PROBLEMES DEL BLOC D’ESPAI I FORMA. FM 19
Etiquetes: pattern blocks, manipulació, superfícies equivalents, proporcions, àrees, tesselacions.
Bloc de continguts: Espai i forma
Nivells: 6è - 1r cicle ESO
Enunciats (Versió editable)
HEXAPROBLEMES I
HEXAPROBLEMES II
* Suposem que els triangles ombrejats de la figura b) són triangles isòsceles.
Per què hem seleccionat aquests problemes?
Hem seleccionat aquests problemes per la demanda de problemes rics i competencials del bloc d’espai i forma per part del professorat. En aquests problemes es proposen reptes de geometria connectant amb patrons, proporcions i àlgebra i ens poden ajudar a treballar la geometria en qualsevol moment del curs i defugir de fer-ho sempre en el seu tram final. Així podem donar resposta a la recomanació del currículum de 2n d’ESO de començar el curs pel bloc d’Espai i forma. Són problemes rics tot i que amb una dificultat i longitud reduïda el que permet un treball d’aula on tothom hi pot contribuir. La riquesa de diversitat d’estrategies per trobar les àrees demanades ens aporta a poder fer una posada en comú d’aquestes amb l’alumnat.
Són activitats riques en connexions internes entre els blocs d’Espai i forma, Mesura i Numeració i càlcul i que podríem estendre a Canvi i relacions perquè són figures dissenyades a partir de patrons geomètrics.
A més a més ens obren al món de reptes geomètrics més complicats que juguen a partir de figures i descomposicions equivalents:
Veure twitter @apuntesdeciencia via @alegallardo28: https://twitter.com/apuntesciencia/status/1138375023121567744?s=12
Reflexions prèvies. Per començar
Tots aquests problemes es basen en visualitzar i trobar una descomposició de la figura que ens permeti determinar l’àrea desconeguda que demana a partir de fer proporcions entre superfícies equivalents.
Per fer aquestes composicions i descomposicions de figures, és important primer poder “jugar” amb un material que ells puguin manipular com els Pattern Blocks.
Què són els Pattern Blocks? (CentMat, 2019)
Són un conjunt de peces de plàstic amb formes geomètriques diverses.
- Triangle equilàter (verd)
- Quadrat (carabassa)
- Rombe (blau)
- Rombe prim (beix)
- Trapezi (vermell)
- Hexàgon (groc)
Si és la primera vegada que treballeu a l’aula amb aquest material us proposem fer alguna activitat de coneixement de les fitxes i d’equivalències bàsiques entre elles.
- · El taller del C2EM fet per Maria Àngels Rueda i Daniel Ruiz Aguilera: Pattern blocks: tot un ventall de possibilitats a l’aula http://c2em.feemcat.org/wp-content/uploads/actes/3W204.pdf
- · Mosaicos con Pattern Blocks dels mateixos autors en un taller a les Jaem 2017: (Vicente, Rueda i Ruiz-Aguilera, 2017) http://17jaem.semrm.com/aportaciones/n147.pdf
- · La proposta de CentMat: Rajoles i Mosaics (Pattern Blocks) http://www.xeix.org/Centre-Aprenentatge-Cientificomatematic/recursos/materials/article/rajoles-i-mosaics-pattern-blocks
Maneres diferents de fer un hexàgon (Rueda i Ruiz, 2016)
Comprovem quines figures tessel·len i quines no i perquè:
Tessel·lacions amb pattern blocs (Ruiz-Aguilera i altres, 2017)
Així els dos primers hexa-problemes, es poden resoldre manipulativament i obtenir descomposicions que ens ajudaran a trobar la resposta.
Pels dos últims problemes, no sabem de cap material que pugui servir-nos (si algú ho sap que ens ho comuniqui, si us plau), però una vegada han fet els anteriors ja poden deduir la solució dibuixant. Aquests problemes no han sortit a la prova però hi eren a l'esborrany i pensem que són igual de bons. És per això, que no tenim cap mostra de solucions d'alumnes.
Dimensions
Resolució de problemes, Connexions.
PROBLEMA
|
COMPETÈNCIES PRIMÀRIA
| |||||||||
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
| |
HEXA-PROBLEMES
| ||||||||||
Competència 1. Traduir un problema a una representació matemàtica i emprar conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre’l.
Competència 6. Establir relacions entre diferents conceptes, així com entre els diversos signi-ficats d’un mateix concepte.
