dimarts, 7 de maig de 2019

PER QUÈ SÓN INTERESSANTS ELS PROBLEMES DEL FM?FM19 2n ESO


Anàlisi didàctica dels problemes competencials 

FM19 FASE 1 2n ESO

ENLLAÇ ALS PROBLEMES DE 2n ESO FASE 1


NOMBRES SENARS

Disposem els nombres senars en forma quadrada i ampliem el quadrat

Per què és interessant aquest problema?
El problema està ple de curiositats i relacions entre els nombres senars. Cal buscar les diferents relacions (entre files, diagonals i suma total dels nombres del quadrat) i veure si aquestes relacions es conserven encara que variem la dimensió del quadrat (i per tant, augmentem la quantitat de nombres de senars i, com a conseqüència, variarem també la col·locació d’aquests nombres en el quadrat).
2ª part del problema: Es disposen els nombres senars de forma triangular
En un següent apartat els distribueix en forma triangular, el que genera altres relacions i patrons ben curiosos com que la suma dels cubs de nombres consecutius dóna un nombre quadrat!

És un problema Low floor, high ceiling tal com diria la Jo Boaler (2016) perquè tothom pot començar a investigar i les possibilitats “d’estirar el fil” i ampliar el problema són moltes, més encara si intentem que els nostres alumnes facin demostracions visuals i/o manipulatives. En una següent entrada donarem possibles ampliacions del problema.

El problema és una adaptació d’un problema del matemàtic àrab Avicena sobre els diferents tipus de nombres (senars, parells, deficients, perfectes i abundants) i una explicació de les diferents operacions aritmètiques i regles amb aquests nombres, entre les que figuren les que es treballen en aquest problema. 

Els nombres figurats van ser estudiats per molts matemàtics àrabs, particularment, pels que eren més partidaris d’una aproximació al tema dels números més geomètrica que algorítmica.
 


Trobem més que interessant aquesta tendència d'interpretar els problemes numèrics des de la geometria i també que els alumnes puguin apreciar-la i conèixer-la.

DIMENSIONS:  
En aquest problema han de treballar la dimensió de CONNEXIONS i la dimensió de RAONAMENT i PROVA
Les investigacions seran fonamentals per tal de poder realitzar els raonaments que justifiquin les seves conjectures. La pròpia investigació serà l’eina per fer les connexions que els hi permetran donar aquestes raons. 
Cal un cert grau de generalització en la cerca del patró numèric i comprovar si es compleix per a qualsevol dimensió del quadrat de senars. També per respondre la pregunta sobre els números que formarien el quadrat de dimensió 7. 
Posteriorment, demana la cerca de relacions si disposem els nombres senars en forma de triangle i la generalització del patró per la cerca de la dimensió del triangle donada la suma dels seus nombres.

BLOCS DE CONTINGUTS: NUMERACIÓ I CÀLCUL. RELACIONS I CANVI 

CONTINGUTS CLAU (Burgués i Sarramona (2013), p.47): 
1. Sentit del nombre i les operacions.
5. Patrons, relacions i funcions 

PARAULES CLAU:
Investigació, patrons numèrics, curiositats sobre senars, números figurats, raonament i prova, connexions, matemàtiques visuals, manipulació.

COMPETÈNCIES MÉS IMPLICADES:   
Competència 5. Argumentar les afirmacions i els processos matemàtics realitzats en contextos proper. 
Competència 7Usar les relacions que hi ha entre les diverses parts de les matemàtiques per analitzar situacions i per raonar. 


CUBS BLAUS I GROCS






Per què és interessant aquest problema?

Aquest és un repte-investigació que és molt assequible per a tots els alumnes. No pretèn tant el treball del raonament i l'argumentació com el del treball de la dimensió 3D, que es treballa molt poc a les aules (normalment limitant-la a l'aplicació de fórmules de volum) i la justificació matemàtica de les respostes.















El problema permet començar a treballar manipulant amb policubs. La manipulació i construcció dels diferents cubs i figures ens proporcionen dades i pistes sobre les diferents relacions.  Aquesta visió dóna una perspectiva diferent a que si només es treballés sobre el dibuix intentant comptar els cubets. Per tant, deixeu que construeixin i observin. També això permetrà construir una altra perspectiva dels nombres cúbics i la relació entre la potència i la figura geomètrica.

És un problema de geometria de l’espai i d’abstracció espacial que ens permet treballar la visualització de les cares de figures 3D construïdes a partir de figures cúbiques i l’organització sistemàtica de les seves dades de manera que els permeti respondre còmodament a les preguntes.

DIMENSIONS: Treballa fonamentalment la dimensió de RESOLUCIÓ DE PROBLEMES.

BLOCS DE CONTINGUTS: ESPAI I FORMA 

CONTINGUTS CLAU (Burgués i Sarramona (2013), p.47): 
8. Sentit espaial i representació de figures tridimensionals
9. Les figures geomètriques, característiques, propietats i processos de construcció.

