PER QUÈ SÓN INTERESSANTS ELS PROBLEMES DEL FM? FM19 1r ESO

Anàlisi didàctica dels problemes competencials  

FM19 FASE 1. 1r ESO

ENLLAÇ ALS PROBLEMES DE 1r ESO FASE 1

TRIANGLES, QUADRATS I RECTANGLES

Per què és interessant aquest problema?

És un problema d’investigació que es pot realitzar perfectament amb material creat pels alumnes mateixos. Sempre que s’iniciïn amb material i puguin manipular, les perspectives del problemes i les possibles resolucions s’obren molt més i, per tant, es poden establir més connexions que ens donin possibles estratègies.

Es pot treballar a partir de dibuixos i altres tipus de representacions més o menys elaborades segons el moment del problema on es trobin. Cal deixar que  treballin segons el seu criteri que anirà canviant en funció de les seves necessitats: en les primeres etapes més de tempteig i exploració de possibilitats i solucions i haurà d’anar evolucionant cap a un treball sistemàtic i ordenat per no deixar-se cap possibilitat en les etapes finals. Per a organitzar i simplificar aquest treball sistemàtic estaria bé que establissin criteris previs per no fer la cerca exhaustiva de resultats massa feixuga o fins i tot inabordable. Cal deixar llibertat en el treball als alumnes per tal que la necessitat d’organitzar les dades els sorgeixi a ells. 

El treball sistemàtic i exhaustiu és un treball propi de les matemàtiques i aquest problema obliga a una cerca exhaustiva de totes les possibilitats de solució i “trobar totes les solucions possibles ens dóna l’oportunitat de convidar-los a treballar d’una manera sistemàtica” (Barba i Calvo, 2015) ja que sinó alguns alumnes treballen les possibilitats a l’atzar i no poden tenir la seguretat d’haver trobat totes les solucions (Banc de recursos del FM, 2017)

És un problema molt interessant que sota l’aparença de muntar figures tan simples com triangles equilàters, rectangles i quadrats, en realitat, porta als alumnes a la cerca de relacions entre nombres que els permetin assegurar que tenen totes les solucions. Per tant, és un treball del bloc de NUMERACIÓ I CÀLCUL (divisibilitat), del bloc de RELACIÓNS I CANVI (cerca de les relacions numèriques de les figures) i en menor mesura del bloc d’ESPAI I FORMA(per les característiques geomètriques de les figures a treballar).

Finalment, en canviar les condicions del problema en cada figura diferent, fa que es creïn nous problemes derivats del primer i que es mantinguin certes relacions i en canviïn d’altres el que provoca que l’alumnat hagi d’anar ajustant els resultats trobats a les noves situacions plantejades.

DIMENSIONS:  

En aquest problema, en un primer moment, han de treballar la dimensió de RESOLUCIÓ DE PROBLEMES ja que han de decidir estratègies d’atac i buscar alguna representació que pugui reflectir les seves cerques de manera que compleixin les condicions i s’han plantejat si les solucions trobades són totes les que pot haver-hi.

En segon lloc han de treballar la dimensió de CONNEXIONS ja que cal que identifiquin les matemàtiques en una situació acadèmica propera (construcció de figures geomètriques senzilles) i han de relacionar amb una idea matemàtica concreta (en aquest cas la divisibilitat). 

També es treballa la dimensió de RAONAMENT i PROVA. La pròpia investigació-experimentació serà l’eina per fer les connexions que els hi permetran donar aquestes raons i justificar les seves conjectures.

Alguns alumnes poden plantejar la resolució a partir del canvi de representacions i per tant treballar la dimensió de COMUNICACIÓ I REPRESENTACIÓ.

BLOCS DE CONTINGUTS:  NUMERACIÓ I CÀLCUL, RELACIONS I CANVI, ESPAI I FORMA

CONTINGUTS CLAU (Burgués i Sarramona (2013), p 57): 

CC1 Sentit del nombre i de les operacions

CC5 Patrons, relacions i funcions

CC9 Figures geomètriques, característiques, propietats i processos de construcció

PARAULES CLAU:

Investigació, manipulació, relacions numèriques, divisibilitat, perímetre, pràctica exhaustiva, treball sistemàtic, conjectura, justificació. 

