctament aquesta investigació (Competència 2).

Més enllà del tempteig inicial, les estratègies per organitzar la investigació poden ser de dos tipus:

A partir d’organitzar preguntes d’investigació: El que portaria a un treball que es pot avaluar amb la Competència 4 i seguir els seus indicadors. Les principals preguntes podrien ser:

Sempre torna a l’inici? En quants passos?
Què passa si els mateixos nombres canvien d’ordre?
Què passa si algun nombre apareix repetit?

Usant aplicatius que permetin investigar els canvis que sorgeixen en introduir dades diferents. Si aquests aplicatius els troben per internet hi hauria un treball de canvi de representació per a resoldre el problema i es podria avaluar amb la Competència 9 a partir de les connexions que realitzin entre els números introduïts i les diverses representacions.

Si van més enllà i usen algun programari com Scratch o Geogebra per crear ells les situacions que es plantegen, estariem treballant la Competència 12.

Fig 3: Programa scratch fet pels alumnes

Fig 4: Loop fet per alumnes (no tenim nom del programa)

Un molt bon aplicatiu per internet per investigar la situació en els primers apartats podria ser: http://dev.chrislusto.com/loops/ (veure a l’apartat de recursos).

Notem que aquesta activitat, per la seva envergadura, és molt adequada per poder introduir o fer la investigació amb programari. Les primeres mostres i temptejos convé que els facin a mà, però per poder investigar a fons i de manera sistemàtica i, no defallir, està clar que fer servir un aplicatiu o crear un programa per poder analitzar les diferents situacions amb agilitat, és l’opció més vàlida ja que en ser un algorisme, el que ha de dibuixar el Loop, és molt apropiat pensar en programar-lo (Nota: ens hem trobat que molts grups d’alumnes han fet servir un programa com scratch o geogebra, però en l’informe no surt el programa creat per ells. S’hauria d’exigir que el presentin com a part de la demostració de la competència 12).

En tots els casos, el grau d’abstracció d’aquestes investigacions i de l’argumentació de la resposta l’observarem amb els indicadors de la Competència 5. Pensem que aquí és ben important deixar palesa la diferència entre fer una resposta breu que confirma una observació (fig.5) o una resposta reflexionada a partir del treball dels processos matemàtics (fig.6)

Fig 5: Resposta breu sense argumentació. Amb una breu descripció del que s’observa en dos casos diferents (nºs senars i parells). Tampoc s’analitzen més exemples dintre de la seva conjectura.

Fig 6: És la resposta a la mateixa pregunta, però aquí analitzen diferents casos d’una manera més sistemàtica (1r i 3r iguals i la ½ del 2n; 1r i 3r iguals i doble del 2n; 1r i 3r iguals i el 2n un número més) i, encara que no dibuixen tots els exemples que suposem que han fet, poden treure una generalització de la seva conjectura.

En la proposta de rúbrica inicial es potenciaran les competències C2 i C5 i es donaran indicacions per si hi ha propostes que treballin la C4, la C9 i la C12.

Els apartats d) i e) ens demanen la investigació per tres i quatre daus amb els angles 60º, 120º i combinació de 60º i 120º.

Finalment l’apartat f) demana estudiar pel cas de quatre daus els angles que tancaran.

La investigació d’aquests darrers apartats segurament seguirà el mateix plantejament que l’anterior, per tant, s'organitza l’avaluació de la mateixa manera.

Rúbrica ENLLAÇ

Solucionari amb la col.laboració de Guillem Bonet ENLLAÇ

Hem enllaçat el solucionari per què ha quedat força extens ja que l’hem adaptat a diferents nivells, també els més elevats.

Volem agrair el treball realitzat pel Guillem Bonet @willhek1 (del Grup de Feemcat de Resolució de problemes que ens encarreguem de crear, adaptar i fer els problemes del Concurs) el fet de fer un solucionari sistemàtic per abarcar totes les possibilitats que ofereixen les preguntes del problema.

No pretenem que els alumnes responguin a aquest nivell però considerem que és una bona eina per a que el professorat pugui dirigir les conjectures i saber el límit de les respostes.

Mostres d’alumnes

Degut a l’extensió d’exemples que tenim dels alumnes (tot i que només hem pogut reproduir aquells que es van enviar per mail ja que pel confinament no teníem més opció), hem creat una presentació per a que els pugueu veure més agilment.

Volem destacar que va resultar una feina potser una mica llarga i que, per això, i per tal d’aconseguir els objectius que exposavem al començament de l’entrada, pensem que seria millor fer menys investigacions i de manera més sistemàtica o bé repartir les diferents investigacions entre els diferents grups de la classe, per a que les puguin compartir ja que les figures que surten són força maques i interessants i també els raonaments i argumentacions que connecten la sèrie numèrica i el dibuix del loop resultant.

Recursos

Un molt bon aplicatiu per internet per investigar la situació en els primers apartats podria ser: http://dev.chrislusto.com/loops/ . Guia a l’alumne en les investigacions que proposa ja que és interactiu. Ideal per treballar a distància (COMPTE: els angles de gir són sentit antihorari i, per tant, segueix direccions diferents: D- Puja- E- Baixa).