PROBLEMA
|
COMPETÈNCIES SECUNDÀRIA
| |||||||||||
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
| |
HEXA-PROBLEMES
| ||||||||||||
Competència 1: Traduir un problema a llenguatge matemàtic o a una representació matemàtica utilitzant variables, símbols, diagrames i models adequats.
Competència 7. Usar les relacions que hi ha entre les diverses parts de les matemàtiques per analitzar situacions i per raonar.
Experimentar, provar, fer dibuixos i esquemes.
Solucions
PROBLEMA A
Podem dividir tot l’hexàgon de costat en 24 triangles equilàters de costat c/2. Per tant, els 24 triangles tenen un àrea de 18 cm2. Com que cada rombe està format per 2 triangles, aleshores tindrà un àrea de 1,5 cm2.
Aquest raonament és el que va seguir el següent alumne:
Un altre plantejament es veure que cadascun dels tres hexàgons petits està format per tres rombes. La següent alumna ha abordat el problema per tempteig ja que no se’n recorda de l’àrea de l’hexàgon, aplica la lògica. A partir de descomposar l’hexàgon gran en els tres hexàgons petits i els tres rombes ha anat temptejantamb les àrees dels rombes que al començament plantejava com de 3 cm2, després ho redueix a 2 i, finalment, visualitzant les equivalències, dedueix que és de 1,5 cm2 per tal que es compleixi l’enunciat:
Una variació d’aquest plantejament es veure que l’hexàgon gran es pot descomposar en tres grups d’un rombe i un hexàgon petit:
Un altre alumne fa la prova, mirant els angles, de que realment els triangles que composen el rombe també són equilàters:
Una altra alumna raona que hi ha 3 rombes i 3 hexàgons iguals i com que a més, tenim que: 3 rombes = 1 hexàgon, podem obtenir l’àrea del rombe ja que l’àrea total equival a 4 hexàgons:
Per últim, aquest alumne descomposa tota la figura en trianglets, però s’equivoca en la raó:
PROBLEMA B
La 2ª filera de cada part ombrejadaestà formada per 3 trianglets.
La 3ª filera de cada part està formada per 5 trianglets
La 4ª filera de cada part ombrejadaestà formada per 7 trianglets
Per tant, en cada una de les sis parts tindrem 3 + 7= 10 trianglets en la part ombrejada.
I en les sis parts: 10 · 6 = 60 trianglets = 60 cm2
Aquest raonament és que el que segueix el següent alumne:
Que després estableix una proporció:
El següent alumne només compta les àrees ombrejades d’una secció, agafant com unitat el trianglet de 1cm2:
I el següent mira les “porcions per segments” com diu. En realitat, compta els trianglets de cada secció i fa proporcions:
Com conclueix aquest alumne, la clau per resoldre aquests dos problemes és la mateixa:
HEXA-PROBLEMES II
PROBLEMA A
La proporció de Ablanca/ Apintada= 1 tal com es veu a la figura cada part té el seu simètric igual.
PROBLEMA B
Podem dividir l’hexàgon en 18 triangles isòsceles i l’estrella blanca en 12 d’aquests mateixos triangles isòsceles. Per tant, com que l’àrea de l’estrella blanca és de 12 cm2, aleshores cada triangle isòsceles té 1 cm2i l’hexàgon té tindrà un àrea de 18 cm2.
CentMat (2019). Rajoles i mosaics (Pattern blocks)
Rueda, M. A. i Ruiz-Aguilera, D. (2016). Pattern blocks: tot un ventall de possibilitats a l’aula. Actes del Congrés Català d’Educació Matemàtica (C2EM). Barcelona: Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya.
Vicente, J., Rueda, M. A. i Ruiz-Aguilera, D. (2017). Mosaicos con pattern blocks. 17JAEM: Jornadas sobre el Aprendizaje y la Enseñanza de las Matemáticas. Cartagena: FESPM.
Bibliografia
[1] Burgués, C. i Sarramona, J. (2013b). Competències bàsiques de l’àmbit matemàtic Identificació i desplegament a l’ESO. Generalitat de Catalunya Departament d’ensenyament.
[2] Burgués, C. i Sarramona, J. (2013b). Competències bàsiques de l’àmbit matemàtic Identificació i desplegament a Primària. Generalitat de Catalunya Departament d’ensenyament
[3] CREAMAT (2015). Estratègies per a resoldre problemes. Generalitat de Catalunya. Departament d'Ensenyament.http://srvcnpbs.xtec.cat/creamat/joomla/file/estretegies_per_a_resoldre_problemes.pdf