COMPETÈNCIES MÉS IMPLICADES: 

Competència 2. Emprar conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre problemes.

Competència 5. Construir, expressar i contrastar argumentacions per justificar i validar les afirmacions que es fan en matemàtiques.

[Competència 8. Identificar les matemàtiques implicades en situacions properes i acadèmiques i cercar situacions que es puguin relacionar amb idees matemàtiques concretes]

[Competència 9. Representar un concepte o relació matemàtica de diverses maneres i usar el canvi de representació com a estratègia de treball matemàtic. En cas d’una resolució que contempli aquesta competència]

 TRENCACLOSQUES DE RECTANGLES I QUADRATS 

Per què és interessant aquest problema?

És un problema visual i de raonament geomètric amb una primera fase de tempteig: cal anar provant diverses maneres de dibuixar els quadrats per a veure quina és la que permet dividir el rectangle en el menor número de quadrats possibles. 

Amb les diferents divisions es poden fabricar trencaclosques que es poden  manipular per formar rectangles a partir dels quadrats. Però aquesta manera de dividir els rectangles en quadrats (“quadrar rectangles”) no és l’única. 

El programa de scratch del ratpenat té una altra manera! Algunes vegades coincideix amb aquella que té un menor nombre de quadrats i d’altres no. Volem saber com ho fa el ratpenat i quin és l’algorisme programat que segueix i que ens permet deduir quina és la mesura del quadrat més petit del trencaclosques que fa el ratpenat.

És un problema que connecta geometria i relacions numèriques que porten implícit el tema de la divisibilitat que és un tema força important en els primers cursos de secundària. Seria una manera més lúdica per apropar-se, basada en l’algoritme d’Euclides i que busca, incidir més en el concepte, per arribar d’una manera raonada i significativa per als alumnes. 

  

DIMENSIONS: Treballa fonamentalment les dimensions de CONNEXIONS i RAONAMENT I PROVA

BLOCS DE CONTINGUTS: ESPAI I FORMA, MESURA i NUMERACIÓ I CÀLCUL

CONTINGUTS CLAU (Burgués i Sarramona (2013), p.57): 

CC1 Sentit del nombre i de les operacions. 

Nombres naturals i enters (divisors)

CC9 Figures geomètriques, característiques, propietats i procesos de construcció.

CC12 Relacions mètriques i càlcul de mesures en figures.

PARAULES CLAU:

Dibuix, descomposició d’una figura, àrees equivalents, divisibilitat, estructura multiplicativa,  algoritme d’Euclides, Scratch

COMPETÈNCIES MÉS IMPLICADES: 

És un exemple  de treball de la competència 7 de l’ESO d’interconnexió entre les diverses parts de la matemàtica i els diversos significats d’un mateix concepte: Usar les relacions que hi ha entre les diverses parts de les matemàtiques per analitzar situacions i raonar.

També hi ha un treball de la competència 5 de Raonament i Prova, ja que exigeix l’argumentació de les afirmacions que realitza i la prova de les conjectures que han de fer en intuir el patró que es segueix. 

TOTES BLANQUES, TOTES NEGRES 

Per què és interessant aquest problema?

Com sempre, en molts dels problemes del Fem Matemàtiques s’inclou un joc per tal de tenir materials per treballar el joc com a recurs a l’aula de matemàtiques. Com hem dit a l'entrada de l'anàlisis didàctica dels problemes fm19- 6è , per tot el conjunt de valors que transmet el fet de jugar: saber escoltar, treball col·laboratiu, estar atent, aprendre a prendre decisions, fer tempteig i proves, elaborar estratègies, assumir riscos i gaudir. A quin nen no li agrada el joc?

Sota l’aparença d’un joc, amb unes regles molt bàsiques i manipulatiu ja que és convenient que, o bé en fabriquin el material, o facin servir algun que els serveixi (en la introducció dels problemes es recomana fer servir fitxes de dominó per les seves cares blanques i negres), es presenten possibilitats de cercar un patró que ens condueixi a l’estratègia guanyadora. 

