UNA ESCULTURA CÚBICA

FM15- 1r ESO

Paraules clau

Àrea, Volum, Proporcionalitat, Raonament numèric, Context real, Patrons, Generar bones preguntes, Preguntes productives.
Nivells

1r, 2n i 3r ESO

Ampliació: 2n i 3r ESO

Enunciat

Una artista disposa de 14 cubs d’un metre d’aresta. Amb aquests 14 cubs fa una escultura. La podem veure en el dibuix.

Per tal que no es faci malbé, atès que ha d’anar col·locada en una plaça exterior, s’hauran de protegir amb pintura les superfícies exposades a l’aire. Per fer-ho ens demana ajuda.

a) Quina és, en metres quadrats, l’àrea que haurem de pintar?

b) Quanta pintura necessitarem? Quin cost pot tenir? Cal justificar la resposta.

c) Quant temps podem tardar en pintar-la? Cal fer una estimació i argumentar-la.

Després li proposen construir una figura semblant, però de 5 pisos.

Abans de fer-ho decideix construir una maqueta amb cubs de 20cm de costat.

Aquest cub reduït pesa 400g, i completament recobert de vernís pesa 406g.

d) Contesteu les preguntes anteriors per aquesta nova estructura, la de mida real.

e) Quan pesarà l’escultura de mida real si només envernissem les cares visibles?

f) Afegiu una pregunta a aquesta activitat i expliqueu com s’hauria de resoldre.

Introducció                                                                                                                                             

Aquest problema treballa el càlcul d’àrees i volums en context. Fomenta l’autonomia i iniciativa de l’alumnat en demanar als alumnes dades reals sobre preus de pintures així com estimar el temps que trigarien en pintar la figura. És una activitat rica competencialment en què es treballen continguts de diversos blocs, a més dels mencionats, introdueix el concepte de semblança i proporcionalitat en treballar i fer càlculs d’una escultura real a partir de les dades de la maqueta. També es pot treballar la cerca de patrons organitzant les dades en taules per observar com seria el creixement de la figura i si existeix alguna regularitat en les parts pintades de cada pis.

Esquema fet pels alumnes d' Aula Europea

Per què hem seleccionat aquest problema?

Hem escollit aquest problema per ser un bon exemple dels blocs Espai i forma i Mesura que compleix molts dels indicadors de riquesa competencial d’una activitat [1].

Treballa els conceptes de càlcul d’àrees i volums, estimació de quantitats, cerca d’informació, semblança i proporcionalitat com hem indicat a la introducció. També es pot treballar amb material manipulatiu per ajudar en l’abstracció.

Material fet pels alumnes de l'Ins.Guillem de Berguedà

És una activitat que també ens ha permès fer una proposta d’ampliació per a un nivell de 2n o 3r d’ESO a partir de preguntar-nos pel creixement de la figura fins a 10, 20, 30 o n pisos i intentar trobar l’expressió algebraica que determinaria el patró que està relacionat amb la diferència entre dos quadrats perfectes consecutius (veure proposta d'ampliació a la fitxa completa).

Un altre dels motius és el que genera la pregunta f que es centra en el treball de la competència 4: Generar preguntes de caire matemàtic i plantejar problemes ([2], p.21), tot permetent realitzar un bon treball de reconèixer i identificar les matemàtiques de l’entorn i que els alumnes es plantegin bones preguntes que aportin informació rellevant, que siguin productives i impliquin un aprofundiment en el coneixement de la situació [R1], [R2] i [R3].

Les respostes que hem escollit com a exemples són respostes de 18 informes dels presentats pels alumnes en la primera fase del FM15 de 1r d’ESO.

Bloc de continguts

Espai i forma, Mesura, Numeració i càlcul i Canvi i relacions.

Competències implicades( [2], p.8)

PROBLEMA	COMPETÈNCIES SECUNDÀRIA
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
ESCULTURA CÚBICA

Competència 4: Generar preguntes de caire matemàtic i plantejar problemes. ([2], p.21).

Competència 6: Emprar el raonament matemàtic en entorns no matemàtics. ([2], p.29).

Possibles estratègies de resolució de problemes ([3])
Fer dibuixos i esquemes; Reduir el problema, provant amb casos més senzills; Organitzar la informació; Fer taules; Manipular; Cerca de regularitats i patrons.

