divendres, 11 de novembre de 2016

ESTRELLES DE FUTBOL

Hem renovat aquesta entrada per donar-li més amplitud i que pogui ser utilitzada per cursos superiors com a introducció a temes com les progressions i la combinatoria. Així, en arribar a la generalització i trobar el patró poden arribar a trobar la fórmula de la suma dels termes d'una progressió aritmética de diferència 1, per tant, podria ser el raonament geomètric d'aquesta progressió i una bona introducció al tema. Relacionat també amb la regularitat dels nombres triangulars. I amb combinatòria. Ho trobareu al final en un apartat nou de possibles ampliacions.

FM14-6è
I.Fernàndez. Concurs fotografia mat.2009
Paraules clau 
Relacions espacials; Patrons;  Raonament geomètric, visual i numèric; Progressió aritmètica. Avaluació competencial.
Nivell
6è, 1r ESO, 2n ESO, 3r ESO i endavant (aquests últims cursos com a introducció de la suma dels termes d'una progressió aritmética de diferència 1 i combinatòria).
Bloc de continguts
Canvi i relacions; Numeració i càlcul. 
Enunciat
5 jugadors de futbol estan entrenant al camp. Un dels exercicis consisteix a situar-se formant un cercle i passar-se la pilota.
a) Quin és el nombre mínim de passades que s’han de fer per tal que la pilota torni al primer jugador? Quantes passades diferents es poden fer abans que la pilota no torni al primer?
b) Ara volem que la trajectòria de la pilota formi una estrella de 5 punxes, com les que usaven els pitagòrics. Com s’han de passar la pilota els jugadors? Dibuixa l’estrella.
c) Trobeu la manera de passar-se la pilota 9 jugadors per a fer una estrella. Com ho han de fer? Existeix una única manera? Dibuixa les estrelles resultants.

Deixem estar les estrelles,
d) Quantes trajectòries diferents de la pilota hi pot haver en un rondo de 5 jugadors? (cada jugador la pot passar a qualsevol dels altres, però es considera la mateixa passada si la trajectòria de la pilota és igual; o sigui, és el mateix que el jugador 1 li passi al 2 o al revés).
e) Sabríeu trobar una manera de determinar el nombre de trajectòries diferents per a un rondo de qualsevol nombre de jugadors? Indica el resultat per a 47 jugadors.
f) Si no poden passar-la als que tenen al costat, quin és el nombre màxim de trajectòries diferents que pot haver-hi en el rondo de 47 jugadors?

Introducció
Aquest problema treballa el raonament a partir de la visualització dels dibuixos i de realitzar proves per trobar totes les possibles solucions. Per a 2n i cursos més alts, en arribar a la generalització i trobar el patró poden arribar a trobar la fórmula de la suma dels termes d'una progressió aritmética de diferència 1, per tant, podria ser el raonament geomètric d'aquesta progressió i una bona introducció al tema. Relacionat també amb la regularitat dels nombres triangulars. I amb combinatoria si mireu les possibles ampliacions.

Per què hem seleccionat aquest problema?
Aquest és un problema que permet treballar molt bé la competència 2 de E. Primària: “Donar i comprovar la solució d’un problema d’acord amb les preguntes plantejades” ([1], p. 8) ja que és de múltiples solucions. Com diu a les orientacions: “Si acostumem els alumnes a resoldre problemes que tenen una única solució difícilment podrem assolir aquesta competència”.
Per una altra banda, també és un problema molt adequat per treballar les estratègies de resolució de problemes([2]): fer dibuixos i esquemes (la representació ajuda a visualitzar el problema, trobar totes les possibilitats i pensar), provar ordenadament (per trobar tots els casos possibles), assaig i millora (les 1es proves són un acostament a la resolució del problema, comencen a fer les primeres conjectures o s’intueixen les primeres maneres d’organitzar la investigació) i reduir el problema, provant amb casos més senzills.
Alhora és un problema que té un context proper als alumnes, molts nens fan rondos, que els proporciona experiència en la situació i recorren a ella a les seves explicacions.
L’estudi de les respostes dels alumnes s’ha fet a partir dels 40 informes seleccionats de la 1ª fase del FM14-6è. 

Competències implicades ([1], p. 8)
PROBLEMA
COMPETÈNCIES PRIMÀRIA

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ESTRELLES FUTBOL










Competència 1: Traduir un problema a una representació matemàtica i emprar conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre’l  ([1], p.10).
Competència 2: Donar i comprovar la solució d’un problema d’acord amb les preguntes plantejades ([1], p.13).
Competència 4: Fer conjectures matemàtiques adients en situacions quotidianes i comprovar-les ([1], p.20).

Possibles estratègies de resolució de problemes  ([2])
Fer dibuixos i esquemes; Assaig i millora; Provar ordenadament; Reduir el problema, provant amb casos més senzills.


POSSIBLES AMPLIACIONS


. Solución a... los apretones de manos: proposta del blog de Matemáticas Cercanas http://matematicascercanas.com/2014/08/02/solucion-a-los-apretones-de-manos/ que ho relaciona amb el raonament geométric, la progressió geomètrica i la combinatòria pels més grans.
. Matecliks-abraçades: Aquí teniu una bona proposta per l'aula del blog del Puntmat:  http://puntmat.blogspot.com.es/2012/12/maticlicks-presentacio.html?m=1in amb un video-animació interpretat pels clicks en el problema de les abraçades.


VEURE FITXA COMPLETA

ENUNCIAT PELS ALUMNES


Cap comentari:

Publica un comentari a l'entrada