Per començar, l’enunciat demana que els alumnes provin el joc, experimentin i facin unes primeres partides per familiaritzar-se amb ell i amb les regles, intentant aconseguir l’objectiu amb el menor nombre de moviments. Per tant, hauran de fer proves i raonar les seves conclusions a partir de l’experimentació.

Entraríem en una etapa de tempteig, d’assaig i error que ajuda als alumnes a investigar les diferents possibilitats i a establir conjectures que després hauran de provar. També ha de ser un treball exhaustiu, s’han d’esgotar totes les possibilitats, alhora que sistemàtic, per assegurar-me que no em deixo cap.

Adoneu-vos que tot el que acabem d’explicar està relacionat amb els processos matemàtics més fonamentals: investigació, tempteig, assaig i error, conjecturar, fer proves, raonar...

En canviar les condicions del joc (aconseguir totes les fitxes negres o canviant el nombre de fitxes) les possibilitats i les conclusions poden canviar. Cal tornar a conjecturar i provar per justificar el que hem pensat.

I per últim, demana fer una predicció i també exposar les normes i condicions al teu gust per poder guanyar, per tant, per fer l’estratègia guanyadora. Tota predicció només és possible si trobem un patró que ens permeti fer-la. Per tant, és un treball del bloc de canvi i relacions, per la cerca del patró.

DIMENSIONS: Treballa fonamentalment les dimensions de RESOLUCIÓ DE PROBLEMES i RAONAMENT I PROVA.

BLOCS DE CONTINGUTS:  RELACIONS I CANVI

CONTINGUTS CLAU (Burgués i Sarramona (2013), p.57): 

5. Patrons, relacions i funcions 

COMPETÈNCIES MÉS IMPLICADES: 

Competència 2. Emprar conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre problemes. 

Competència 5. Construir, expressar i contrastar argumentacions per justificar i validar les afirmacions que es fan en matemàtiques. 

A la cerca del patró estan lligats processos de:  treure pautes (induir), conjecturar i provar, particularitzar i generalitzar i justificar l’estratègia que permet donar resposta a les preguntes.

Competència 9. Representar un concepte o relació matemàtica de diverses maneres i usar el canvi de representació com a estratègia.

Ja que caldrà trobar una representació adequada que ens ajudi a ser sistemàtics i veure que no ens hem deixat cap moviment ni cap possibilitat.

PARAULES CLAU:

Joc, material manipulatiu, treball sistemàtic, treball exhaustiu, patró, estratègia guanyadora, raonament, prova

QUADRE GLOBAL DE LA PROVA DE 1r ESO FM19

PROBLEMES 1r	DIMENSIONS	COMPETÈNCIES	BLOC DE  CONTINGUTS	CONTINGUTS CLAU
TRIANGLE, QUADRATS I RECTANGLES	RESOLUCIÓ DE PROBLEMES RAONAMENT I PROVA CONNEXIONS COMUNICACIÓ I REPRESENTACIÓ	2 5 8 (9)	NC CR EF	1 5 9
TRENCACLOSQUES DE RECTANGLES I QUADRATS	CONNEXIONS RAONAMENT I PROVA	7 5	NC EF M	1 9 12
TOTES BLANQUES, TOTES NEGRES	RESOLUCIÓ DE PROBLEMES RAONAMENT I PROVA COMUNICACIÓ I REPRESENTACIÓ	2 5 9	RC	5

Referències: 

Barba, D. i Calvo, C. (2015). Bones activitats per a la transició entre primària i secundària. Nou Biaix, nº37, 41-50. http://www.raco.cat/index.php/Noubiaix/article/viewFile/302380/392058

Burgués,C. i Sarramona,J. (2013). Competències bàsiques de l'àmbit matemàtic. Identificació i desplegament a l’educació secundària. Generalitat de Catalunya. Departament d'Ensenyament. http://ensenyament.gencat.cat/web/.content/home/departament/publicacions/colleccions/competencies-basiques/eso/eso-matematic.pdf

Banc de recursos del FM (2018). Anàlisis didàctica dels problemes FM19 6è primaria. https://bancfm.blogspot.com/2018/12/per-que-son-interessants-els-problemes.html