dimarts, 31 de març de 2020

LES CARTES QUADRADES (FM 2006)


Etiquetes: joc, patrons visuals, repte, cerca de solució més eficient, treball sistemàtic.
Bloc de continguts: Canvi i relacions. Espai i forma
Nivells: Tots els nivells. Ideal per famílies també!


Enunciat

En Miquel té un joc de 81 cartes quadrades, totes de les mateixes dimensions. Cada carta té una cara vermella i una altra cara blanca.
En Miquel col·loca totes les cartes unes al costat de les altres, amb la cara blanca mirant cap al damunt i formant amb totes elles un quadrat gran (com el de la figura):


















































































Ara el joc li demana girar cartes, de manera que en quedin el màxim nombre possible amb la cara vermella al damunt, però amb una condició:







que cada carta de color vermell tingui almenys 7 cartes veïnes que siguin blanques







A





B
C







 



Què vol dir això? Una carta és veïna d'una altra si tenen en comú un costat o un vèrtex. Observa el següent exemple que et mostra només una part d’aquell gran quadrat.
La carta A i la carta C tenen 7 cartes veïnes blanques; però la carta B té només 6 cartes veïnes blanques.
Ajudeu el Miquel: Quantes cartes es poden girar com a màxim?

Per què hem seleccionat aquest problema?

Com hem dit abans aquests dies especials els professors estan cercant activitats que siguin riques, reptadores i, també i per què no, que hi puguin participar tots els membres de la família.
És el cas del problema proposat pel Manel Martínez @mmart659, via twitter https://twitter.com/mmart659/status/1242424052066791425?s=20
i que pertany al concurs matemàtic Fem Matemàtiques de l’any 2006. Moltes gràcies Manel!!
A la pàgina d’ABEAM:  https://abeam.feemcat.org/course/view.php?id=5, en l’apartat del concurs hi trobareu al marge dret tots els enunciats dels problemes  fets des de l’any 2005, per si algun altre professor vol fer alguna cerca i col·laborar amb el banc de recursos amb les solucions dels seus alumnes o familiars!
Aquest problema es planteja com un joc de cerca de totes les possibilitats màximes que compleixen les condicions que imposa el problema: Que cada carta de color vermell tingui almenys 7 cartes veïnes que siguin blanques.
Es un cas en el que la dimensió de Representació és molt important ja que en la cerca hem de fer algun registre de les possibilitats que penso que poden haver per trobar aquella que penso que pot ser la que tingui el màxim de cartes vermelles.

També es treballa la dimensió de Raonament i prova, ja que poden existir certs patrons espacials que m’ajudin a trobar la solució màxima i, segurament, de seguida els trobareu.

A més de un joc-repte, quines són les matemàtiques que treballen aquesta activitat?
Per una banda, tal com diuen Barba i Calvo (2015) una de les característiques fonamentals del tipus de feina que proposen per ajudar els alumnes en el seu aprenentatge de les matemàtiques és “el costum de treballar d’una manera sistemàtica. Aquesta manera de treballar intrínsecament lligada a la feina del matemàtic, però útil per a la resolució de qualsevol tipus de problema al qual hem de fer front, ha de ser apresa (Woodham, 2013)”. Certament, aquest problema obliga a una cerca exhaustiva de totes les possibilitats de solució i “trobar totes les solucions possibles ens dóna l’oportunitat de convidar-los a treballar d’una manera sistemàtica” (Barba i Calvo, 2015) ja que sinó es treballen les possibilitats a l’atzar i no poden tenir la seguretat d’haver trobat totes les solucions.
Per tant, per una banda, uns nivells alts d’estratègia i raonament matemàtic en la resolució d'aquest problema, passarien per algun mètode de sistematitzar les possibles solucions (treball sistemàtic), per assegurar-se que tenim totes (exhaustivitat) les que compleixen les condicions donades (raonabilitat) i, per una altra banda, un establiment previ de filtres i criteris per fer menys feixuga la cerca (raonament matemàtic). Tot això, amb la seva argumentació corresponent.
Tot això, passarà si volem obtenir les solucions més ajustades. Però hi ha diferents nivells per gaudir d’aquesta activitat:
Com hem dit pot ser un repte per a totes les edats: mireu com fan l’avi i el net de 9 anys per trobar la solució, cada un amb el seu mètode! Moltes gràcies a @sil_enci i la seva família per les seves respostes i les seves ganes!



El nen té 9 anys i el més fàcil per ell i per poder fer moltes proves és utilitzar algun tipus de material manipulatiu. En aquest cas, les cartes d’un altre joc. I registrar la resposta d’alguna manera o simplement fotografiant.
I per altra banda, el seu avi ha treballat amb algun programa que li permet fer quadrícules de columnes i fileres.  En la primera col.locació logra 20 vermelles i en la de sota només 15.
Però l’avi va una mica més enllà de la proposta, a la cerca d’algun patró fent els quadrats més petits i també els més grans:
 
I fa una taula on registra la dimensió dels quadrats i la quantitat de cartes vermelles que pot tenir. A nosaltres ens surt el mateix, només que, però sentint-ho moltla solució del tauler de 9x9, no és 20!

Aquí,       Glòria Sánchez@bonesmates
 ens envia una solució però amb 17 cartes vermelles. Tampoc aquesta és la solució màxima.

Analitzant una mica les diferents posicions que poden tenir les cartes vermelles troben que hi  ha algunes posicions que necessiten d’un perímetre major en blanc que d’altres. Passem a analitzar-les:

a.    Una sola carta vermella sense cap altra pegada, té un perímetre de 8 blanques si vol complir la condició de tenir al menys 7 blanques tocant-la.

b.    Només podem col·locar dues vermelles juntes si, com a mínim, tenim un quadrat 4x4, i sortirien dues possibilitats més les seves rotacions:
        
 quan és una parella horitzontal o vertical necessiten un perímetre lliure de 10 quadres blancs.
         


 en el cas que les posem en diagonal es necessiten 12 quadres blancs.
Per tant, és més efectiva la configuració de parelles horitzontals i verticals.

Un altre filtre a tenir en compte per evitar fer un treball exhaustiu en la tria de possibilitats és que cap posició dels quadrats del perímetre compleix la condició de tenir 7 blanques. Si posem la carta vermella en una de les cantonades, només tindrà 3 quadres blancs. I si la posem en un dels costats, tindran 5.

Finalment, jupimarc @jupimarc ens dóna la solució correcta amb 21 cartes vermelles:
Amb un patró preciós ple de simetria!


I @CindyCynti ens passa aquestes altres dues amb 21 però amb altres distribucions:












Deixem aquí la taula amb els valors màxims que hem trobat per a veure si entre la solución visual i les relacions de la taula, algú pot descubrir algún patró!
Costats
Cartes vermelles
2x2
0
3x3
1
4x4
2
5x5
4
6x6
6
7x7
12
8x8
14
9x9
21
....


Esperem les vostres respostes!











       

Cap comentari:

Publica un comentari a l'entrada