VEURE FITXA COMPLETA

ENUNCIAT PELS ALUMNES

CONVIDO A MAGDALENES

FM15- 6è i 1r ESO

Paraules clau

Recursivitat; Divisió entera; Recompte; Inducció; Raonament numèric; Patrons; Introducció llenguatge algebraic

Nivell

6è,1r ESO

Ampliació: 2n, 3r ESO

Enunciat

Sovint vaig al forn del barri a comprar magdalenes. A dins de l’embolcall de cada magdalena hi ha un “tiquet-regal”. Funciona de manera que cada sis tiquets em donen una magdalena gratis.

a) De moment he aconseguit 51 vals, a quants amics puc convidar gratis amb els tiquets que tinc?

b) He anat al forn i m’han dit que si tingués 1 tiquet més podria aconseguir 3 magdalenes. Quants tiquets portava?

c) Quants tiquets necessito per poder convidar a 3 amics? I per convidar a 5 amics? I per convidar a tota la classe?

d) Series capaç d’explicar quants tiquets necessito per convidar a qualsevol nombre d’amics?

e) La Cesca només tenia 5 tiquets, i ha aconseguit una magdalena extra sense deixar a deure res a ningú. Com s’ho ha fet?

Introducció

Aquest problema treballa sobre aspectes relacionats amb la divisió entera i amb el recompte ordenat. Es demana trobar la relació existent entre dues magnituds (número d’amics a convidar i número de tiquets necessaris) en els dos sentits. També es demana a l’alumnat trobar l’expressió general d’un dels sentits de la situació proposada i és per tant un bon problema per a treballar la utilitat de trobar un llenguatge per expressar el cas general i a partir d’aquí guiar a l’alumnat cap a la iniciació al llenguatge algebraic formal.

Per què hem seleccionat aquest problema?

Un aspecte interessant del problema és que la primera hipòtesi que probablement sorgirà (fer una simple divisió entre 6) no és la solució de la situació proposada.

Un altre aspecte és que les primeres qüestions es poden resoldre mentalment, sense mètode, però a mesura que es va generalitzant sorgeix la necessitat de crear una tècnica de recompte o un esquema per no arribar a solucions equivocades. A posteriori es pot comprovar que la regla general permet resoldre totes les qüestions proposades. És també un exemple d’un procés d’inducció matemàtica.

Aquest problema va ser posat a la prova FM15 de 6è de primària i de 1r d’ESO amb un únic apartat de diferència sent, per tant, assequible als alumnes d’ambdós nivells.

L’estudi de la resposta dels alumnes s’ha fet a partir de 17 dels informes seleccionats de la 1ª fase del FM15-1r ESO i de 14 dels informes seleccionats de la 1ª fase del FM15-6è. Cal destacar que alguns grups de sisè donen respostes més completes i argumentades que els treballs presentats de primer d’ESO. De fet a 1r, només arriben a fer bé l’activitat completa 3 dels 17 i en canvi a 6è, trobem 10 dels 14 equips. Aquest fet ens pot fer reflexionar sobre com introduir l’àlgebra a l’aula per no provocar una pèrdua de creativitat ni espontaneïtat per part de l’alumnat que comporti un empobriment en les estratègies emprades per l’alumnat en resoldre problemes. En els informes presentats hem observat que els alumnes de 6è s’han recolzat més en esquemes, gràfics, dibuixos i taules ordenades, fet que els permet justificar i raonar més el procés. També s’ha observat que ajudar-se dels gràfics els ha permès realitzar el procés de manera més detallada i creiem que pot ser l’element que els ajuda a veure més pausadament la solució i cometre menys errors a l’hora d’arribar a la resposta.

Bloc de continguts

Numeració i càlcul. Canvi i relacions

Competències implicades( [1], p.8)

PROBLEMA	COMPETÈNCIES PRIMÀRIA
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
CONVIDO A MAGDALENES

Competència 4: Fer conjectures matemàtiques adients en situacions quotidianes i comprovar-les. ([1], p.20). (Continuïtat en la competència 5 de l’ESO [2])

Possibles estratègies de resolució de problemes ([3], [4])

Fer dibuixos i esquemes. Cerca del patró. Començar des del final, suposant el problema resolt.

VEURE FITXA COMPLETA

ENUNCIAT PELS ALUMNES

ANNEX