Hem renovat aquesta entrada per donar-li més amplitud i que pogui ser utilitzada per cursos superiors com a introducció a temes com les progressions i la combinatoria. Així, en arribar a la generalització i trobar el patró poden arribar a trobar la fórmula de la suma dels termes d'una progressió aritmética de diferència 1, per tant, podria ser el raonament geomètric d'aquesta progressió i una bona introducció al tema. Relacionat també amb la regularitat dels nombres triangulars. I amb combinatòria. Ho trobareu al final en un apartat nou de possibles ampliacions.
FM14-6è
 |
| I.Fernàndez. Concurs fotografia mat.2009 |
Relacions espacials; Patrons; Raonament geomètric, visual i numèric; Progressió aritmètica. Avaluació competencial.
Nivell
6è, 1r ESO, 2n ESO, 3r ESO i endavant (aquests últims cursos com a introducció de la suma dels termes d'una progressió aritmética de diferència 1 i combinatòria).
Bloc de continguts
Canvi i relacions; Numeració i càlcul.
Enunciat
5 jugadors de futbol estan entrenant
al camp. Un dels exercicis consisteix a situar-se formant un cercle i passar-se
la pilota amb la condició de que no es poden "repetir" les passades.
a) Quin és el nombre mínim de
passades que s’han de fer per tal que la pilota torni al primer jugador?
Quantes passades diferents es poden fer abans que la pilota no torni al primer?
b) Ara volem que la trajectòria de
la pilota formi una estrella de 5 punxes, com les que usaven els pitagòrics.
Com s’han de passar la pilota els jugadors? Dibuixa l’estrella.
c) Trobeu la manera de passar-se la
pilota 9 jugadors per a fer una estrella. Com ho han de fer? Existeix una única
manera? Dibuixa les estrelles resultants.
Deixem estar les estrelles,
d) Quantes trajectòries diferents de
la pilota hi pot haver en un rondo de 5 jugadors? (cada jugador la pot passar a
qualsevol dels altres, però es considera la mateixa passada si la trajectòria
de la pilota és igual; o sigui, és el mateix que el jugador 1 li passi al 2 o
al revés).
e) Sabríeu trobar una manera de
determinar el nombre de trajectòries diferents per a un rondo de qualsevol
nombre de jugadors? Indica el resultat per a 47 jugadors.
f) Si no poden passar-la als que
tenen al costat, quin és el nombre màxim de trajectòries diferents que pot
haver-hi en el rondo de 47 jugadors?
Introducció
Aquest
problema treballa el raonament a partir de la visualització dels dibuixos i de
realitzar proves per trobar totes les possibles solucions. Per a 2n i cursos més alts, en arribar a la generalització i trobar el patró poden arribar a trobar la fórmula de la suma dels termes d'una progressió aritmética de diferència 1, per tant, podria ser el raonament geomètric d'aquesta progressió i una bona introducció al tema. Relacionat també amb la regularitat dels nombres triangulars. I amb combinatoria si mireu les possibles ampliacions.
Per què hem seleccionat aquest problema?
Aquest és un problema que
permet treballar molt bé la competència 2 de E. Primària: “Donar i comprovar la solució d’un problema
d’acord amb les preguntes plantejades” ([1], p. 8) ja que és de múltiples
solucions. Com diu a les
orientacions: “Si acostumem els alumnes a
resoldre problemes que tenen una única solució difícilment podrem assolir
aquesta competència”.
Per una altra banda, també
és un problema molt adequat per treballar
les estratègies de resolució de problemes([2]): fer dibuixos i esquemes (la representació ajuda a visualitzar el
problema, trobar totes les possibilitats i pensar), provar ordenadament (per trobar tots els casos possibles), assaig i millora (les 1es proves són un
acostament a la resolució del problema, comencen a fer les primeres conjectures
o s’intueixen les primeres maneres d’organitzar la investigació) i reduir el problema, provant amb casos més
senzills.
Alhora és un problema que té
un context proper als alumnes, molts nens fan rondos, que els proporciona experiència en la situació i recorren a
ella a les seves explicacions.
L’estudi de les respostes
dels alumnes s’ha fet a partir dels 40 informes seleccionats de la 1ª fase del
FM14-6è.
Competències implicades ([1], p. 8)
PROBLEMA
|
COMPETÈNCIES PRIMÀRIA
|
|||||||||
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
|
ESTRELLES FUTBOL
|
||||||||||
Competència 1: Traduir
un problema a una representació matemàtica i emprar conceptes, eines i estratègies
matemàtiques per resoldre’l ([1], p.10).
Competència 2: Donar
i comprovar la solució d’un problema d’acord amb les preguntes plantejades ([1],
p.13).
Competència 4: Fer
conjectures matemàtiques adients en situacions quotidianes i comprovar-les ([1],
p.20).
Possibles estratègies de resolució de problemes ([2])
Fer dibuixos i esquemes; Assaig
i millora; Provar ordenadament; Reduir el problema, provant amb casos més
senzills.
POSSIBLES AMPLIACIONS
. Solución a... los apretones de manos: proposta del blog de Matemáticas Cercanas http://matematicascercanas.com/2014/08/02/solucion-a-los-apretones-de-manos/ que ho relaciona amb el raonament geométric, la progressió geomètrica i la combinatòria pels més grans.
. Matecliks-abraçades: Aquí teniu una bona proposta per l'aula del blog del Puntmat: http://puntmat.blogspot.com.es/2012/12/maticlicks-presentacio.html?m=1in amb un video-animació interpretat pels clicks en el problema de les abraçades.VEURE FITXA COMPLETA
A la pregunta:
ResponEliminaa) Quin és el nombre mínim de passades que s’han de fer per tal que la pilota torni al primer jugador?
Cal especificar que no es poden "repetir" les passades, ja que si no la resposta es trivial, dos, te la passo i me la tornes.
A la seguent pregunta, la B, també, ja que sinó se la poden anar passant i no tornar-li mai.
Gràcies per aquest banc de problemes, ho estem utilitzant molt a l'institut.
Moltes gràcies pel teu comentari! De fet es dóna per suposat però caldria afegir-lo. Ho faig ara!
ResponEliminaEns encanta que el trobeu útil!
Cordialment
Les autores