PARAULES CLAU:
Visió espacial, manipulació, policubs, potències, nombres cúbics, arestes, vèrtexs, cares, 3D, justificació matemàtica.

COMPETÈNCIES MÉS IMPLICADES
Competència 2. Emprar conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre problemes.

En les orientacions ens indiquen que: “Aquesta competència, central en la resolució de problemes, fa referència a la capacitat d’aplicar tot el bagatge de coneixements matemàtics de què disposa l’alumne amb l’objectiu de resoldre problemes prèviament formulats matemàticament i inclou la capacitat per explicar, justificar les afirmacions matemàtiques i aportant, si cal, proves numèriques i gràfiques per validar-les, contrastar i, si és el cas, modificar el procés resolutiu.

Hem decidit que la competència 2 és la més implicada donat el pes que té l’explicació i justificació de les afirmacions matemàtiques que han de realitzar en donar resposta a les preguntes. 
diferència la competència 5, de raonament i prova, es centra més en saber utilitzar l'estructura lògica de les matemàtiques i, generalment mitjançant demostracions, validar la raonabilitat de les afirmacions prèviament fetes sobre propietats de nombres, patrons i relacions. Per tant, és molt és un procés més complex que la 2 que en aquest cas no és dóna.


GIRA ELS DAUS


Per què és interessant aquest problema?

És un bon problema per treballar la probabilitat a partir d’una situació contextualitzada (joc). Hi ha un primer pas de comprensió i traducció de l’enunciat que es pot facilitar portant els daus a l’aula. Els alumnes hauran de pensar quins dibuixos, esquemes, taules o, fins i tot diagrames d’arbre, el.laboren per descriure la situació que el problema planteja. 

Aquest és un dels problemes que creen la necessitat de registrar les dades de manera organitzada per poder treballar-lo, per poder observar els números i veure les relacions que ens portaran a les respostes. Tot això els portarà a poder respondre a les preguntes en termes de probabilitat.

En la segona part, pregunta e), se’ls hi planteja un joc on els alumnes han de raonar l’estratègia guanyadora a partir fer servir els seus coneixements, eines i propietats referents al sentit del nombre i de les operacions. Això fa que entrin directament en la fase d’anàlisi del joc, estudiant les possibilitats i respostes de cada jugador. Han d’establir conjectures que després hauran de provar per veure si és l’estratègia guanyadora. Aquesta part del problema és un treball de la dimensió de raonament i prova, en haver de raonar la seva conjectura que han d’experimentar de manera sistemàtica i comprovar de manera exhaustiva.

DIMENSIONS: Treballa fonamentalment les dimensions de RESOLUCIÓ DE PROBLEMES i RAONAMENT I PROVA.

BLOCS DE CONTINGUTS: ESTADÍSTICA I ATZAR  i NUMERACIÓ I CÀLCUL

CONTINGUTS CLAU (Burgués i Sarramona (2013), p.47): 
1.    Sentit del nombre i les operacions
16. Sentit i mesura de la probabilitat

COMPETÈNCIES MÉS IMPLICADES
Competència 1: Traduir un problema a una representació matemàtica i emprar conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre’l. 
Competència 2: Emprar conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre problemes. Ja que han de justificar el procés que utilitzen per resoldre i poder dir les respostes dels primers apartatsfent servir un treball sistemàtic i organitzat per poder relacionar i obtenir les respostes. 
Competència 5:Construir, expressar i contrastar argumentacions per justificar i validar les afirmacions que es fan en matemàtiques. Sobretot a la part d’exploració del joc han d’argumentar i raonar l’estratègia guanyadora

PARAULES CLAU:
Probabilitat, daus, joc, estratègia guanyadora, argumentar, registre de dades, treball sistemàtic.


QUADRE GLOBAL DE LA PROVA DE 2n FM19

PROBLEMES 2n
DIMENSIONS
COMPE-TÈNCIES
BLOC DE 
CONTINGUTS
CONT. CLAU
NOMBRES SENARS
RAONAMENT I PROVA
CONNEXIONS
5
7

NC
RC
1
5
CUBS BLAUS I GROCS
RESOLUCIÓ DE PROBLEMES 
2
EF

8
9

GIRA ELS DAUS
RESOLUCIÓ DE PROBLEMES RAONAMENT I PROVA
1
2
5
NC
EA
1
16



Referències
Boaler, J. (2016). Mathematical Mindset. Jossey-Bass

Burgués,C. i Sarramona,J. (2013). Competències bàsiques de l'àmbit matemàtic. Identificació i desplegament a l’educació primària. Generalitat de Catalunya. Departament d'Ensenyament.

López, M. i Riquelme, C. (novembre 2017). La potència del llenguatge algebraic. Banc de Recursos del Fem Matemàtiques.

López, M. i Riquelme, C. (octubre 2015). Estratègia guanyadora. Banc de Recursos del Fem Matemàtiques. 




Cap comentari:

Publica un comentari a l'entrada